多様体

直線に次いで、円は位相多様体の最も単純な例です。位相幾何学では曲がりは無視されるため、円の小さな部分は直線の小さな部分と同じように扱われます。例えば、単位円の上部x ² + y ² = 1 を考えてみましょう。ここでy座標は正です (図 1の黄色の弧で示されています)。この弧上の任意の点は、そのx座標によって一意に記述できます。したがって、最初の座標への射影は、上部の弧から開区間(−1, 1) への連続かつ可逆な写像です。    $${\displaystyle \chi _{\mathrm {top} }(x,y)=x.\,}$$

こうした関数と、それらがマッピングする開いた領域は、チャートと呼ばれます。同様に、円の下部（赤）、左側（青）、右側（緑）の部分にもチャートがあります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{\mathrm {bottom} }(x,y)&=x\\\chi _{\mathrm {left} }(x,y)&=y\\\chi _{\mathrm {right} }(x,y)&=y.\end{aligned}}}$$

これらの部分を合わせると円全体が網羅され、4つの図表は円の地図帳となる。

上部と右側のグラフ、${\displaystyle \chi _{\mathrm {top} }}$そして${\displaystyle \chi _{\mathrm {右} }}$それぞれ、その領域内で重なり合う。その交点は、円の四分の一にあり、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$-座標は正です。どちらもこの部分を区間にマッピングします${\displaystyle (0,1)}$ただし、異なる方法で。したがって、関数${\displaystyle T:(0,1)\rightarrow (0,1)=\chi _{\mathrm {right} }\circ \chi _{\mathrm {top} }^{-1}}$を構築することができ、これは、の共定義域から値を取る。${\displaystyle \chi _{\mathrm {top} }}$逆演算を使用して円に戻り、続いて${\displaystyle \chi _{\mathrm {右} }}$区間に戻ります。aが任意の数である場合${\displaystyle (0,1)}$、 それから： $${\displaystyle {\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\mathrm {right} }\left(\chi _{\mathrm {top} }^{-1}\left[a\right]\right)\\&=\chi _{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}\end{aligned}}}$$

このような関数は遷移マップと呼ばれます。

上、下、左、右の図表だけが可能な地図帳を構成するわけではありません。図表は幾何学的投影である必要はなく、図表の数は選択の問題です。図表について考えてみましょう。 $${\displaystyle \chi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={\frac {y}{1+x}}}$$ そして $${\displaystyle \chi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={\frac {y}{1-x}}}$$

ここで、sは座標 ( x , y ) の点と固定ピボット点 (−1, 0)を通る直線の傾きです。同様に、 tは座標 ( x , y ) と (+1, 0)の点を通る直線の傾きの逆数です。sから( x , y ) への逆写像は次のように与えられます 。     $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}\\[5pt]y&={\frac {2s}{1+s^{2}}}\end{aligned}}}$$

sとtのすべての値に対して、x² + y² = ¹であることが確認できる。これら2つの図表は、遷移マップとともに円に関する2番目の地図帳を提供する ^。    $${\displaystyle t={\frac {1}{s}}}$$ （つまり、sとtが両方ともゼロでないすべての点において、sとtの間にはこの関係が成り立つ。）

それぞれのチャートは、s の場合は (−1, 0) 、 tの場合は(+1, 0) のいずれかの点を省略しているため、どちらのチャートも単独では円全体を覆うのに十分ではありません。単一のチャートで円全体を覆うことは不可能であることが証明できます。例えば、1 つの線分から両端を重ね合わせて「接着」することで円を構成することは可能ですが、これによってチャートが作成されるわけではありません。円の一部が両端に同時にマッピングされてしまい、可逆性が失われます。 

球は曲面の例です。陰関数の単位球

x² ⁺ y² + ^z² – 1 = ⁰

6枚の図表からなる地図帳で表すことができる。平面z = 0は球面を2つの半球（z > 0とz < 0 ）に分割し、これらはどちらも座標のxy平面への投影によって円盤x ² + y ² < 1上にマッピングできる。これにより2枚の図表が得られる。残りの4枚の図表は、他の2つの座標平面を用いた同様の構成によって得られる。

円の場合と同様に、一点を除いた球全体を覆う図表を一つ定義することができる。したがって、図表は二つあれば十分であるが、球全体を一つの図表で覆うことはできない。

この例は歴史的に重要な意味を持ち、用語の起源となった。地球の表面全体を単一の地図（「海図」とも呼ばれる。海図を参照）で平面的に表現することは不可能であることが明らかになり、そのため地球の表面全体を網羅する地図帳が必要となったのである。

多様体は必ずしも接続されている必要はありません（すべてが「一体」である必要はありません）。例えば、2つの別々の円が挙げられます。

多様体は閉じている必要はありません。したがって、端点を持たない線分も多様体です。多様体の次元が0でない限り、多様体は可算ではありません。これらの自由度をまとめると、放物線、双曲線、および3次曲線y ² = x ³ − x上の点の軌跡（閉じたループ部分と開いた無限部分）などが多様体の例として挙げられます。

しかし、一点を共有して8の字を形成する2つの接する円のような例は除外されます。共有点では、満足のいく図を作成することはできません。トポロジーによって許容される曲げを考慮しても、共有点の周辺は線ではなく「+」のように見えます。「+」は線分と同相ではありません。なぜなら、「+」の中心点を削除すると4つのコンポーネント（つまりピース）を持つ空間が得られるのに対し、線分から点を削除すると最大で2つのピースを持つ空間が得られるからです。トポロジー操作は常にピースの数を保持します。

多様体の座標マップ、座標チャート、または単にチャートとは、多様体の部分集合と単純空間との間の可逆マップであり、マップとその逆マップの両方が目的の構造を保持するものである。^{[ 2 ]}位相多様体の場合、単純空間は、あるユークリッド空間の部分集合である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そして、関心は位相構造に集中する。この構造は、両方向に連続な可逆写像である同相写像によって保存される。

微分可能な多様体の場合、遷移関数（下記参照）がすべて微分可能なアトラスと呼ばれる一連の図表を用いることで、その上で微積分を行うことができます。例えば、極座標は平面の図表を構成します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$正のx軸と原点を除いた点です。グラフの別の例としては、前述のマップ χ _{top が}あり、これは円のグラフです。

ほとんどの多様体の記述には、複数の図表が必要となる。多様体を網羅する特定の図表の集合をアトラスと呼ぶ。アトラスは一意ではなく、すべての多様体は、異なる図表の組み合わせを用いて複数の方法で網羅することができる。2つのアトラスは、それらの和集合もまたアトラスである場合に、同等であると言われる。

与えられたアトラスと整合するすべての可能なチャートを含むアトラスは、最大アトラス（すなわち、その与えられたアトラスを含む同値類）と呼ばれます。通常のアトラスとは異なり、与えられた多様体の最大アトラスは一意です。定義には役立ちますが、抽象的なオブジェクトであり、直接使用されることはありません（例えば、計算など）。

多様体は、アトラス（そしていくつかの定義では、最大アトラス）を備えた位相空間として定義できる。

地図帳の図表は重なり合うことがあり、多様体の一点が複数の図表で表されることがあります。2つの図表が重なり合う場合、それらの図表の一部は多様体の同じ領域を表します。ちょうどヨーロッパの地図とロシアの地図の両方にモスクワが含まれる場合です。重なり合う2つの図表が与えられた場合、開球から遷移関数を定義できます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$マニホールドへ、そして別の（あるいは同じ）開いたボールに戻る${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$結果として得られるマップは、上記の円の例のマップTのように、座標変換、座標変換関数、遷移関数、または遷移マップと呼ばれます。

アトラスは、多様体上に付加的な構造を定義するためにも使用できます。まず、各チャート上で個別に構造を定義します。すべての遷移マップがこの構造と互換性がある場合、その構造は多様体へと転送されます。

これは微分可能多様体を定義する標準的な方法です。位相多様体のアトラスの遷移関数が自然な微分構造を保持する場合、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（つまり、それらが微分同相写像である場合）、微分構造が多様体に移行し、それを微分可能な多様体に変えます。複素多様体は、アトラスの遷移関数が正則関数であることを要求することによって、同様の方法で導入されます。シンプレクティック多様体の場合、遷移関数はシンプレクト同相写像でなければなりません。

多様体上の構造はアトラスに依存するが、異なるアトラスでも同じ構造が生じる場合がある。このようなアトラスは互換性があると言われる。

これらの概念は、一般的に擬群を用いることによってより厳密に定義される。

させて${\displaystyle M}$境界を持つ多様体である。内部は${\displaystyle M}$、と表記される${\displaystyle \operatorname {Int} M}$は、 の点の集合です。${\displaystyle M}$近傍が開部分集合と同相である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$境界​​${\displaystyle M}$、と表記される${\displaystyle \partial M}$は、の補数です。${\displaystyle \operatorname {Int} M}$で${\displaystyle M}$境界点は、境界超平面上に位置する点として特徴づけられる。${\displaystyle (x_{n}=0)}$の${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$座標図の下。

もし${\displaystyle M}$次元の境界を持つ多様体である${\displaystyle n}$、 それから${\displaystyle \operatorname {Int} M}$次元の多様体（境界なし）${\displaystyle n}$そして${\displaystyle \partial M}$次元の多様体（境界なし）${\displaystyle n-1}$。

多様体を構成する最も簡単な方法は、おそらく上記の円の例で使用されている方法です。まず、部分集合${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$まず、ある部分集合が特定され、次にその部分集合を網羅する地図が構築されます。多様体の概念は、歴史的にこのような構築から発展してきました。この方法を球の構築に適用した別の例を以下に示します。

多様体は、断片を一定の方法で貼り合わせて、重なり合う図表を作成することで構築できます。この構築方法はあらゆる多様体に適用可能であるため、特に微分可能多様体やリーマン多様体の特徴付けとしてよく用いられます。この方法は、断片が自然に図表を形成するため、アトラスに焦点を当てており、外部空間が関与しないため、多様体の本質的な見方につながります。

多様体は、遷移写像によって定義されるアトラスを指定することによって構築されます。したがって、多様体の点は、遷移写像によって互いに写像される点の同値類です。チャートは、同値類を単一のパッチの点に写像します。通常、遷移写像の一貫性には強い要求があります。位相多様体の場合、それらは同相写像である必要があります。また、それらが微分同相写像でもある場合、結果として得られる多様体は微分可能多様体になります。

これは、円の例の後半部分にある遷移マップt = ¹ ⁄ _sで説明できます。まず、線分を 2 つコピーします。最初のコピーには座標s を、2 番目のコピーには座標t を使用します。次に、2 番目のコピーの点tを最初のコピーの点s = ¹ ⁄ _tに一致させることで、両方のコピーを貼り合わせます(点t = 0 とs = 0 は、それぞれ最初のコピーと 2 番目のコピーのどの点にも一致しません)。これで円が得られます。

多様体の異なる点を同じ点として定義することは可能です。これは、これらの点を1つの点に貼り合わせて商空間を形成するものとして視覚化できます。しかし、このような商空間が多様体であることを期待する理由はありません。必ずしも多様体ではない商空間の中で、オービフォールドとCW複体は比較的性質が良いと考えられています。多様体の商空間でありながら多様体でもある例としては、対応する球面の商空間として識別される実射影空間があります。

点を識別（結合）する方法の一つは、多様体に対して作用する群の右（または左）作用を用いることです。ある群要素によって一方の点が他方の点に移動されると、2つの点が識別されます。Mが多様体、Gが群である場合、結果として得られる商空間はM / G（またはG \ M ）と表記されます。

点を同一視することによって構築できる多様体には、トーラスや実射影空間（それぞれ平面と球面から始まる）などがある。

境界を持つ2つの多様体は、境界に沿って貼り合わせることができる。正しく貼り合わせれば、結果として得られるのも多様体である。同様に、1つの多様体の2つの境界を貼り合わせることもできる。

形式的には、接着は2つの境界間の全単射によって定義されます。2つの点は、互いに写像されるときに同一視されます。位相多様体の場合、この全単射は同相写像でなければなりません。そうでなければ、結果は位相多様体になりません。同様に、微分可能多様体の場合、それは微分同相写像でなければなりません。その他の多様体の場合、他の構造が保存される必要があります。

有限円柱は、[0,1]  ×  [0,1]の帯から始めて、境界上の対向する辺のペアを適切な微分同相写像で貼り合わせることによって多様体として構成できる。射影平面は、穴の開いた球をメビウスの帯にそれぞれの円形境界に沿って貼り合わせることによって得られる。

多様体のデカルト積もまた多様体である。

積多様体の次元は、その因子の次元の合計です。その位相は積位相であり、チャートのデカルト積は積多様体のチャートです。したがって、因子のアトラスを使用して、積多様体のアトラスを構築できます。これらのアトラスが因子上の微分構造を定義する場合、対応するアトラスは積多様体上の微分構造を定義します。因子上に定義された他の構造についても同様です。因子のいずれかに境界がある場合、積多様体にも境界があります。デカルト積は、例えば、 S ¹ × S ¹およびS ¹ × [0,1]のように、トーラスと有限円柱を構築するために使用できます。    

多様体の現代的な概念が確立される以前にも、いくつかの重要な成果があった。

非ユークリッド幾何学は、ユークリッドの平行線公準が成り立たない空間を考察する分野である。サッケリは1733年に初めてこのような幾何学を研究したが、その目的はあくまで反証することであった。ガウス、ボヤイ、ロバチェフスキーは100年後にそれぞれ独立にこれらの空間を発見した。彼らの研究によって、古典的なユークリッド空間とは異なる幾何学的構造を持つ2種類の空間が明らかになり、これらが双曲幾何学と楕円幾何学の起源となった。現代の多様体理論では、これらの概念はそれぞれ定常負曲率と定常正曲率を持つリーマン多様体に対応する。

カール・フリードリヒ・ガウスは、抽象空間をそれ自体で数学的な対象として捉えた最初の人物かもしれない。彼の「驚異の定理」は、曲面が存在する周囲の空間を考慮せずに、曲面の曲率を計算する方法を示している。このような曲面は、現代の用語では多様体と呼ばれ、現代の用語で言えば、この定理は曲面の曲率が本質的な性質であることを証明した。多様体理論は、周囲空間の外在的な性質をほとんど無視し、これらの本質的な性質（または不変量）のみに焦点を当てるようになった。

多様体の固有の性質の、より位相的な別の例は、オイラー標数です。レオンハルト・オイラーは、 V個の頂点(または角)、E個の辺、F個の面を持つ 3 次元ユークリッド空間の凸多面体について、$${\displaystyle V-E+F=2.\ }$$多面体の頂点と辺を球面に投影して、頂点V、辺E、面Fを持つ位相マップを作成する場合も同じ式が成り立ち、実際には、凸多面体から生じない場合でも、任意の球面マップに対して真であり続けます。^{[ 3 ]}したがって、2 は球面の位相不変量であり、そのオイラー特性と呼ばれます。一方、トーラスは「平行」円と「子午線」円で切り開くことができ、頂点V = 1、辺E = 2、面F = 1 を持つマップを作成します。したがって、トーラスのオイラー特性は 1 − 2 + 1 = 0 です。他の曲面のオイラー特性は有用な位相不変量であり、ベッチ数を使用して高次元に拡張できます。19 世紀半ばに、ガウス・ボンネの定理はオイラー特性をガウス曲率に結び付けました。            

19世紀前半、ニールス・ヘンリック・アーベルとカール・グスタフ・ヤコビは楕円積分の逆変換に関する研究を行い、その結果、現在ヤコビアンとして知られる特殊なタイプの複素多様体の概念を考察するに至った。ベルンハルト・リーマンは、複素変数関数の解析接続の幾何学的意味を明らかにすることで、彼らの理論をさらに発展させた。

19世紀の数学における多様体のもう一つの重要な源泉は、シメオン・ポアソン、ヤコビ、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって発展した解析力学である。力学系の可能な状態は、古典力学のラグランジュ形式とハミルトン形式では位相空間と呼ばれる抽象空間の点であると考えられている。この空間は実際には高次元多様体であり、その次元は系の自由度に対応し、点は一般化座標によって指定される。自由粒子の制約のない運動の場合、多様体はユークリッド空間と等価であるが、様々な保存則によって、例えばリウヴィル・トーラスのようなより複雑な形状に制約される。18世紀にレオンハルト・オイラーとジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって発展した回転する固体の理論は、多様体が非自明である別の例を示している。古典力学の幾何学的および位相幾何学的側面は、位相幾何学の創始者の一人であるアンリ・ポアンカレによって強調された。

リーマンは、曲面の概念を高次元に一般化する広範な研究を最初に行った人物である。多様体という名称は、リーマンの元のドイツ語の用語であるMannigfaltigkeitに由来し、ウィリアム・キングドン・クリフォードが「多様性」と訳した。ゲッティンゲンでの就任講演で、リーマンは、変数が多くの値をとることができるため、ある制約の下で変数のすべての可能な値の集合をMannigfaltigkeitと表現した。彼は、値が連続的に変化するかそうでないかに応じて、 stetige Mannigfaltigkeit (連続多様性)とdiskrete Mannigfaltigkeit (不連続多様性)を区別した。連続的な例として、リーマンは色や空間内の物体の位置だけでなく、空間図形の可能な形状も挙げている。リーマンは帰納法を用いて、 (n-1)次元多様体の連続した積み重ねとして、n倍拡張多様体（n次元多様体）を構成した。リーマンの直感的な多様体の概念は、今日多様体として形式化されるものへと発展した。リーマン多様体とリーマン面は、リーマンにちなんで名付けられている。

アンリ・ポアンカレは、非常に影響力のある論文「Analysis Situs」 [ ^{4 ]の}中で、現代の多様体の概念の先駆けとなる微分可能な多様体（ variété ）の定義を与えた。 ^{[ 5 ]}

『解析空間』の第一部で、ポアンカレは多様体を、陰関数定理の非退化仮説を満たすユークリッド空間間の連続微分可能な関数のレベルセットとして定義している。第三部では、連続微分可能な関数のグラフは後者の意味での多様体であると述べることから始め、その後、「多様体の​​連鎖」（ une chaîne des variétés ）に基づいた、より一般的な多様体の新しい定義を提案している。

ポアンカレの多様体の連鎖の概念は、現代のアトラスの概念の先駆けである。特に彼は、それぞれ関数のグラフとして定義される2つの多様体を考察した。${\displaystyle \theta (y)}$そして${\displaystyle \theta '\left(y'\right)}$これらの多様体が重なり合っている場合（a une partie commune）、彼は座標が${\displaystyle y}$座標に連続的に微分可能に依存する${\displaystyle y'}$逆もまた然り（' ...les${\displaystyle y}$ソント関数の分析結果${\displaystyle y'}$et 逆')。このようにして彼は、チャートや遷移マップの概念の先駆けとなるものを導入した。

例えば、平面上の単位円は関数のグラフと考えることができる。${\textstyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$そうでなければ関数${\textstyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$点 (1, 0) と (−1, 0) を除くすべての点の近傍では、それぞれ、${\textstyle x={\sqrt {1-y^{2}}}}$そして${\textstyle x=-{\sqrt {1-y^{2}}}}$円は、定義方程式の左辺がすべての点の近傍でグラフで表すことができる。${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$円のどの点においても勾配がゼロではない。陰関数定理により、ユークリッド空間のすべての部分多様体は、局所的に関数のグラフとなる。

ヘルマン・ワイルは、1911年から1912年にかけてのリーマン面に関する講義の中で、微分可能多様体の本質的な定義を与え、その後すぐに登場した位相空間の一般概念への道を開いた。1930年代には、ハスラー・ホイットニーらがこの主題の基礎的な側面を明確にし、19世紀後半に遡る直観が精密化され、微分幾何学とリー群論を通して発展した。特に、ホイットニーの埋め込み定理^{[ 6 ]}は、チャートによる本質的な定義が、ユークリッド空間の部分集合によるポアンカレの定義と等価であることを示した。

2 次元多様体、つまり一般的な 3 次元空間に埋め込まれた 2 次元曲面は、リーマンによってリーマン面という名目で考察され、20 世紀初頭にポール・ヒーガードとマックス・デーンによって厳密に分類されました。ポアンカレは 3 次元多様体の研究の先駆者であり、それらに関する根本的な疑問を提起しました。これは今日、ポアンカレ予想として知られています。約 1 世紀後、グリゴリー・ペレルマンがポアンカレ予想を証明しました (ポアンカレ予想の解決を参照)。1970年代にウィリアム・サーストンが考案した幾何化プログラムは、ポアンカレ予想を一般的な 3 次元多様体にまで大幅に拡張しました。 4 次元多様体は、1980 年代にマイケル・フリードマンによって数学研究の最前線に押し上げられ、また別の文脈では、サイモン・ドナルドソンによっても取り上げられました。ドナルドソンは、当時最新の理論物理学 (ヤン・ミルズ理論)の進歩に触発され、4 次元多様体は通常の「平坦な」時空の代替として機能しました。 アンドレイ・マルコフ Jr. は1960 年に、4 次元多様体を分類するアルゴリズムは存在しないことを示しました。ポアンカレ予想の類似物を含む高次元多様体に関する重要な研究は、それ以前にルネ・トム、ジョン・ミルナー、スティーブン・スモール、セルゲイ・ノビコフによって行われていました。多様体のトポロジーに関する多くの研究の根底にある非常に普及していて柔軟な手法は、モース理論です。

最も単純な多様体として定義できるのは位相多様体であり、これは局所的には「通常の」ユークリッド空間のように見える。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$定義上、すべての多様体は位相多様体であるため、「位相多様体」という用語は通常、多様体に付加的な構造がないこと、または位相的性質のみが考慮されていることを強調するために使用されます。形式的には、位相多様体は、ユークリッド空間と局所的に同相な位相空間です。これは、すべての点には、その近傍をユークリッド空間に写像する同相写像（逆関数も連続である全単射連続関数）が存在する近傍が存在することを意味します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$これらの同相写像は、多様体の図表である。

位相多様体は、局所的にはユークリッド空間にかなり弱い形で似ている。個々のチャートごとに微分可能な関数を区別したり、距離や角度を測定したりすることは可能であるが、位相多様体であるという理由だけで、空間がそのような概念の特定の一貫した選択を持つわけではない。^{[ 7 ]}多様体のそのような性質を議論するためには、さらに構造を指定し、以下で議論する微分多様体とリーマン多様体を考慮する必要がある。特に、同じ基礎となる位相多様体は、互いに互換性のない複数の微分可能な関数のクラスと、距離と角度を指定する無限の数の方法を持つ可能性がある。

通常、異常なケースを除外するために、位相空間に関する追加の技術的な仮定が設けられます。空間がハウスドルフ空間であり、かつ第二可算空間であることが慣例となっています。

ある点における多様体の次元は、その点の座標が写像されるユークリッド空間の次元（定義におけるn ）に等しい。連結多様体内のすべての点は同じ次元を持つ。一部の著者は、位相多様体のすべての座標が同じ次元のユークリッド空間に写像されることを要求する。その場合、すべての位相多様体は位相不変量、すなわち次元を持つ。

ほとんどのアプリケーションでは、特殊な種類の位相多様体、すなわち微分多様体が使用されます。多様体上の局所座標が特定の意味で互換性がある場合、その多様体上で方向、接空間、および微分可能な関数を定義できます。特に、微分多様体上で微積分を使用することが可能です。n次元微分多様体の各点には接空間があります。これは、その点を通る曲線の接ベクトルからなるn次元ユークリッド空間です。

微分可能な多様体の重要な分類として、滑らかな多様体と解析的な多様体が挙げられます。滑らかな多様体の場合、遷移写像は滑らか、つまり無限回微分可能です。解析的な多様体は、遷移写像が解析的である（べき級数で表せる）という追加条件を持つ滑らかな多様体です。球面は解析的な構造を持つことができ、ほとんどのよく知られた曲線や曲面も同様です。

可測集合は、区分的に滑らかな曲線または可測曲線の概念を高次元に一般化したものですが、可測集合は一般的に多様体には存在しません。

多様体上の距離や角度を測定するには、その多様体がリーマン多様体でなければならない。リーマン多様体とは、各接空間に内積が備わっている微分可能な多様体のことである。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$点ごとに滑らかに変化する方法で。2 つの接線ベクトルが与えられた場合${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$内積${\displaystyle \langle u,v\rangle }$実数を返します。ドット積（またはスカラー積）は、内積の典型的な例です。これにより、ベクトル場の長さ、角度、面積（または体積）、曲率、発散などのさまざまな概念を定義できます。

（次元が一定の）すべての微分可能な多様体は、リーマン多様体の構造を持つことができる。ユークリッド空間自体も、リーマン多様体の自然な構造を備えている（接空間は自然にユークリッド空間と同一視され、空間の標準的なスカラー積を持つ）。例えばすべてのn次元球面を含む、多くの馴染み深い曲線や曲面は、ユークリッド空間の部分空間として定義され、その空間への埋め込みから計量を継承する。

フィンズラー多様体は距離の定義を可能にするが、角度の概念を必要としない。それは、各接空間にノルムを備えた解析多様体である。${\displaystyle \|\cdot \|}$点ごとに滑らかに変化する形で。このノルムは、曲線の長さを定義する計量に拡張できますが、一般には内積を定義するために使用することはできません。任意のリーマン多様体はフィンズラー多様体です。

ソフス・リーにちなんで名付けられたリー群は、微分可能な多様体であり、群の構造も持ち、群演算は滑らかな写像によって定義される。

ベクトル加算を群演算とするユークリッドベクトル空間は、非コンパクトリー群の一例です。コンパクトリー群の簡単な例は円です。群演算は回転です。この群は、${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$は、乗算を群演算とする法1の複素数の群としても特徴づけることができる。

リー群の他の例としては、行列の特殊群があり、これらはすべて一般線形群のサブグループです。${\displaystyle n\times n}$非ゼロ行列式を持つ行列。行列の要素が実数である場合、これは${\displaystyle n^{2}}$次元の非連結多様体。直交群、球面と超球面の対称群は、${\displaystyle n(n-1)/2}$次元多様体、${\displaystyle n-1}$は球の次元です。その他の例は、リー群の表に記載されています。

• 複素多様体は、チャートが の値をとる多様体である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$そして、その遷移関数は重なり部分で正則である。これらの多様体は複素幾何学における基本的な研究対象である。1次元複素多様体はリーマン面と呼ばれる。${\displaystyle n}$次元複素多様体は次元を持つ${\displaystyle 2n}$実微分可能多様体として。
• CR多様体は、領域の境界に基づいてモデル化された多様体である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$。
• 「無限次元多様体」：無限次元を考慮するために、バナッハ空間と局所的に同相なバナッハ多様体を考えることができる。同様に、フレシェ多様体はフレシェ空間と局所的に同相である。
• シンプレクティック多様体は、古典力学における位相空間を表すために用いられる多様体の一種である。これらはポアソン括弧を定義する2形式を備えている。これと密接に関連する多様体として、接触多様体がある。
• 組み合わせ多様体とは、多様体を離散化した多様体の一種である。通常、単体複体によって構成される区分的線形多様体を指す。
• デジタル多様体は、デジタル空間で定義される特殊な組み合わせ多様体です。デジタルトポロジーを参照してください。

2次元以上の次元では、単純だが重要な不変基準は、多様体が意味のある向き付けを許容するかどうかという問題である。チャートがに写像される位相多様体を考える。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$順序付けられた基底が与えられた場合${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$チャートによって、多様体のその部分がそれ自体に順序付けの感覚が付与され、3次元空間では右手系または左手系として見なすことができます。重なり合うチャートは順序付けの感覚が一致する必要はなく、多様体には重要な自由度があります。球面のような一部の多様体では、重なり合う領域がその「手形性」で一致するようにチャートを選択できます。これらは向き付け可能な多様体です。他の多様体では、これは不可能です。後者の可能性は、3次元空間に埋め込まれた（自己交差のない）任意の閉曲面が向き付け可能であるため、見落とされがちです。

向き付け不可能な多様体の例としては、(1)境界を持つ多様体であるメビウスの帯、(2) 3次元空間表現において必ず自己交差するクラインの壺、(3)幾何学において自然に現れる実射影平面などが挙げられる。

メビウスの帯

まず、垂直に立つ無限円柱、境界のない多様体から始めます。これを上下にスライスして、2つの円形の境界と、その間に円柱状の帯を作ります。これは境界を持つ向き付け可能な多様体であり、この帯に対して「手術」を行います。帯を切り開いて、長方形に広げられるようにしますが、切り口は握ったままにします。片方の端を180°ねじって内側を外側に向け、端を継ぎ目なく接着します。こうして、永久的に半回転した帯、メビウスの帯ができます。その境界はもはや2つの円ではなく、（位相的に）1つの円です。そして、かつて「内側」だったものが「外側」と融合し、今では1つの面しか持っていません。下のクラインの壺と同様に、この2次元の表面は2次元では自身と交差する必要がありますが、3次元以上では容易に構築できます。

実射影平面

原点を中心とする球面から始めます。原点を通るすべての直線は、球面を2つの対向する点（対蹠点）で貫通します。物理的には不可能ですが、（商空間を考えることで）各対蹠点のペアを数学的に1つの点に統合することは可能です。このようにして生成される閉曲面は実射影平面であり、これもまた向き付け不可能な曲面です。実射影平面には、同等の記​​述や構成がいくつか存在しますが、この方法によってその名前が説明できます。すなわち、原点を通る任意の直線上のすべての点は、この「平面」上の同じ「点」に投影されるということです。

2次元多様体において重要な不変特性は、種数、すなわち曲面に存在する「ハンドルの数」です。トーラスはハンドルが1つある球面であり、ダブルトーラスはハンドルが2つある球面である、といった具合です。実際、コンパクトな2次元多様体は、種数と向き付け可能性に基づいて完全に特徴付けることができます。高次元多様体では、種数はオイラー標数の概念に置き換えられ、より一般的にはベッチ数、ホモロジー、コホモロジーの概念が用いられます。

多様体間の写像の基本的な例としては、多様体上のスカラー値関数、 $${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$$ または $${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {C} ,}$$

代数幾何学や線形代数との類推から、正則関数または汎関数と呼ばれることもある。これらはそれ自体が興味深いだけでなく、その根底にある多様体を研究する上でも重要である。

幾何学的トポロジーでは、ハンドルボディ分解をもたらすモース関数が最も一般的に研究されています。一方、数学解析では、偏微分方程式の解を研究することが多く、その重要な例が調和解析です。調和解析では、ラプラス演算子の核である調和関数を研究します。これにより、球面調和関数などの関数や、ドラムの形状を聞き取る方法やアティヤ・シンガー指数定理の証明など、多様体を研究するための熱核法が導き出されます。

• 3次元多様体– 数学的空間 
• 4次元多様体– 数学的空間 
• 5次元多様体– 次元が5の多様体 
• 写像の多様体