多様体の写像

数学、特に微分幾何学や位相幾何学においては、多様体間の様々な種類の写像や関数が、それ自体として、またそれらがもたらす知見という観点から研究されている。

多様体には様々な種類があるように、多様体の写像にも様々な種類がある。

幾何学的トポロジーでは、写像の基本型は多様体のさまざまなカテゴリに対応します。微分可能多様体間の滑らかな関数を表すDIFF、区分的線形多様体間の区分的線形関数を表すPL 、および位相的多様体間の連続関数を表すTOPです。これらは、集合として互いに包含されるわけではありませんが、段階的に弱い構造です。滑らかな関数は区分的線形ではなく、区分的線形関数も、大域的に線形な関数を除いて滑らかではありません。区分的に滑らかな多様体の集合には、滑らかな多様体と区分的線形多様体の両方が含まれますが、区分的に微分可能な写像は合成に関して閉じていないため、カテゴリを形成しません。しかし、すべての区分的に滑らかな多様体は区分的線形構造を許容するため、カテゴリとしては、PLはDIFFとTOPの間に位置します。

これらの一般的な地図の分類に加えて、特別な特性を持つ地図も存在する。これらの地図は分類を形成する場合もあれば、そうでない場合もあり、また、一般的に分類的に議論される場合もあれば、そうでない場合もある。

幾何学的トポロジーにおける基本的なタイプは埋め込みであり、結び目理論はその代表的な例である。また、埋め込み、沈み込み、被覆空間、分岐被覆空間などの一般化も存在する。基本的な成果としては、ホイットニー埋め込み定理とホイットニー埋め込み定理が挙げられる。

複素幾何学では、分岐被覆空間はリーマン面をモデル化したり、リーマン・フルヴィッツの公式などを用いて面間の写像を解析したりするために使用される。

リーマン幾何学では、リーマン計量を保存する写像を求めることができ、等長埋め込み、等長浸漬、リーマン沈み込みといった概念につながります。基本的な結果として、ナッシュ埋め込み定理があります。

多様体間の写像の基本的な例としては、多様体上のスカラー値関数、${\displaystyle \scriptstyle f\colon M\to \mathbb {R} }$または${\displaystyle \scriptstyle f\colon M\to \mathbb {C} ,}$代数幾何学や線形代数との類推から、正則関数または汎関数と呼ばれることもある。これらはそれ自体が興味深いだけでなく、その根底にある多様体を研究する上でも重要である。

幾何学的トポロジーでは、最も一般的に研究されているのはモース関数であり、これはハンドルボディ分解をもたらし、これはモース・ボット関数に一般化され、例えばボット周期性などの古典的な群を理解するために使用できます。

数学解析では、偏微分方程式の解を研究することが多く、その重要な例の一つが調和解析です。調和解析では、ラプラス演算子の核である調和関数を研究します。これにより、球面調和関数などの関数や、ドラムの形状を音で捉える方法、アティヤ・シンガー指数定理の証明など、多様体を研究するための熱核法が導き出されます。

特異点または分岐点の周りのモノドロミーは、そのような関数を解析する上で重要な要素である。

スカラー値関数の双対 – マップ${\displaystyle \scriptstyle M\to \mathbb {R} }$– 地図${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} \to M,}$これらは多様体における曲線または経路に対応する。また、定義域が区間である場合にもこれらを定義することができる。${\displaystyle [a,b],}$特に単位間隔${\displaystyle [0,1],}$または、領域が円（等価的に周期的な経路）S ¹である場合、ループが得られます。これらは、基本群、ホモロジー理論における鎖、測地線、およびシストリック幾何学を定義するために使用されます。

埋め込まれた経路やループは結び目理論につながり、リンク、編み紐、絡まりなどの関連構造も生まれる。

リーマン多様体は距離空間の特殊な場合であり、そのため、リプシッツ連続性、ヘルダー条件、粗い構造といった概念が存在し、粗い写像や幾何学的群論との関連といった概念につながる。

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