モールス理論

数学、特に微分位相幾何学において、モース理論は、多様体上の微分可能な関数を研究することによって、その多様体の位相を解析することを可能にする。マーストン・モースの基本的な洞察によれば、多様体上の典型的な微分可能な関数は、その位相を非常に直接的に反映する。モース理論を用いることで、多様体上のCW構造を見つけ出し、分解を扱い、そのホモロジーに関する重要な情報を得ることができる。

モース以前に、アーサー・ケイリーとジェームズ・クラーク・マクスウェルは、地形学の分野でモース理論のいくつかの考え方を発展させていた。モースは当初、自身の理論を測地線（経路空間上のエネルギー汎関数の臨界点）に適用した。これらの手法は、ラウル・ボットの周期性定理の証明に用いられた。

複素多様体におけるモース理論の類似物は、ピカール・レフシェッツ理論である。

例として、山岳地帯の地形面を考えてみましょう。${\displaystyle M}$（より一般的には、多様体）。もし${\displaystyle f}$関数は${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$各点の標高を与え、次に点の反転画像${\displaystyle \mathbb {R} }$等高線（より一般的には、レベルセット）とは、等高線（等高線）のことです。等高線の各連結成分は、点、単純な閉曲線、または二重点を持つ閉曲線のいずれかです。等高線には、より高次の点（三重点など）が存在することもありますが、これらは不安定であり、地形がわずかに変形すると消失する可能性があります。等高線における二重点は、鞍点、つまり周囲の地形が一方向には上向きに、もう一方向には下向きに湾曲している峠で発生します。

この風景に水があふれる様子を想像してみてください。水が一定の高さに達すると${\displaystyle a}$水面は${\displaystyle M^{a}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,f^{-1}(-\infty ,a]}$標高のある地点${\displaystyle a}$またはそれ以下。水位が上昇するにつれてこの表面のトポロジーがどのように変化するかを考えてみましょう。それは、次の場合を除いて変化しないように見えます。${\displaystyle a}$勾配が臨界点の高さを通過する${\displaystyle f}$は${\displaystyle 0}$（より一般的には、接空間間の線形写像として機能するヤコビ行列は最大ランクを持たない）。言い換えれば、${\displaystyle M^{a}}$水が（1）盆地を満たし始める、（2）鞍部（山道）を覆う、または（3）山頂を水没させる場合を除き、変化しない。

これら 3 種類の臨界点(盆地、峠、ピーク (つまり、最小値、鞍部、最大値))には、インデックスと呼ばれる数値が関連付けられます。これは、${\displaystyle f}$その点から減少する。より正確には、非退化臨界点の指数は${\displaystyle p}$の${\displaystyle f}$は、接空間の最大部分空間の次元です。${\displaystyle M}$で${\displaystyle p}$ヘシアンの​${\displaystyle f}$負定値です。盆地、峠、山頂の指数は${\displaystyle 0,1,}$そして${\displaystyle 2,}$それぞれ。

より一般的な曲面を考えると、${\displaystyle M}$図のように向き付けられたトーラスで、${\displaystyle f}$再び、平面からの高さに点を取る。水中表面のトポロジーがどのように変化するかを再び分析することができる。${\displaystyle M^{a}}$水位の変化に伴い${\displaystyle a}$上昇する。

トーラスの底から始めて、${\displaystyle p,q,r,}$そして${\displaystyle s}$インデックスの4つの重要なポイント${\displaystyle 0,1,1,}$そして${\displaystyle 2}$それぞれ盆地、2つの鞍部、および山頂に対応します。${\displaystyle a}$より小さい${\displaystyle f(p)=0,}$それから${\displaystyle M^{a}}$は空集合です。${\displaystyle a}$レベルを通過する${\displaystyle p,}$いつ${\displaystyle 0<a<f(q),}$それから${\displaystyle M^{a}}$は円盤であり、これは空集合に「付加」された点（0セル）とホモトピー的に同値である。次に、${\displaystyle a}$レベルを超える${\displaystyle q,}$そして${\displaystyle f(q)<a<f(r),}$それから${\displaystyle M^{a}}$は円柱であり、1セルが付加された円盤とホモトピー的に等価である（左の画像）。${\displaystyle a}$レベルを通過する${\displaystyle r,}$そして${\displaystyle f(r)<a<f(s),}$それから${\displaystyle M^{a}}$は、円盤を取り除いたトーラスであり、1セルが取り付けられた円筒とホモトピー的に等価である（右図）。最後に、${\displaystyle a}$臨界レベルよりも大きい${\displaystyle s,}$${\displaystyle M^{a}}$これはトーラス、つまり円盤（2セル）を取り除いて再び取り付けたトーラスです。

これは次の規則を示しています:トポロジー${\displaystyle M^{a}}$変化しないのは、${\displaystyle a}$臨界点の高さを超える。この時点で、${\displaystyle \gamma }$-セルは${\displaystyle M^{a}}$、 どこ${\displaystyle \gamma }$は点のインデックスです。これは、2 つの臨界点が同じ高さにある場合に何が起こるかには対応していません。これは、 をわずかに摂動させることで解決できます。${\displaystyle f.}$ユークリッド空間に埋め込まれた風景や多様体の場合、この摂動は単にわずかに傾いたり、座標系を回転させたりするだけかもしれない。

重要な点が退化しないように注意しなければならない。何が問題になり得るかを確認するために、${\displaystyle M=\mathbb {R} }$そして${\displaystyle f(x)=x^{3}.}$それから${\displaystyle 0}$重要なポイントは${\displaystyle f,}$しかしトポロジーは${\displaystyle M^{a}}$変化しないとき${\displaystyle a}$パス${\displaystyle 0.}$問題は、2階微分が${\displaystyle f''(0)=0}$―つまり、ヘッセン人の${\displaystyle f}$消滅し、臨界点は退化します。この状況は不安定です。なぜなら、わずかに変形すると${\displaystyle f}$に${\displaystyle f(x)=x^{3}+\epsilon x}$退化した臨界点は除去されるか、${\displaystyle \epsilon >0}$) または 2 つの非退化臨界点に分裂する (${\displaystyle \epsilon <0}$)

実数値の滑らかな関数の場合${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$微分可能な多様体上${\displaystyle M,}$微分が​${\displaystyle f}$消失点は臨界点と呼ばれる${\displaystyle f}$そしてその画像${\displaystyle f}$臨界値と呼ばれる。臨界点では${\displaystyle p}$2階偏導関数の行列（ヘッセ行列）が非特異である場合、${\displaystyle p}$と呼ばれる非退化臨界点。ヘッセ行列が特異であれば、${\displaystyle p}$は退化した臨界点。

機能については $${\displaystyle f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots }$$ から${\displaystyle \mathbb {R} }$に${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$原点に臨界点がある場合${\displaystyle b=0,}$これは非退化である${\displaystyle c\neq 0}$（つまり、${\displaystyle f}$形式は${\displaystyle a+cx^{2}+\cdots }$）そして退化する${\displaystyle c=0}$（つまり、${\displaystyle f}$形式は${\displaystyle a+dx^{3}+\cdots }$退化した臨界点のより自明でない例としては、モンキーサドルの起源が挙げられる。

非退化臨界点の指数${\displaystyle p}$の${\displaystyle f}$は、接空間の最大部分空間の次元です。${\displaystyle M}$で${\displaystyle p}$ヘッセ行列が負定値となる。これは、インデックスが方向の数であるという直感的な概念に対応します。${\displaystyle f}$減少します。シルベスターの法則が示すように、臨界点の縮退度と指数は、使用する局所座標系の選択に依存しません。

モース関数の概念は、非退化な臨界点多様体を持つ関数を考察するように一般化することができる。モース・ボット関数は、臨界集合多様体上の滑らかな関数である。（言い換えれば、臨界点におけるヘッセ行列の核は、臨界部分多様体への接空間に等しい。）モース関数は、臨界多様体が零次元である場合（つまり、臨界点におけるヘッセ行列があらゆる方向に非退化、すなわち核を持たない場合）の特殊なケースである。

インデックスは、最も自然な形ではペアとして考えられます。 $${\displaystyle \left(i_{-},i_{+}\right),}$$ どこ${\displaystyle i_{-}}$は、臨界多様体の特定の点における不安定多様体の次元であり、${\displaystyle i_{+}}$に等しい${\displaystyle i_{-}}$臨界多様体の次元を加えたもの。モース・ボット関数が臨界軌跡上の小さな関数によって摂動された場合、摂動されていない関数の臨界多様体上の摂動された関数のすべての臨界点のインデックスは、次の範囲に収まる。${\displaystyle i_{-}}$そして${\displaystyle i_{+}.}$

モース・ボット関数は、一般的なモース関数は扱いが難しいため有用です。視覚化でき、計算も容易な関数は、通常対称性を持ちます。これらの関数は、しばしば正次元の臨界多様体へと導きます。ラウル・ボットは、ボット周期定理の最初の証明において、モース・ボット理論を用いました。

円形関数はモース・ボット関数の例であり、臨界集合は（互いに素な）円の和集合である。

モースホモロジーはモース・ボット関数に対しても定式化することができ、モース・ボットホモロジーにおける微分はスペクトル系列によって計算される。フレデリック・ブルジョワは、シンプレクティック場理論のモース・ボット版に関する研究の中でアプローチの概要を示したが、解析上の大きな困難さからこの研究は出版されなかった。

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