濾過（数学）

数学において、フィルタリングとは、与えられた 代数構造のサブオブジェクトのインデックス付きファミリ であり、インデックスは完全に順序付けられたインデックスセット上を走り、次の条件に従います。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

の場合、。${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S_{i}\subseteq S_{j}}$

インデックスが何らかの確率過程の時間パラメータである場合、フィルタリングは確率過程に関する利用可能なすべての過去の情報を表すが将来の情報は表さないと解釈でき、代数構造は時間とともに複雑になります。したがって、フィルタリングに適応したプロセスは「未来を見る」ことができないため、非予測的とも呼ばれます。^[1]${\displaystyle i}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

場合によっては、フィルタされた代数のように、 がいくつかの演算 (ベクトル加算など)に関して部分代数であるが、 のみを満たす他の演算 (乗算など) に関しては部分代数ではないという要件があります。ここで、インデックス セットは自然数です。これは、次数付き代数との類推によるものです。 ${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S_{i}\cdot S_{j}\subseteq S_{i+j}}$

場合によっては、フィルタリングは、の和集合が全体になるという追加要件、または（より一般的な場合、和集合の概念が意味をなさないとき）から への直接極限の標準準同型が同型 になるという追加要件を満たすことになっています。この要件が想定されるかどうかは通常、テキストの著者に依存し、明示的に述べられることがよくあります。この記事では、この要件を課しません。 ${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S}$

下降濾過という概念もあり、これはの代わりにを満たす必要があります(場合によっては の代わりに を満たす必要があります)。ここでも、「濾過」という言葉が正確にどのように理解されるかは文脈によって異なります。下降濾過は、共濾過 (サブオブジェクトではなく商オブジェクトで構成される) の双対概念と混同しないでください。${\displaystyle S_{i}\supseteq S_{j}}$${\displaystyle S_{i}\subseteq S_{j}}$${\displaystyle \bigcap _{i\in I}S_{i}=0}$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}S_{i}=S}$

フィルタリングは、抽象代数、ホモロジー代数（スペクトル列と重要な関連がある）、σ-代数の入れ子になった列の測度論や確率論で広く使用されています。関数解析や数値解析では、通常、空間のスケールや入れ子になった空間などの他の用語が使用されます。

フェアリーシーケンス

参照:フィルター代数

代数学では、濾過は通常、自然数の集合によってインデックス付けされます。群 の濾過は、の正規部分群のネストされたシーケンスです(つまり、任意の に対して が成り立ちます)。この「濾過」という語の使用は、「降順濾過」に対応することに注意してください。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G_{n+1}\subseteq G_{n}}$

群とフィルタ が与えられたとき、上の位相を自然な方法で定義することができ、これはフィルタ に関連付けられていると言えます。この位相の基底は、フィルタ に現れる部分群のすべての剰余類の集合です。つまり、 の部分集合は、 の形式(ただし、 とは自然数) の集合の和集合である場合に開集合であると定義されます。${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle aG_{n}}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle n}$

グループ上のフィルタリングに関連付けられたトポロジは、トポロジカル グループになります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

群上のフィルタリングに関連付けられたトポロジーは、次の場合にのみハウスドルフです。 ${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \bigcap G_{n}=\{1\}}$

2 つのフィルトレーションとがグループ 上で定義されている場合、の最初のコピーに-位相が与えられ、2 番目に-位相が与えられる、から への恒等写像が連続するのは、任意の に対して となるようなが存在する場合、つまり、恒等写像が 1 で連続する場合に限ります。特に、2 つのフィルトレーションが同じ位相を定義するのは、一方に現れる任意の部分群に対して、もう一方に現れるそれより小さいか等しい部分群が存在する場合、そしてその場合に限ります。 ${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G'_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G'_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G_{m}\subseteq G'_{n}}$

リングと-モジュールが与えられた場合、の降順フィルタリングはサブモジュールの減少シーケンスです。したがって、これはグループの概念の特殊なケースであり、サブグループがサブモジュールであるという追加条件があります。関連するトポロジーは、グループに対して として定義されます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{n}}$

重要な特殊なケースは、-進位相(または- 進など) として知られています。を可換環、のイデアルとします。- モジュールが与えられた場合、のサブモジュールのシーケンスはのフィルトレーション( - 進フィルトレーション) を形成します。上の- 進位相は、このフィルトレーションに関連付けられた位相です。 が環自体である場合、上の- 進位相を定義しました。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I^{n}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$

に-進位相が与えられると、は位相環 になります。- 加群に -進位相が与えられると、に与えられた位相を基準とした位相 - 加群になります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

環と- 加群が与えられた場合、の昇順フィルタは部分加群の増加列です。特に、が体である場合、- ベクトル空間の昇順フィルタはのベクトル部分空間の増加列です。旗は、このようなフィルタの重要なクラスの 1 つです。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

集合の最大濾過は、集合の順序付け（順列）と同等です。たとえば、濾過は順序付け に対応します。1つの要素を持つ体の観点からは、集合を 1 つの要素を持つ体上のベクトル空間と見なすと、集合上の順序付けは最大フラグ（ベクトル空間上の濾過）に対応します。 ${\displaystyle \{0\}\subseteq \{0,1\}\subseteq \{0,1,2\}}$${\displaystyle (0,1,2)}$

測度論、特にマルチンゲール理論と確率過程の理論において、フィルトレーションとは、測定可能な空間上の-代数の増加列である。つまり、測定可能な空間が与えられたとき、フィルトレーションとは、それぞれが非負の実数であり、 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}\implies {\mathcal {F}}_{t_{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{t_{2}}.}$

「時間」の正確な範囲は通常、コンテキストに依存します。値の集合は離散的または連続的、制限付きまたは制限なしである可能性があります。たとえば、 ${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle t\in \{0,1,\dots ,N\},\mathbb {N} _{0},[0,T]{\mbox{ または }}[0,+\infty ).}$

同様に、フィルタリングされた確率空間（確率基底とも呼ばれる）は、その-代数のフィルタリングを備えた確率空間である。フィルタリングされた確率空間は、完全（すなわち、すべての-空集合を含む）かつ右連続（すなわち、すべての時間 に対して）である場合に、通常の条件を満たすと言われる。 ^{[2] [3] [4]}${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t+}:=\bigcap _{s>t}{\mathcal {F}}_{s}}$${\displaystyle t}$

また、（有界でないインデックス セットの場合）を の無限和によって生成される -代数として定義すると便利です。これは に含まれます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcup _{t\geq 0}{\mathcal {F}}_{t}\right)\subseteq {\mathcal {F}}.}$

σ代数は、測定可能なイベントの集合を定義します。これは、確率のコンテキストでは、判別可能なイベント、または「時間 に回答できる質問」に相当します。したがって、フィルタリングは、情報の増減を通じて、測定可能なイベントの集合の変化を表すためによく使用されます。典型的な例は数理ファイナンスで、フィルタリングは各時間 までの利用可能な情報を表し、株価の推移からより多くの情報が利用可能になるにつれて、フィルタリングはますます正確になります (測定可能なイベントの集合は同じままか、増加します)。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

をフィルタリングされた確率空間とする。ランダム変数は、すべての に対して であるとき、フィルタリングに関する停止時間である。停止時間代数は次のように定義される。 ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$${\displaystyle \tau :\Omega \rightarrow [0,\infty ]}$${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }:=\{A\in {\mathcal {F}}\vert \forall t\geq 0\colon A\cap \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}\}}$。

が確かに-代数であることを示すのは難しくありません。 集合 は、フィルタリングされた確率空間がランダムな実験として解釈される場合、ランダムな時間まで実験を任意の回数繰り返すことで得られる最大の情報はであるという意味において、ランダムな時間までの情報をエンコードします。^[5]特に、基礎となる確率空間が有限である場合 (つまり が有限である場合)、 の最小集合(集合包含に関して) は、に含まれるの最小集合のすべての集合の和集合によって与えられます。^[5]${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle \{\tau =t\}}$

は -測定可能であることが示される。しかし、簡単な例^[5]は、一般に であることが示される。および が の停止時間であり、ほぼ確実に である場合、${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\displaystyle \sigma (\tau )\neq {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$${\displaystyle \tau _{1}\leq \tau _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\tau _{2}}.}$

• 自然濾過
• フィルタリング（確率論）
• フィルター（数学）

• Øksendal, Bernt K. (2003).確率微分方程式: 応用入門. ベルリン: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2。