分析的継続

複素解析という数学の一分野において、解析接続とは、与えられた解析関数の定義域を拡張する手法である。解析接続は、例えば、最初にその関数を定義していた無限級数表現が発散するような新たな領域において、関数のさらなる値を定義することにしばしば成功する。

しかしながら、段階的継続法は困難に直面する可能性がある。これらの困難は本質的に位相的な性質を持ち、矛盾（複数の値を定義すること）を引き起こす可能性がある。あるいは、特異点の存在に関係している可能性もある。複数の複素変数の場合、特異点は孤立点である必要はなく、その研究は層コホモロジーの発展の主要な理由の一つとなったため、状況はかなり異なる。

fは複素平面の空でない開集合U上で定義された解析関数であると仮定する。${\displaystyle \mathbb {C} }$Vが のより大きな開部分集合である場合${\displaystyle \mathbb {C} }$Uを含み、FはV上で定義された解析関数であり、

${\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

このとき、Fはfの解析接続と呼ばれる。言い換えれば、FをUに制限したものが、最初に用いた関数fとなる。

解析接続は、次の意味で一意です。Vが2 つの解析関数F ₁とF _2の連結領域であり、UがVに含まれ、 Uのすべてのzに対して、

${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z),}$

それから

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

V全体にわたって。これは、F ₁  − F _2がfの開いた連結領域U上でゼロになる解析関数であり、したがってその領域全体でゼロになる必要があるためです。これは、正則関数の恒等定理から直接導かれます。 

複素解析における関数の定義の一般的な方法は、まず小さな領域で関数を指定し、次に解析接続によってそれを拡張するというものである。

実際には、この連続性は、まず小さな領域で何らかの関数方程式を確立し、次にこの方程式を使用して領域を拡張することによって行われることが多い。例としては、リーマンゼータ関数やガンマ関数などがある。

普遍被覆の概念は、解析関数の解析接続のための自然な領域を定義するために最初に開発された。関数の最大解析接続を見つけるという考え方は、さらにリーマン面の概念の発展につながった。

解析接続は、アインシュタイン方程式の解の文脈において、リーマン多様体で使用されます。たとえば、シュワルツシルト座標は、クラスカル・セケレス座標に解析接続できます。^{[ 1 ]}

特定の解析関数から始めます${\displaystyle f}$この場合、それはを中心とするべき級数で与えられる。${\displaystyle z=1}$:

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(z-1)^{k}。}$$

コーシー・アダマールの定理により、その収束半径は 1 である。つまり、${\displaystyle f}$は開集合上で定義され解析的である${\displaystyle U=\{|z-1|<1\}}$境界を持つ${\displaystyle \partial U=\{|z-1|=1\}}$実際、このシリーズは${\displaystyle z=0\in \partial U}$。

私たちはそれを知らないふりをしよう${\displaystyle f(z)=1/z}$（等比数列であるため）、そして冪級数を別の点に再中心化することに焦点を当てる。${\displaystyle a\in U}$:

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(za)^{k}.}$$

計算します${\displaystyle a_{k}}$'s を判定し、この新しいべき級数が開集合で収束するかどうかを判定する${\displaystyle V}$含まれていない${\displaystyle U}$そうだとすれば、我々は分析的に継続したことになる${\displaystyle f}$その地域へ${\displaystyle U\cup V}$これは厳密にはより大きい${\displaystyle U}$。

からの距離${\displaystyle a}$に${\displaystyle \partial U}$は${\displaystyle \rho =1-|a-1|>0}$。 取る${\displaystyle 0<r<\rho }$; させて${\displaystyle D}$半径の円盤とする${\displaystyle r}$その周り${\displaystyle a}$; そして${\displaystyle \partial D}$その境界とする。${\displaystyle D\cup \partial D\subset U}$コーシーの微分公式を用いて新しい係数を計算すると、次のようになる 。$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{\partial D}{\frac {(\zeta \left\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a+re^{i\theta }-1)^{n}rie^{i\theta }d\theta }{(re^{i\theta })^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a-1+re^{i\theta })^{n}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac \end{aligned}$$

積分は、${\displaystyle m\neq k}$すると、${\displaystyle m=k}$合計に影響を与えずに、$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\\&=(-1)^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}(1-a)^{m}\\&=(-1)^{k}a^{-k-1}\end{aligned}}}$$

最後の総和は等比級数のk次微分から得られ、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{k+1}}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}x^{m}.}$$

それから、 $${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a^{-k-1}(z-a)^{k}\\&={\frac {1}{a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{a}}{\frac {1}{1-\left(1-{\frac {z}{a}}\right)}}\\&={\frac {1}{z}}\\&={\frac {1}{(z+a)-a}}\end{aligned}}}$$

収束半径を持つ${\displaystyle |a|}$その周り${\displaystyle a}$. もし私たちが選ぶなら${\displaystyle a\in U}$と${\displaystyle |a|>1}$、 それから${\displaystyle V}$は の部分集合ではない${\displaystyle U}$実際には面積はより大きい${\displaystyle U}$グラフは、${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}(3+i).}$

プロセスを続けることができます: 選択${\displaystyle b\in U\cup V}$パワーシリーズを次の位置に再配置します。${\displaystyle b}$そして、新しいべき級数が収束する場所を決定します。領域に含まれない点がある場合${\displaystyle U\cup V}$そうすれば、分析的に継続することになる${\displaystyle f}$さらに。この特定の${\displaystyle f}$解析的に、穴の開いた複素平面全体に拡張することができる。${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$

この特定のケースでは、得られた値は${\displaystyle f(-1)}$連続する中心が正の虚部を持つ場合と負の虚部を持つ場合では、同じ値になります。ただし、常にそうとは限りません。特に、上記の関数の原始関数である複素対数ではそうではありません。

以下に定義される冪級数は、芽の概念によって一般化される。解析接続の一般理論とその一般化は、層理論として知られている。

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

ディスクD _r ( z ₀ ) 、r > 0で収束するべき級数であり、次のように定義される。

${\displaystyle D_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C}$ :|z-z_{0}|<r\}} 。

一般性を失うことなく、ここおよび以下では、rが ∞ であっても、常にそのようなr が最大値であると仮定します。また、小さな開集合上で定義された解析関数から始めることも同等であることに注意してください。ベクトルは

${\displaystyle g=(z_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots )}$

はfの芽です。gの基底g _0はz ₀であり、gの幹は (α ₀ , α ₁ , α ₂ , ...) であり、gの頂点g ₁は α_{​​ 0です}。gの頂点は、z 0_におけるfの値です。

任意のベクトルg = ( z ₀ , α ₀ , α ₁ , ...) は、収束半径r > 0 を持つz ₀の周りの解析関数のべき級数を表す場合、芽となります。したがって、芽の集合について安全に話すことができます。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$。

gとhを細菌とする。${\displaystyle |h_{0}-g_{0}|<r}$ここで、rはgの収束半径であり、 gとhによって定義されるべき級数が2 つの領域の交点上で同一の関数を指定する場合、hはgによって生成される (または g と互換性がある)と言い、 g ≥ hと書きます。この互換性条件は、推移的でも、対称的でも、反対称的でもありません。推移性によって関係を拡張すると、対称的な関係が得られます。したがって、これは芽に関する同値関係でもあります(ただし、順序ではありません)。この推移性による拡張は、解析接続の定義の 1 つです。同値関係は、と表記されます。${\displaystyle \cong }$。

トポロジーを定義することができます${\displaystyle {\mathcal {G}}}$r > 0 とし、

${\displaystyle U_{r}(g)=\{h\in {\mathcal {G}}:g\geq h,|g_{0}-h_{0}|<r\}.}$

すべてのr > 0に対して集合U _r ( g )および${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$位相の開集合の基底を定義する${\displaystyle {\mathcal {G}}}$。

接続されたコンポーネント${\displaystyle {\mathcal {G}}}$（つまり、同値類）は層と呼ばれます。また、によって定義される写像にも注目します。${\displaystyle \phi _{g}(h)=h_{0}:U_{r}(g)\to \mathbb {C} ,}$ここで、rはgの収束半径であり、 はチャートである。このようなチャートの集合は、のアトラスを形成する。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$したがって${\displaystyle {\mathcal {G}}}$はリーマン面である。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$これは、普遍解析関数と呼ばれることもあります。

${\displaystyle L(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(z-1)^{k}}$

これは、 z = 1付近の自然対数に対応するべき級数です。このべき級数は、

${\displaystyle g=\left(1,0,1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},\ldots \right)}$

この芽の収束半径は1であり、それに対応する層Sが存在する。これは対数関数の層である。

解析関数の一意性定理は、解析関数の層にも拡張されます。解析関数の層がゼロ芽を含む場合（つまり、層が何らかの近傍で一様にゼロである場合）、層全体がゼロになります。この結果を利用すると、上記のように対数関数の層Sの任意の芽g を取り、それをべき級数f ( z ) に変換すると、この関数は exp( f ( z )) = zという性質を持つことがわかります。解析関数の逆関数定理のバージョンを使用することにした場合、指数写像のさまざまな逆関数を構成できますが、それらはすべてS内の何らかの芽によって表されることがわかっています。その意味で、S は指数写像の「唯一の真の逆関数」です。

古い文献では、解析関数の層は多価関数と呼ばれていました。一般的な概念については、「層」の項を参照してください。

べき級数が収束半径rを持ち、その円盤内で解析関数fを定義するとします。収束円上の点を考えます。f が解析的拡張を持つ近傍が存在する点は正則であり、そうでない点は特異点です。円のすべての点が特異点である場合、その円は自然な境界となります。

より一般的には、 fが解析的である任意の開連結領域にこの定義を適用し、領域の境界の点を正則または特異点に分類することができます。すべての点が特異点である場合、領域の境界は自然な境界となり、その場合、領域は正則領域となります。

モノドロミー定理は、直接解析接続（すなわち、解析関数をより大きな集合上の解析関数に拡張すること）が存在するための十分条件を与える。

仮定する${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$Dは開集合であり、fはD上の解析関数である。GがDを含む単連結領域であり、f がD内の固定点aから始まるG内のすべての経路に沿って解析接続を持つ場合、fはGに直接解析接続を持つ。

上記の表現では、Gが単連結領域であり、Sが基点集合がG を含む層である場合、芽がSに属するG上の解析関数f が存在することを意味します。

べき級数の場合

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{n_{k}}}$

と

${\displaystyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {n_{k+1}}{n_{k}}}>1}$

収束円は自然な境界である。このようなべき級数は、欠落級数と呼ばれる。この定理は、ウジェーヌ・ファブリー（ファブリーの欠落定理を参照）とジョージ・ポリアによって大幅に一般化された。

させて

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

をべき級数とする。このとき、ε _k ∈ {−1, 1}が存在し、

${\displaystyle g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\varepsilon _{k}\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

z ₀の周りのfの収束円盤を自然な境界として持つ。

この定理の証明には、アダマールのギャップ定理が用いられる。

• ミッタッグ＝レフラー選手
• 正則関数計算
• 数値解析接続
• ポリアのシャイア定理

• Lars Ahlfors (1979).複素解析（第3 版）. McGraw-Hill. pp.  172, 284.
• ルートヴィヒ・ビーバーバッハ (1955)。分析要項。スプリンガー・フェルラーク。
• P. Dienes (1957). The Taylor series: an introduction to the theory of functions of a complex variable . New York: Dover Publications, Inc. Bibcode : 1957tsai.book.....D .

• 「解析接続」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• MathPagesの解析接続
• ワイススタイン、エリック・W. 「解析接続」 . MathWorld .