半代数集合

数学において、基本半代数集合は多項式等式と多項式不等式によって定義される集合であり、半代数集合は基本半代数集合の有限 和である。半代数関数は半代数グラフを持つ関数である。このような集合と関数は、実数上の代数 幾何学の適切な枠組みである実代数幾何学で主に研究されている。

を実閉体とします（例えば、実数体）。の部分集合が半代数集合であるとは、それがの形式の多項式等式によって定義される集合の有限和であり、かつ の形式の多項式不等式によって定義される集合の有限和である場合です。${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$${\displaystyle \{(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {F} ^{n}\mid P(x_{1},...,x_{n})=0\}}$${\displaystyle \{(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {F} ^{n}\mid P(x_{1},...,x_{n})>0\}.}$

代数的部分多様体と同様に、半代数的集合の有限和と積もやはり半代数的集合です。さらに、部分多様体とは異なり、半代数的集合の補集合はやはり半代数的です。最後に、そして最も重要なことですが、タルスキ・ザイデンベルグの定理によれば、それらは射影演算についても閉じています。言い換えれば、半代数的集合を線型部分空間に射影すると、別の半代数的集合が生成されます (量指定子除去の場合と同様)。これらの特性を合わせると、半代数的集合はR上でo 極小構造を形成することになります。

半代数集合 (または関数) は、定義のように、多項式がAに係数を持つように選択できるような記述がある場合に、Rの部分環 A上で定義されていると言われます。

半代数集合Sの稠密な 開部分集合上では、それは (局所的に)部分多様体です。 Sの次元は、それが部分多様体である点における最大次元として定義できます。半代数集合が同じ次元の代数部分多様体の内側にあることは容易にわかります。

• ウォヤシェヴィチの不平等
• 実在論的実在理論
• サブ分析セット
• 区分代数空間

• ボナック、J.コステ、M.ロイ、M.-F. (1998)、実代数幾何学、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 9783662037188。
• ビアストーン、エドワード; ミルマン、ピエール D. (1988)、「半解析的集合と部分解析的集合」、Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.、67 : 5–42、doi :10.1007/BF02699126、MR  0972342、S2CID  56006439。
• van den Dries, L. (1998)、Tame トポロジーと O 極小構造、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9780521598385。

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