正接

幾何学において、平面曲線の任意の点における接線（または単に接線）は、直感的には、その点で曲線に「ちょうど接する」直線である。ライプニッツはこれを、曲線上の２つの無限に近い点を通る線と定義した。 ^{[1] [2]}より正確には、直線が曲線y = f ( x ) の点x = cで接するとは、その直線が曲線上の点( c , f ( c ))を通り、傾きがf ' ( c )であるときである。ここでf ' はfの導関数である。同様の定義が、空間曲線およびn次元ユークリッド空間内の曲線にも当てはまる。

接線と曲線が交わる点は接点と呼ばれます。接線は曲線と同じ方向を向いていると言われ、その点における曲線の最も近似した直線です。微分可能曲線上の点に対する接線は、接線近似、つまり、与えられた点における元の関数を最も近似するアフィン関数のグラフと考えることもできます。^[3]

同様に、ある点における面の接平面とは、その点において面に「ちょうど接する」平面のことです。接線の概念は微分幾何学における最も基本的な概念の 1 つであり、広く一般化されています。接線空間を参照してください。

「tangent」という単語はラテン語の「 tangere（触れる）」に由来します。

ユークリッドは原論第3巻 （紀元前300年頃）の中で、円に対する接線（ἐφαπτομένη ephaptoménē ）について何度か言及している。 ^[4]アポロニウスの著作『円錐曲線』 （紀元前225年頃）では、接線とは曲線とその間に他の直線が挟まれない線であると定義している。^[5]

アルキメデス（紀元前287年頃-紀元前212年頃）は、曲線に沿って動く点の軌跡を考慮して、アルキメデスの螺旋の接線を発見した。 ^[5]

1630年代、フェルマーは接線やその他の解析問題を計算するために等号法を開発し、これを放物線の接線の計算に使用しました。等号法は、との差を取っての累乗で割るのと似ています。デカルトは独立して、円の半径は常に円自体に垂直であるという観察に基づいて法線法を使用しました。^[6]${\displaystyle f(x+h)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle h}$

これらの方法は、17世紀の微分積分学の発展につながりました。多くの人々が貢献しました。ロベルヴァルは、曲線をより単純な運動の結果として動く点によって記述されるものとみなすことで、接線を引く一般的な方法を発見しました。 ^[7] ルネ・フランソワ・ド・スルーズとヨハネス・フッデは、接線を求める代数アルゴリズムを発見しました。^[8]ジョン・ウォリスとアイザック・バローによるさらなる発展が、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツの理論につながりました。

1828 年の接線の定義は、「曲線に接するが、曲線を切断しない直線」でした。^[9]この古い定義は、変曲点が接線を持つことを妨げます。この定義は却下され、現代の定義はライプニッツの定義と同等であり、ライプニッツは、接線を曲線上の 2 つの無限に近い点を通る線と定義しました。現代の用語では、これは次のように表現されます。曲線上の点Pにおける曲線の接線は、曲線の 2 つの点がPに向かうときに、その 2 つの点を通る線の極限です。

接線が曲線に「接する」という直感的な概念は、関数曲線上にある2 つの点AとBを通る直線 (割線) の列を考慮することで、より明確にすることができます。 Aにおける接線は、点B がAに近づいたり、Aに近づいたりするときの限界です。接線の存在と一意性は、「微分可能性」と呼ばれる特定の種類の数学的滑らかさに依存します。たとえば、2 つの円弧が鋭い点 (頂点) で出会う場合、その頂点で一意に定義される接線は存在しません。これは、割線の進行の限界が「点B」が頂点に近づく方向に依存するためです。

ほとんどの点では、接線は曲線と交差することなく接します (ただし、接線が継続すると、接線から離れた他の場所で曲線と交差する場合があります)。接線 (この点) が曲線と交差する点は、変曲点と呼ばれます。円、放物線、双曲線、楕円には変曲点はありませんが、より複雑な曲線には変曲点があります。たとえば、 3 次関数のグラフには変曲点が 1 つあり、正弦波には正弦の各周期ごとに 2 つの変曲点があります。

逆に、曲線が、その上の点を通る直線の片側に完全に乗っていても、この直線が接線ではない場合があります。これは、たとえば三角形の頂点を通り、他の点では三角形と交差しない線の場合です。この場合、上記の理由により接線は存在しません。凸幾何学では、このような線は支持線と呼ばれます。

接線を割線の極限とする幾何学的概念は、接線を明示的に求めるのに用いられる解析的手法の動機となっている。グラフの接線を求める問題、すなわち接線問題は、 17世紀に微積分学の発展をもたらした中心的な問題の1つであった。ルネ・デカルト^[10]は、幾何学の第2巻で、曲線の接線を構成する問題について、「そして私はあえて言うが、これは私が知る幾何学における最も有用で最も一般的な問題であるだけでなく、私が知りたいと望んだ問題でもある」と述べている^{[11] 。}

曲線が関数y = f ( x )のグラフとして与えられているとします。点p = ( a , f ( a ) ) における接線を求めるには、曲線上の別の近くの点q = ( a + h , f ( a + h ) ) を考えます。pとqを通る割線の傾きは、差商に等しくなります。

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

点q がpに近づくと、つまりhがどんどん小さくなると、差分商は特定の限界値kに近づくはずです。この限界値は点pにおける接線の傾きです。kが既知であれば、接線の方程式は点と傾きの形式で見つけることができます。

${\displaystyle yf(a)=k(xa).\,}$

前述の推論を厳密にするためには、差分商が特定の極限値kに近づくとはどういうことかを説明する必要があります。正確な数学的定式化は 19 世紀にコーシーによって与えられ、極限の概念に基づいています。グラフがpで切れ目や鋭いエッジを持たず、 p の近くで垂直でも極端に波打ってもいないとします。すると、 kの唯一の値が存在し、h が0 に近づくにつれて差分商はkにどんどん近づき、 hが十分に小さければ、それらの間の距離はhの大きさに比べて無視できるようになります。これにより、グラフの接線の傾きが関数fの差分商の極限として定義されます。この極限は、関数fのx = aにおける導関数で、f  ′( a ) と表記されます。導関数を使用すると、接線の方程式は次のように表すことができます。

${\displaystyle y=f(a)+f'(a)(xa).\,}$

微積分学は、べき乗関数、三角関数、指数関数、対数、およびそれらのさまざまな組み合わせなどの公式によって与えられた関数の導関数を計算するための規則を提供します。したがって、これらすべての関数、および他の多くの関数のグラフの接線の方程式は、微積分学の方法によって見つけることができます。

微積分学では、関数とそのグラフ上の点には、接線の傾きを決定する極限が存在しないことも示しています。これらの点では、関数fは微分不可能です。極限と導関数に基づいて接線を求める方法が失敗する理由は 2 つ考えられます。幾何学的接線は存在するが、それが垂直線であり、傾きがないため点と傾きの形式では表せないか、グラフが幾何学的接線を排除する 3 つの動作のいずれかを示しているかのいずれかです。

グラフy = x ^{1/3 は}最初の可能性を示しています。ここで、a = 0 での差の商はh ^1/3 / h = h ^−2/3に等しく、 h が0 に近づくにつれて非常に大きくなります。この曲線は、原点で垂直な接線を持ちます。

グラフy = x ^{2/3 は}別の可能性を示しています。このグラフは原点に尖点があります。つまり、 h が0 に近づくと、 a = 0での差商はxの符号に応じてプラスまたはマイナスの無限大に近づきます。したがって、曲線の両方の枝はy =0 となる半垂直線の近くにありますが、この線の負の部分の近くにはありません。基本的に、この場合、原点に接線はありませんが、状況によっては、この線を接線と見なしたり、代数幾何学では二重接線と見なしたりすることもできます。

絶対値関数のグラフy = | x | は、原点で結合された異なる傾きを持つ 2 本の直線で構成されます。点q が右から原点に近づくと、割線の傾きは常に 1 になります。点q が左から原点に近づくと、割線の傾きは常に -1 になります。したがって、原点におけるグラフの接線は一意ではありません。2 つの異なる (ただし有限の) 傾きを持つことをコーナーと呼びます。

最後に、微分可能性は連続性を意味するので、対偶状態の不連続性は非微分可能性を意味する。このようなジャンプまたは点の不連続性には接線がない。これには、一方の傾きが正の無限大に近づき、もう一方の傾きが負の無限大に近づく場合が含まれ、無限ジャンプ不連続につながる。

曲線がy = f ( x ) で与えられる場合、接線の傾きは点-傾きの公式 により、 ( X ,  Y ) における接線の方程式は次のようになります。${\displaystyle dy/dx,}$

${\displaystyle yY={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (xX)}$

ここで ( x ,  y ) は接線上の任意の点の座標であり、導関数は で評価される。^[12]${\displaystyle x=X}$

曲線がy = f ( x ) で与えられる場合、接線の方程式はで割る多項式除算を使用して求めることもできます^[13]。剰余が で表される場合、接線の方程式は次のように表されます。 ${\displaystyle f\,(x)}$${\displaystyle (xX)^{2}}$${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle y=g(x).}$

曲線の方程式が f ( x ,  y ) = 0の形式で与えられた場合、傾きの値は暗黙の微分によって求められ、次のように なります。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

点（ X、Y ）における接線の方程式は、 f（X、Y）= 0となるため、次の式で表される^[12]。

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0.}$

この式は、

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0,}$

この場合、接線の傾きは無限大となる。しかし、

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,}$

接線は定義されておらず、点 ( X , Y ) は特異点であると言われます。

代数曲線の場合、同次座標に変換することで計算がいくらか簡略化される。具体的には、曲線の同次方程式をg ( x ,  y ,  z ) = 0とする。ここでgは次数nの同次関数である。すると、( X ,  Y ,  Z )が曲線上にある場合、オイラーの定理から次の式が得られる 。したがって、接線の同次方程式は次の式になる。 $${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.}$$

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.}$

この式でz =1と設定すると、直交座標における接線の方程式が得られます。 ^[14]

これを代数曲線に適用するには、f ( x ,  y )を次のように 書きます。

${\displaystyle f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,}$

ここで各u _{r は}r次の項すべての和である。曲線の同次方程式は

${\displaystyle g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,}$

上記の式を適用し、z =1 とすると、

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0}$

接線の方程式として。^[15]この形式の方程式は、適用後にそれ以上の簡略化が必要ないため、実際にはより簡単に使用できることが多い。^[14]

曲線が次のように パラメタ的に与えられる場合

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

接線の傾きは

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg /}{\frac {dx}{dt}}}$

の接線の式は^[16]のように与えられる。${\displaystyle \,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).}$

もし

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,}$

接線は定義されていません。ただし、接線が存在し、曲線の暗黙の方程式から計算される場合もあります。

曲線の接点における接線に垂直な線は、その点における曲線の法線と呼ばれます。垂直線の傾きは積が-1であるため、曲線の方程式がy = f ( x )である場合、法線の傾きは

${\displaystyle -1{\bigg /}{\frac {dy}{dx}}}$

そして、(X, Y)における法線の方程式は

${\displaystyle (x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.}$

同様に、曲線の方程式がf ( x ,  y ) = 0の形をしている場合、法線の方程式は^{[17]で与えられます。}

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.}$

曲線が次のようにパラメタ的に与えられる場合

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

すると法線の方程式は^[16]

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.}$

2つの曲線が交差する点における曲線間の角度は、その点における曲線の接線間の角度として定義されます。より具体的には、2つの曲線が1点で同じ接線を持つ場合、それらの曲線は1点で接しているとされ、それらの接線が直交する場合は直交しているとされます。^[18]

点が特異点である場合、上記の公式は成立しません。この場合、点を通過する曲線の 2 つ以上の枝があり、各枝には独自の接線があります。点が原点である場合、代数曲線のこれらの線の方程式は、元の方程式から最低次数以外の項をすべて削除して形成された方程式を因数分解することによって見つけることができます。変数の変更 (または曲線の平行移動) によって任意の点を原点にすることができるため、これにより任意の特異点での接線を見つける方法が得られます。

例えば、右に示す リマソン三等分線の方程式は

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}$

これを展開して2次以外の項を消去すると、

${\displaystyle a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,}$

これを因数分解すると、

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {3}}x.}$

これらは原点を通る2つの接線の方程式です。^[19]

曲線が自己交差しない場合、曲線は他の場所では微分可能であっても、その点で微分可能ではないため、参照点における接線は一意に定義されない場合があります。この場合、左微分と右微分は、評価される点がそれぞれ左（低い値）または右（高い値）から参照点に近づくにつれて微分の限界として定義されます。たとえば、曲線y = | x | はx = 0で微分不可能です。その左微分と右微分の傾きはそれぞれ -1 と 1 です。その点におけるこれらの傾きの接線は、左接線と右接線と呼ばれます。^[20]

左右の接線の傾きが等しい場合、接線が一致することがあります。これは、たとえば曲線y = x ^{2/3の場合に当てはまります。この曲線では、} x = 0での左右の導関数は両方とも無限大です。つまり、左右の接線は両方ともx = 0 という式を持ちます。

同じ平面にある 2 つの異なる円が正確に 1 点で交わる場合、それらの円は互いに 接していると言われます。

平面上の点が直交座標で記述される場合、半径と中心を持つ2つの円は、常に互いに接する。 ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.}$

2つの円の中心間の距離が半径の合計に等しい 場合、2つの円は外接していると呼ばれます。

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.}$

あるいは中心間の距離が半径の差に等しい場合は内部接線となる。 ^[21]

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.}$

与えられた点pにおける表面の接平面は、曲線の場合の接線と類似した方法で定義されます。これは、pにおける平面による表面の最善の近似であり、 pに近い表面上の 3 つの異なる点を通る平面の、これらの点がpに収束するときの限界位置として得られます。数学的には、表面が関数 によって与えられている場合、点 における接平面の方程式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle z=f(x,y)}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle z-z_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}$。

ここで、および は、それぞれ、点 で評価された、およびに関する関数の偏導関数です。本質的に、接平面は、特定の点pにおける表面の局所的な動作を捉えます。これは、微積分学や微分幾何学で使用される基本的な概念であり、関数が表面上で局所的にどのように変化するかを理解するために重要です。 ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

より一般的には、 n次元ユークリッド空間内のk次元多様体の各点にk次元接空間が存在します。

• 多項式関数の多重根付近での挙動
• ニュートン法
• 法線（ジオメトリ）
• 接触円
• 接触曲線
• 接触面
• 垂直
• 接線
• サポートライン
• 点における接線
• 接線円錐
• 円の接線
• 接線ベクトル
• 接線角
• 接線成分

• J. エドワーズ (1892)。『微分積分学』ロンドン: マクミラン社、pp. 143 ff.

• 「接線」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「タンジェント・ライン」。マスワールド。
• 円の接線 インタラクティブアニメーション付き
• 接線と一次導関数 — インタラクティブなシミュレーション