球の外転

微分位相幾何学において、球の反転は、 3次元空間で球を裏返しにするプロセスです（反転という言葉は「裏返し」を意味します）。このようにして、球を切ったり裂いたり折り目を作ったりすることなく、滑らかに連続的に球を裏返しにすることができます（球の表面の自己交差を許容します）。これは、数学者以外の人にとっても、正則ホモトピーを理解する人にとっても驚くべきことであり、真実のパラドックスと見なすことができます。つまり、一見すると真実であるものの、間違っているように見えることです。

より正確に言うと、

${\displaystyle f\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

は標準的な埋め込みである。すると、浸漬の正規ホモトピーが存在する。

${\displaystyle f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

ƒ ₀  =  ƒかつƒ ₁  = − ƒとなる。

しわのない球の反転の存在証明は、スティーブン・スメール (1957) によって初めて作成されました。そのよう な回転の特定の例を視覚化することは困難ですが、それをいくらか容易にするいくつかのデジタルアニメーションが制作されています。最初の例は、アーノルド・S・シャピロや盲目のバーナード・モーリンを含む数人の数学者の努力によって示されました。一方、そのような「回転」が存在することを証明することははるかに簡単で、それがスメールが行ったことです。

スメールの大学院指導教官ラウル・ボットは最初、結果は明らかに間違っているとスメールに告げた (Levy 1995)。彼の推論は、ガウス写像の次数はそのような「回転」で保存されるはずであり、特に、 R ²におけるS ¹のそのような回転はないということになる。しかし、 R ³における埋め込みfおよび − fのガウス写像の次数は両方とも 1 に等しく、誤って推測されるかもしれない反対の符号を持つことはない。S 2 の R 3 におけるすべてのはめ込みのガウス写像の次数は1で^あるため、障害はない。このレベルでは「真実のパラドックス」という用語がより適切に当てはまるかもしれない。スメールの研究まで、S ^{2の反転を主張または反対する文書化された試みはなく、その後の努力}は後知恵であるため、球の反転に関連する歴史的なパラドックスは存在したことがなく、そのアイデアに初めて直面した人々がそれを視覚化する際の詳細を理解しただけである。

さらなる一般化についてはh原理を参照してください。

スメールの元々の証明は間接的でした。彼は球の浸漬の（正則ホモトピー）類をシュティーフェル多様体 のホモトピー群と同一視しました。 の浸漬に対応するホモトピー群は消えるため、標準的な埋め込みと裏返しの埋め込みは正則ホモトピックでなければなりません。原理的には、証明を解いて明示的な正則ホモトピーを生成することができますが、これは容易ではありません。 ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

明示的な例と数学的視覚化を生成する方法はいくつかあります。

• 中間モデル: これらは非常に特殊なホモトピーで構成されています。これはオリジナルの方法で、最初にシャピロとフィリップスがボーイズ面を介して実行し、後に多くの人々によって改良されました。オリジナルの中間モデルホモトピーは手作業で構築され、位相的には機能しましたが、最小ではありませんでした。ネルソン・マックスが 7 年かけて作成した、チャールズ・ピューの金網モデル (後にバークレーの数学科から盗用) に基づくムービーは、当時のコンピュータグラフィックスの「傑作」であり、長年コンピュータアニメーションのベンチマークとなりました。より最近の決定的なグラフィックス改良 (1980 年代) はミニマックス反転で、これは変分法であり、特殊なホモトピー (ウィルモアエネルギーに関する最短経路) で構成されています。逆に、ウィルモアエネルギーの挙動を理解するには、4 次偏微分方程式の解を理解する必要があり、そのため、視覚的に美しく刺激的な画像は、スメールの元の抽象的な証明を超えた非常に深い数学を裏付けています。

• サーストンのコルゲーション：これは位相的かつ一般的な手法であり、ホモトピーを摂動させて通常のホモトピーになるようにする。これは、シルビオ・レヴィ、デレ・マクスウェル、タマラ・マンツナーの指導の下、ジオメトリセンターで開発されたコンピュータグラフィックスアニメーション「Outside In」で説明されている。^[2]
• 上記の方法を組み合わせると、完全な球面反転は、位相的な複雑さを最小限に抑えた一連の閉じた方程式で記述できます^[1]

• 7次元ユークリッド空間内の6次元球は反転を許します。^[3]実数直線上の0次元球（2つの異なる点）の明らかなケースと、上記の2次元球の場合を合わせると、ユークリッド空間に埋め込まれた球が反転を許すケースは3つしかありません。${\displaystyle S^{6}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

• ホイットニー・グラウシュタイン定理

• Iain R. Aitchison (2010)「Holiverse」：R^3 における 2 次元球面の全体論的反転、プレプリント。arXiv:1008.0916。
• John B. Etnyre (2004)「h-原理と幾何学における柔軟性」のレビュー、MR 1982875。
• フランシス、ジョージ K. (2007)、トポロジカル絵本、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-34542-0、MR  2265679
• ジョージ・K・フランシス＆バーナード・モーリン（1980）「アーノルド・シャピロの球面の反転」、数学インテリジェンサー2（4）：200-3。
• レヴィ、シルヴィオ (1995)、「球面反転の簡単な歴史」、Making waves、マサチューセッツ州ウェルズリー: AK Peters Ltd.、ISBN 978-1-56881-049-2、MR  1357900
• マックス、ネルソン (1977)「Turning a Sphere Inside Out」、https://www.crcpress.com/Turning-a-Sphere-Inside-Out-DVD/Max/9781466553941 2016-03-04 にWayback Machineでアーカイブ
• アンソニー・フィリップス (1966 年 5 月)「表面を裏返しにする」、サイエンティフィック・アメリカン、pp. 112-120。
• スメール、スティーブン（1958）、「2球面の浸漬の分類」、アメリカ数学会誌、90（2）：281–290、doi：10.2307/1993205、ISSN  0002-9947、JSTOR  1993205、MR  0104227

• 球体反転の歴史 2020-07-11ウェイバックマシンにアーカイブ
• 「球体を裏返しにする」
• 球の外転を視覚化するソフトウェア
• 数学の視覚化: トポロジー。ホリバース球の反転 (Povray アニメーション)
• deNeve/Hills 球の外転: ビデオとインタラクティブ モデル
• パトリック・マソットのLean Theorem Proverでの証明を形式化するプロジェクト
• アダム・ベドノルツとヴィトルド・ベドノルツの球外転法のインタラクティブな探究
• アウトサイドイン：ミネソタ大学幾何学センターが作成した、球の外転のビデオ調査。