デジタルトポロジー

デジタルトポロジーは、オブジェクトのトポロジー特性（接続性など）またはトポロジー特徴（境界など）に 対応する2次元（2D）または3次元（3D）デジタル画像の特性と特徴を扱います。

デジタル トポロジの概念と結果は、細線化、境界または表面のトレース、コンポーネントまたはトンネルのカウント、領域の塗りつぶしなどのアルゴリズムを含む、重要な (低レベルの)画像解析アルゴリズムを指定および正当化するために使用されます。

デジタル トポロジーは、1960 年代後半にコンピューター画像解析研究者のアズリエル ローゼンフェルド(1931-2004) によって初めて研究されました。このテーマに関する彼の出版物は、この分野の確立と発展に大きな役割を果たしました。「デジタル トポロジー」という用語は、1973 年の出版物で初めてローゼンフェルドによって考案されました。

グリッドセルトポロジーと呼ばれる関連研究は、古典的な組合せトポロジーへのリンクと見なすことができ、パベル・アレクサンドロフとハインツ・ホップの著書「トポロジー I」（1935年）に掲載されています。ローゼンフェルドらは、 2次元での4連結や8連結、3次元での6連結や26連結などのデジタル連結を提案しました。連結成分を推測するためのラベリング方法は、1970年代に研究されました。テオドシオス・パブリディス（1982年）は、連結成分を見つけるために深さ優先探索法などのグラフ理論的アルゴリズムの使用を提案しました。ウラジミール・A・コヴァレフスキー（1989年）は、アレクサンドロフ–ホップの2Dグリッドセルトポロジーを3次元以上に拡張しました。彼はまた、エルンスト・シュタイニッツ(1908)によって以前に提案された、局所有限位相空間と抽象セル複合体のより一般的な公理理論を (2008) 提案しました。これはアレクサンドロフ位相です。2008 年の著書には、計量に依存しない位相球と球の新しい定義と、デジタル画像分析への多数の応用が含まれています。

1980 年代初頭には、デジタル サーフェスが研究されました。David Morgenthaler と Rosenfeld (1981) は、3 次元デジタル空間におけるサーフェスの数学的定義を与えました。この定義には、合計 9 種類のデジタル サーフェスが含まれています。デジタル多様体は1990 年代に研究されました。デジタル k 多様体の再帰的定義は、1993 年に Chen と Zhang によって直感的に提案されました。画像処理やコンピューター ビジョンで多くの用途が見つかりました。

デジタル トポロジーの基本的な (初期の) 結果によると、2D バイナリ イメージでは、分離と接続という基本的なトポロジーの二重性を保証するために、 4 または 8 隣接、または「ピクセル接続」(「オブジェクト」ピクセルまたは「非オブジェクト」 ピクセル用) の代替使用が必要です。この代替使用は、2Dグリッド セル トポロジーの開集合または閉集合に対応し、結果は 3D に一般化されます。6 または 26 隣接の代替使用は、3Dグリッド セル トポロジーの開集合または閉集合に対応します。グリッド セル トポロジーは、たとえば、可能なイメージ値の合計順序に基づき、「最大ラベル ルール」を適用するなど、マルチレベル (例: カラー) 2D または 3D イメージにも適用されます (Klette および Rosenfeld 著、2004 年を参照)。

デジタルトポロジーは、組合せトポロジーと深い関係があります。両者の主な違いは、(1)デジタルトポロジーは、より一般的なセル複合体ではなく、グリッドセル（整数格子のセル）によって形成されるデジタルオブジェクトを主に研究すること、(2)デジタルトポロジーは非ジョルダン多様体も扱うことです。

組合せ多様体は、多様体の離散化である多様体の一種です。通常は、単体複体によって作成された区分線形多様体を意味します。デジタル多様体は、デジタル空間、つまりグリッドセル空間で定義される特殊な種類の組合せ多様体です。

ガウス・ボネ定理のデジタル形式は次のようになる。Mを直接隣接した閉じたデジタル2次元多様体（すなわち、3次元の（6,26）面）とする。種数の式は

${\displaystyle g=1+(M_{5}+2M_{6}-M_{3})/8}$、

ここで、 は、それぞれがi 個の隣接点を持つ表面点の集合を表します (Chen and Rong, ICPR 2008)。M が単連結、つまり の場合、となります。(オイラー特性も参照してください。) ${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle g=0}$${\displaystyle M_{3}=8+M_{5}+2M_{6}}$

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