アフィン接続

微分幾何学において、アフィン接続^[a]は滑らかな多様体上の幾何学的対象であり、近くの接空間を接続するため、接ベクトル場を、固定されたベクトル空間内の値を持つ多様体上の関数であるかのように微分することができます。接続は、ベクトル束の切断の微分を定義する最も簡単な方法の1つです。^[3]

アフィン接続の概念は 19 世紀の幾何学とテンソル計算にその起源を持つが、1920 年代初頭にエリ・カルタン(接続の一般理論の一部として) とヘルマン・ワイル(一般相対性理論の基礎理論の一部としてその概念を使用) によって初めて完全に発展した。この用語はカルタン^[b]によるもので、ユークリッド空間 $R n$ の接空間を平行移動によって同一視したことに起源を持つ。つまり、アフィン接続を選択すると、多様体がユークリッド空間に限りなく似たものになり、滑らかになるだけでなく、アフィン空間として見えるようになるという考え方である。

正の次元を持つ任意の多様体には、無限に多くのアフィン接続が存在します。多様体にさらに計量テンソルが備わっている場合は、レヴィ-チヴィタ接続と呼ばれるアフィン接続の自然な選択があります。アフィン接続の選択は、いくつかの合理的な特性 (線形性とライプニッツの規則)を満たすベクトル場を微分する方法を規定することと同じです。これにより、接バンドル上の共変微分または (線形)接続としてアフィン接続の定義が可能になります。アフィン接続の選択は、平行移動の概念にも相当します。平行移動は、曲線に沿って接ベクトルを輸送する方法です。これにより、フレームバンドル上の平行移動も定義されます。フレームバンドル内の無限小平行移動は、アフィン群のカルタン接続またはフレームバンドル上の主接続として、アフィン接続の別の記述をもたらします。

アフィン接続の主な不変量は、その捩れ度と曲率です。捩れ度は、ベクトル場のリー括弧がアフィン接続からどれだけ正確に復元できるかを測定します。アフィン接続は、多様体上の(アフィン)測地線を定義してユークリッド空間の直線を一般化するためにも使用できますが、それらの直線の幾何学は通常のユークリッド幾何学とは大きく異なる場合があります。主な違いは、接続の曲率にカプセル化されています。

動機と歴史

滑らかな多様体は、局所的にはユークリッド空間 $R$ $n$ の滑らかな変形のように見える数学的対象です。たとえば、滑らかな曲線や面は、局所的には直線や平面の滑らかな変形のように見えます。滑らかな関数とベクトル場は、ユークリッド空間の場合と同様に、多様体上で定義でき、多様体上のスカラー関数は自然な方法で微分できます。ただし、ベクトル場の微分はそれほど簡単ではありません。これは、点 $pにおける基底付きベクトルの接空間が近くの点$ $q$ における接空間と自然に（平行移動によって）同一視できるため、ユークリッド空間では簡単なことです。一般の多様体では、近くの接空間の間にそのような自然な同一視はなく、そのため近くの点における接ベクトルを明確に比較することはできません。アフィン接続の概念は、近くの接空間を接続することでこの問題を解決するために導入されました。このアイデアの起源は、曲面理論とテンソル計算という 2 つの主な源泉に遡ることができます。

表面理論からの動機

3 次元ユークリッド空間内の滑らかな表面 $Sについて考えます。任意の点の近くで、$ $S は$ その点における接平面で近似することができ、これはユークリッド空間のアフィン部分空間です。19 世紀の微分幾何学者は、1 つの表面を別の表面に沿って滑ったりねじれたりすることなく転がす展開の概念に興味を持っていました。特に、 $Sの点に対する接平面は$ $S$ 上で転がすことができます。これは、 $S が$ 凸領域の滑らかな境界である 2 次元球面のような表面である場合に簡単に想像できるはずです。接平面が $S$ 上で転がされると、接触点は $S$ 上で曲線を描きます。逆に、 $S$ 上に曲線が与えられている場合、接平面はその曲線に沿って転がすことができます。これにより、曲線上のさまざまなポイントで接平面を識別する方法が提供されます。特に、曲線上の 1 つのポイントでの接空間の接ベクトルは、曲線上の他の任意のポイントでの一意の接ベクトルと同一視されます。これらの識別は、常に1 つの接平面から別の接平面へのアフィン変換によって行われます。

アフィン変換による曲線に沿った接線ベクトルの平行移動というこの概念には、特徴的な機能があります。つまり、平行移動では、接平面と表面の接点は常に曲線とともに移動します (つまり、接平面が表面に沿って転がると、接点が移動します)。この一般的な条件は、カルタン接続の特徴です。より現代的なアプローチでは、接点は接平面 (つまりベクトル空間) の原点と見なされ、原点の動きが平行移動によって修正されるため、平行移動はアフィンではなく線形になります。

しかし、カルタン接続の観点から見ると、ユークリッド空間のアフィン部分空間はモデル面です。つまり、これらは 3 次元ユークリッド空間で最も単純な面であり、平面のアフィン群の下で同次であり、すべての滑らかな面は、各点でそれに接する一意のモデル面を持ちます。これらのモデル面は、フェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムの意味でのクライン幾何学です。より一般的には、 $n$ 次元アフィン空間は、アフィン群 $Aff($ $n$ $)$ のクライン幾何学であり、点の安定化群は一般線型群 $GL($ $n$ $)$ です。アフィン $n多様体は、$ $n$ 次元アフィン空間に無限小的に似ている多様体です。

テンソル計算からの動機

アフィン接続の 2 つ目の動機は、ベクトル場の共変微分の概念から来ています。座標に依存しない方法が登場する前は、ベクトル場を扱うには、それぞれのユークリッドベクトルをアトラスに埋め込む必要がありました。これらの要素は微分化できますが、微分は座標の変更によって扱いやすい方法で変換されません。^[^要出典^]補正項は、 1870 年代にエルヴィンブルーノクリストッフェルによって (ベルンハルトリーマンのアイデアに従って) 導入され、あるベクトル場の別のベクトル場に沿った (補正された) 微分が座標変換によって共変に変換されるようにしました。これらの補正項は後にクリストッフェル記号として知られるようになりました。

この考え方は、1880 年から 20 世紀初頭にかけて、グレゴリオ・リッチ＝クルバストロとその弟子のトゥリオ・レヴィ＝チヴィタによって絶対微分積分学(現在はテンソル計算として知られている)の理論に発展しました。

しかし、テンソル計算が本当に誕生したのは、1915年のアルバート・アインシュタインの一般相対性理論の登場によってでした。その数年後、レヴィ・チヴィタは、現在レヴィ・チヴィタ接続として知られる、リーマン計量に関連する一意の接続を形式化しました。その後、より一般的なアフィン接続が、一般相対性理論の詳細な数学的基礎を開発したヘルマン・ワイル^[5]と、曲面理論から生まれた幾何学的アイデアとの関連を明らかにしたエリー・カルタン^[6]によって、1920年頃に研究されました。

アプローチ

複雑な歴史により、アフィン接続の概念に対する多種多様なアプローチと一般化が発展してきました。

最も一般的なアプローチは、おそらく共変微分に動機付けられた定義です。一方では、ワイルのアイデアは、ゲージ理論とゲージ共変微分の形で物理学者に取り入れられました。他方では、共変微分の概念は、ベクトル束上の（線型またはコズル）接続を定義したジャン＝ルイ・コズルによって抽象化されました。この言語では、アフィン接続は、単に接束上の共変微分または（線型）接続です。

しかし、このアプローチでは、アフィン接続の背後にある幾何学や、その名前の由来は説明されません。^[c]この用語は、実際には、ユークリッド空間の接空間を平行移動によって識別することに由来しています。この特性は、ユークリッド $n空間が$ アフィン空間であることを意味します。(あるいは、ユークリッド空間は、アフィン群のサブグループである平行移動のグループの下で、主要な同次空間またはトルサーです。) 序論で述べたように、これを正確にする方法はいくつかあります。1つは、アフィン接続が曲線に沿ったベクトル場の平行移動の概念を定義するという事実を使用します。これは、フレームバンドル上の平行移動も定義します。フレームバンドル内の無限小平行移動は、アフィン接続の別の記述、つまりアフィン群 $Aff(n)$ のカルタン接続またはフレームバンドル上の主要な $GL(n)$ 接続のいずれかを生み出します。

微分演算子としての正式な定義

$M を$ 滑らかな多様体とし、 $Γ(T M)を$ $M$ 上のベクトル場の空間、つまり接束 $T$ $M$ の滑らかな切断の空間とする。すると、 $M$ 上のアフィン接続は双線型写像である。

{\begin{aligned}\Gamma (\mathrm {T} M)\times \Gamma (\mathrm {T} M)&\rightarrow \Gamma (\mathrm {T} M)\\(X,Y )&\mapsto \nabla _{X}Y\,,\end{aligned}}

$M$ 上の滑らかな関数の集合 C ∞ ( M , R ) 内のすべて $の$ $f$ $と$ $、$ $M$ $上$ $の$ $すべて$ のベクトル場 $X$ 、 $Y$ $に対して$ $、$ 次の式が成り立ちます。

$\nabla fX Y = f \nabla X Y$ 、つまり、 $\nablaは$ 最初の変数について $C \infty (M 、 R)$ -線形である。
$\nabla X (fY) = (\partial X f) Y + f \nabla X Y$ 、ここで $\partial X は$ 方向微分を表します。つまり、 $\nabla は$ 2番目の変数でライプニッツの規則を満たします。

基本的な性質

上記の特性 1 から、点 $x$ $\in$ $M$ $における\nabla X Y$ の値は、 $x$ における $X$ の値のみに依存し、 $M$ $- {$ $x$ $}$ 上の $X$ の値には依存しないことがわかります。また、上記の特性 2 から、点 $x$ $\in$ $M$ $における\nabla$ $X$ $Y$ $の値は、 x$ の近傍における $Y$ の値のみに依存することもわかります。
$\nabla 1 、\nabla$ $2$ $が$ アフィン接続である場合、 $\nabla$ $1 X Y - \nabla 2 倍 Y は$ $Γ x (X x, Y x)$ と表記され、は双線型で $xに滑らかに依存します (つまり、滑らかな$ バンドル準同型を定義します)。逆に $、 \nabla$ がアフィン接続で $Γ$ がそのような滑らかな双線型バンドル準同型 ( $M$ 上の接続形式と呼ばれる) $である場合、 \nabla + Γ$ はアフィン接続です。 $\Gamma _{x}:\mathrm {T} _{x}M\times \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{x}M$
$M が$ $R n$ の開集合である場合、 $M$ の接バンドルは自明バンドル $M \times R n$ です。この状況では、 $M$ 上に標準アフィン接続 $d$ が存在します。つまり、任意のベクトル場 $Y は、$ $M$ から $R$ $n$ への滑らかな関数 $V$ によって与えられます。この場合、 $d$ $X$ $Y は$ $、 M$ から $R$ $n$ への滑らかな関数 $d$ $V$ $($ $X$ $) = \partial$ $X$ $Y$ に対応するベクトル場です。したがって、 $M$ 上のその他のアフィン接続 $\nabla は、$ $\nabla = d + Γ$ と記述できます。ここで、 $Γは$ $M$ 上の接続形式です。
より一般的には、接バンドルの局所自明化は、 $T$ $M$ の $M$ の開部分集合 $U$ への制限と $U$ $\times$ $R$ $n$ との間のバンドル同型です。アフィン接続 $\nablaの$ $U$ への制限は、 $d + Γ$ の形式で表すことができます。ここで、 $Γは$ $U$ 上の接続形式です。

アフィン接続の平行移動

多様体上の異なる点における接線ベクトルの比較は、一般的に明確に定義されたプロセスではありません。アフィン接続は、平行移動の概念を使用してこれを解決する 1 つの方法を提供し、実際にこれを使用してアフィン接続を定義することができます。

$M をアフィン接続$ $\nabla を$ 持つ多様体とします。ベクトル場 $X は、任意のベクトル場$ $Y$ に対して $\nabla$ $Y$ $X$ $= 0$ であるという意味で $\nabla$ $X$ $=$ 0 のとき平行であるといわれます。直感的に言えば、平行ベクトルはすべての導関数がゼロに等しく、したがってある意味で定数です。2 つの点 $x$ と $y$ で平行ベクトル場を評価すると、 $x$ での接線ベクトルと $y$ での接線ベクトルの同一視が得られます。このような接線ベクトルは、互いに 平行移動しているといわれます。

一般に、非ゼロの平行ベクトル場は存在しません。なぜなら、方程式 $\nabla X = 0$ は過剰決定された偏微分方程式だからです。この方程式の積分可能条件は、 $\nabla$ の曲率がゼロになることです(下記参照)。ただし、この方程式を $x$ から $y$ への曲線に制限すると、常微分方程式になります。その場合、 $x$ における $X$ の任意の初期値に対して一意の解が存在します。

より正確には、 $γ : I \to M$ が区間 $[$ $a$ $,$ $b$ $]でパラメータ化された$ 滑らかな曲線であり、 $ξ$ $\in T$ $x$ $M （$ $x$ $=$ $γ$ $($ $a$ $) ）$ である場合、 $γ$ に沿ったベクトル場 $X$ （特に、このベクトル場の $y$ $=$ $γ$ $($ $b$ $)における値）は、$ $γ$ に沿った $ξ$ の平行移動と呼ばれる。

$\nabla γ' (t) X = 0$ 、すべての $t \in [a, b]に対して$
$ξ = γ です$ 。 $$ $$ $$

正式には、最初の条件は、 $Xが$ プルバックバンドル $γ$ $*$ $T$ $M$ 上のプルバック接続に対して平行であることを意味します。しかし、局所的な単純化では、これは線形常微分方程式の1次系であり、2番目の条件によって与えられた任意の初期条件に対して一意の解を持ちます（たとえば、ピカール-リンデレーフの定理によって）。

このように、平行移動は、アフィン接続を使用して曲線に沿って接ベクトルを移動し、直感的に「同じ方向を向いている」状態を維持する方法を提供し、これにより、曲線の両端の接空間間の線型同型性が提供されます。この方法で得られる同型性は、一般に曲線の選択に依存します。そうでない場合は、すべての曲線に沿った平行移動を使用して、 $M上の平行ベクトル場を定義できます。これは、$ $\nabla$ の曲率がゼロの場合にのみ発生します。

線型同型は、順序付けられた基底またはフレームに対するその作用によって決定される。したがって、平行移動は、（接）フレームバンドル $GL(M)$ の要素を曲線に沿って移動する方法としても特徴付けられる。言い換えれば、アフィン接続は、 $M$ の任意の曲線 $γを$ $GL($ $M$ $)$ の曲線 $γ̃に$ 持ち上げる。

フレームバンドルの正式な定義

アフィン接続は、多様体 $Mの$ フレームバンドル $F$ $M$ または $GL($ $M$ $)$ 上の主 $GL(n)$ 接続 $ω$ として定義することもできます。より詳しくは、 $ω$ は、フレームバンドルの接バンドル $T(F$ $M$ $)から$ $n$ $\times$ $n$ 行列の空間(可逆な $n$ $\times$ $n$ 行列のリー群 $GL ($ $n ) のリー代数$ $gl$ $($ $n$ $)$ $)$ への滑らかな写像であり、次の 2 つの特性を満たします。

$ωは$ $GL($ $n$ $)の$ $T(FM$ $)$ $と$ gl $($ $n$ $)$ $へ$ の作用に関して同変である。
$gl$ $($ $n$ $)$ 内の任意 $のξに対して$ $ω$ $($ $Xξ$ $)=$ $ξ$ $で$ あり、ここで $Xξ$ $は$ $ξ$ に対応する $FM$ $上$ のベクトル場である。

このような接続 $ω は$ 、接バンドルだけでなく、テンソルやテンソル密度のバンドルを含む $GL($ $n$ $)$ の任意のグループ表現に関連付けられたベクトルバンドル上の共変微分を直ちに定義します。逆に、接バンドル上のアフィン接続は、たとえば、平行移動によって定義されるフレームバンドルへの曲線のリフトへの接ベクトル上で $ω が$ 消えることを要求することにより、フレームバンドル上のアフィン接続を決定します。

フレームバンドルには、はんだ形式 $θ : T(F M) \to R n$ も備わっています。これは、ベクトル場 $X$ $ξ$ の点値などの垂直ベクトル上で消えるという意味で水平です。実際、 $θ$ は、最初に接ベクトル (フレーム $fでの$ $F$ $M$ への) を $M$ に投影し、次にこの接ベクトルのフレーム $f$ に関する $M上の成分を取ることによって定義されます。θ$ $は$ $GL($ $n$ $)$ 同変でもあることに注意してください( $GL($ $n$ $) は行列乗算によって$ $R$ $n$ に作用します)。

ペア $(θ, ω)は、$ $T(F$ $M$ $)$ と自明バンドル $F$ $M$ $\times$ $aff$ $($ $n$ $)$ のバンドル同型を定義します。ここで、 $aff$ $($ $n$ $) は$ $R$ $n$ と $gl$ $($ $n$ $)$ の直積です（アフィン群のリー代数として見られますが、これは実際には半直積です。以下を参照してください）。

アフィン接続をカルタン接続として

アフィン接続はカルタンの一般的な枠組みの中で定義できる。^[7]現代的なアプローチでは、これはフレームバンドル上のアフィン接続の定義と密接に関係している。確かに、ある定式化では、カルタン接続は適切な特性を満たす主バンドルの絶対平行性である。この観点から、（アフィン多様体の）フレームバンドル上の $aff (n)$ 値 1 形式 $(θ, ω) : T(F M) \to aff (n)$ はカルタン接続である。しかし、カルタンの元のアプローチはいくつかの点でこれとは異なっていた。

フレームバンドルや主バンドルの概念は存在しなかった。
接続は、無限に近い点間の平行移動の観点から見られました。^[d]
この平行移動は線形ではなくアフィンでした。
輸送される物体は現代的な意味での接線ベクトルではなく、マークされた点を持つアフィン空間の要素であり、カルタン接続は最終的にこれを接線空間と同一視します。

説明と歴史的直感

今挙げた点は、表面理論の動機から始めて、逆に説明するのが最も簡単です。この状況では、表面上で転がされる平面は素朴な意味で接平面ですが、接空間の概念は実際には無限小の概念であり、^[e] $R$ $3$ のアフィン部分空間としての平面の範囲は無限です。しかし、これらのアフィン平面にはすべて、表面との接触点であるマークされた点があり、この点で表面に接しています。したがって、マークされた点を持つアフィン空間はその点での接空間と同一視できるため、混乱が生じます。ただし、転がりによって定義される平行移動では、この原点は固定されません。これは線形ではなくアフィンです。線形平行移動は、平行移動を適用することで回復できます。

この考え方を抽象化すると、アフィン多様体は、各 $x$ $\in$ $M$ のマークされた点 $a$ $x$ $\in$ $A$ $x$ に付随するn $次元$ のアフィン空間 $A$ $x$ $を持つn$ 多様体 $Mと、これらのアフィン空間の要素を$ $M$ 内の任意の曲線 $C$ に沿って転送する方法でなければなりません。この方法は、いくつかの特性を満たす必要があります。

$C$ 上の任意の2点 $x 、 y$ に対して、平行移動は $A$ $x$ から $A$ $y$ へのアフィン変換です。
$平行移動は、 C$ 上の任意の点で微分可能であり、その点における $C$ への接線ベクトルのみに依存するという意味で無限小的に定義されます。
$x$ における平行移動の微分は、 $T$ $x$ $M$ から $T$ $a$ $x$ $A$ $x$ への線型同型を決定します。

最後の2点は正確に定義するのが非常に難しいため^[9] 、アフィン接続は無限小で定義されることが多い。これを説明するには、アフィン参照フレームが平行移動に関して無限小でどのように変換されるかを考えれば十分である。（これがカルタンの移動フレーム法の起源である $。$ ）ある点におけるアフィンフレームはリスト $（ p 、 e1 、\dots en ）で構成され$ $、$ $p\inAx$ ^[f]であり、 $ei$ $は$ $Tp$ $（$ $Ax$ $）$ の基底を形成する $。$ $アフィン接続は$ $、$ 1階微分システム $によって$ 記号的に与えられる $。$

(*){\begin{cases}\mathrm {d} {p}&=\theta ^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\mathbf { e} _{n}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\omega _{i}^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +\omega _ {i}^{n}\mathbf {e} _{n}\end{cases}}\quad i=1,2,\ldots ,n

1 形式 $（ θ j 、 ω じぃ）$ 。幾何学的には、アフィンフレームは、曲線 $γに沿って$ $γ (t)$ から $γ (t + δt)$ まで移動する変位を受ける。この変位は、（近似的に、または無限小的に）

{\begin{aligned}p(\gamma (t+\delta t))-p(\gamma (t))&=\left(\theta ^{1}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{n}\right)\mathrm {\delta } t\\\mathbf {e} _{i}(\gamma (t+\delta t))-\mathbf {e} _{i}(\gamma (t))&=\left(\omega _{i}^{1}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{n}\right)\delta t\,.\end{aligned}}

さらに、アフィン空間 $A x$ は、 $γ$ $に$ 沿った $a x$ の変位が、 $x$ $=$ $γ ($ $t$ $) （$ $x$ の微小変位）における $γ$ への接線ベクトル $γ$ $'($ $t$ $)と（近似的または微小的に$ $）$ 同一視できるという非公式な意味で M に接していることが求められる。

a_{x}(\gamma (t+\delta t))-a_{x}(\gamma (t))=\theta \left(\gamma '(t)\right)\delta t\,,

ここで $θ は$ $θ (X) = θ 1 (X) e 1 + \dots + θ n (X) e n$ で定義され、この識別は $θ$ によって与えられるため、要件は $θ が$ 各点で線型同型であるということです。

したがって、接線アフィン空間 $A x$ $は、 x$ の無限小アフィン近傍と直感的に同一視されます。

現代的な観点では、主バンドルを使用してこのすべての直感をより正確にします（基本的なアイデアは、フレームまたは可変フレームを、この空間上のすべてのフレームと関数の空間に置き換えることです）。また、フェリックス・クラインのエアランゲン・プログラム^[10]からインスピレーションを得ており、そこでは幾何学は同次空間として定義されます。アフィン空間はこの意味で幾何学であり、平坦なカルタン接続を備えています。したがって、一般的なアフィン多様体は、アフィン空間の平坦なモデル幾何学の曲がった変形として見られます。

平面モデル幾何学としてのアフィン空間

アフィン空間の定義

非公式には、アフィン空間は、固定された原点の選択のないベクトル空間です。これは、空間内の点と自由ベクトルの幾何学を記述します。原点がないため、アフィン空間内の点は加算できません。これは、ベクトルの加算に対する平行四辺形法則を形成するための原点の選択が必要になるためです。ただし、ベクトル $v を$ 点 $p$ に追加するには、ベクトルの始点を $p$ に置き、次に $p を$ 終点に移動させます。このように記述された操作 $p$ $\to$ $p$ $+$ $v$ $は、 v$ に沿った $p$ の移動です。専門用語では、アフィン $n$ 空間は、この点の移動操作を通じてベクトル群 $R$ $n$ の自由な推移的作用を備えた集合 $A$ $n$ です。したがって、 $A$ $n は$ $ベクトル群R$ $n$ の主要な同次空間です。

一般線型群 $GL(n)は$ $、Rn$ $の$ 変換群であり、 $T$ $($ $av$ $+$ $bw$ $)=$ $aT$ $($ $v$ $)+$ $bT$ $($ $w$ $)$ の意味で $Rn$ の線型構造を保存します。類推により、アフィン群 $Aff($ $n$ $)は$ $、$ アフィン構造を保存する $An$ の変換群です。したがって、 $φ\inAff$ $($ $n$ $)は次$ $の$ 意味で 変換を保存する必要があります。

\varphi (p+v)=\varphi (p)+T(v)

ここで、 $T は$ 一般線型変換である。 $φ \in Aff(n)を$ $T \in GL(n)$ に写す写像は群準同型である。その核は並進群 $R n$ である。したがって、この射影を使用して、 $A$ 内の任意の点 $pの$ 安定化因子を $GL($ $n$ $)$ と同一視することができる。これにより、アフィン群は $GL($ $n$ $)$ と $R$ $n$ の半直積として実現され、アフィン空間は同次空間 $Aff($ $n$ $)/GL($ $n$ $)$ として実現される。

アフィンフレームと平坦なアフィン接続

$A$ のアフィンフレームは、点 $p$ $\in$ $A$ とベクトル空間 $T$ $p$ $A$ $=$ $R$ $n$ の基底 $($ $e$ $1$ $,\dots$ $e$ $n$ $)$ から構成されます。一般線型群 $GL($ $n$ $)は、$ $p$ を固定し、基底 $($ $e$ $1$ $,\dots$ $e$ $n$ $)$ を通常の方法で変換することによって、すべてのアフィンフレームの集合 $F$ $A$ に自由に作用し、アフィンフレーム $($ $p$ $;$ $e$ $1$ $,\dots$ $e$ $n$ $)を$ $p$ に送る写像 $πは$ 商写像です。したがって、 $F$ $A は$ $A$ 上の主 $GL($ $n$ $)$ -バンドルです。 $GL($ $n$ $)$ の作用は、 $F$ $A$ へのアフィン群 $Aff($ $n$ $)$ の自由推移作用に自然に拡張されるため、 $F$ $A$ $はAff($ $n$ $)$ -トルソルであり、参照フレームの選択により、 $F$ $A$ $\to$ $A$ が主バンドル $Aff($ $n$ $) \to Aff($ $n$ $)/GL($ $n$ $)$ と同一視されます。

$F A$ 上には、次のように定義される $n + 1$ 個の関数の集合が存在する。

\pi (p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=p

（前と同じ）そして

\varepsilon _{i}(p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=\mathbf {e} _{i}\,.

$A$ の基点を選んだ後、これらはすべて $R n$ に値を持つ関数なので、それらの外導関数を取って $R$ $n$ に値を持つ微分1形式を得ることができます。関数 $ε$ $i は$ $F$ $A$ の各点で $R$ $n$ の基底を与えるので、これらの1形式は次の形式の和として表現できる必要があります。

{\begin{aligned}\mathrm {d} \pi &=\theta ^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\theta ^{n}\varepsilon _{n}\\\mathrm {d} \varepsilon _{i}&=\omega _{i}^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\varepsilon _{n}\end{aligned}}

ある集合 $（ θ i 、 ω kj さん$ $Aff(n)$ 上の実数値1形式の $1$ $\leq$ $i$ $、$ $j$ $、$ $k$ $\leq$ $n$ $。主バンドルF A \to A$ 上の1形式のこのシステムは、 $A$ 上のアフィン接続を定義します。

もう一度外微分を取り、 $d 2 = 0$ という事実と $ε$ $i$ の線形独立性を利用すると、次の関係が得られます。

{\begin{aligned}\mathrm {d} \theta ^{j}-\sum _{i}\omega _{i}^{j}\wedge \theta ^{i}&=0\\\mathrm {d} \omega _{i}^{j}-\sum _{k}\omega _{k}^{j}\wedge \omega _{i}^{k}&=0\,.\end{aligned}}

これらはリー群 $Aff($ $n$ $)$ （参照フレームの選択により $F$ $A$ と同一視される）に対するマウラー・カルタン方程式である。さらに、

パフィアン系 $θ j = 0$ (すべての $j$ に対して) は積分可能であり、その積分多様体は主束 $Aff(n) \to A$ のファイバーである。
パフィアンシステム $ω じぃ = 0$ (すべての $i 、 j$ に対して) も積分可能であり、その積分多様体は $F A$ における平行移動を定義します。

したがって、フォーム $（ ω じぃ ) は$ $F$ $A$ $\to$ $A$ 上の平坦な主接続を定義します。

動機と厳密に比較するためには、実際には $A上の主$ $Aff(n)$ バンドルにおける平行移動を定義する必要がある。これは、平行移動によって定義された滑らかな写像 $φ$ $:$ $R$ $n$ $\times$ $A$ $\to$ $A$ $によってF$ $A を$ 引き戻すことによって行うことができる。すると、合成 $φ$ $' * F$ $A$ $\to F$ $A$ $\to$ $A$ $はA$ 上の主 $Aff($ $n$ $)$ バンドルとなり、形式 $($ $θ$ $i$ $,$ $ω$ $kj さん) を$ 引き戻すと、このバンドル上に平坦な主要な $Aff(n)$ 接続が得られます。

一般的なアフィン幾何学: 正式な定義

アフィン空間は、本質的に滑らかなクライン幾何学と同様に、平坦なカルタン接続を備えた多様体です。より一般的なアフィン多様体またはアフィン幾何学は、マウラー・カルタン方程式で表される平坦性条件を捨てることで簡単に得られます。定義にはいくつかの方法があり、そのうちの2つを示します。どちらの定義も、1形式 $(θ i 、 ω kj さん) を$ 平坦モデルにフィットさせて、アフィン群 $Aff($ $n$ $)のリー代数$ $aff (n)$ の値を持つ 1 形式を実現します。

これらの定義では、 $Mは$ 滑らかな $n$ 多様体であり、 $A = Aff(n)/GL(n)$ は同じ次元のアフィン空間です。

絶対平行法による定義

$M を$ 多様体とし、 $P を$ $M$ 上の主 $GL(n)$ バンドルとする。このとき、アフィン接続とは、 $P$ 上の1 形式 $ηであり、$ $aff$ $($ $n$ $)$ の値が以下の性質を満たすものである。

$ηは$ $GL(n)の$ $P$ と $aff (n)$ への作用に関して同変である。
すべての $n$ $\times$ $n$ 行列のリー代数 $gl$ $($ $n$ $)$ $のすべての$ $ξ$ に対して $η$ $($ $Xξ$ $)=$ $ξで$ ある。
$η は$ $Pの各接空間の$ $aff (n)$ との線型同型である。

最後の条件は、 $η が$ $P$ 上の絶対平行性であることを意味します。つまり、 $P$ の接バンドルを自明バンドル（この場合は $P$ $\times$ $aff$ $($ $n$ $)$ ）と同一視します。ペア $($ $P$ $、$ $η$ $) は$ $M$ 上のアフィン幾何学の構造を定義し、それをアフィン多様体にします。

アフィンリー代数 $aff (n) は、$ $R n$ と $gl (n)$ の半直積として分解されるため、 $η は$ ペア $(θ 、 ω)$ として記述できます。ここで、 $θ は$ $R n$ 内の値を取り、 $ω は$ $gl (n)$ 内の値を取ります。条件 1 と 2 は、 $ω$ が主 $GL(n)$ 接続であり、 $θ が$ 水平同変 1 形式であることと同等であり、これにより、 $T$ $M$ から関連するバンドル $P$ $\times$ $GL($ $n$ $)$ $R$ $n$ へのバンドル準同型が誘導されます。条件 3 は、このバンドル準同型が同型であるという事実と同等です。 (ただし、この分解は、アフィン群のかなり特殊な構造の結果です。) $P は$ $P$ $\times$ $GL($ $n$ $)$ $R$ $n$ のフレームバンドルであるため、 $θ は$ $Pと$ $M$ のフレームバンドル $F$ $M$ の間にバンドル同型を提供します。これにより、 $F$ $M$ $上の主GL($ $n$ $)$ 接続としてのアフィン接続の定義が回復されます。

$フラットモデルで生じる 1 形式は、 θ$ と $ω$ の成分のみです。

主アフィン接続としての定義

$M$ 上のアフィン接続は、 $M$ 上の主 $Aff($ $n$ $)$ バンドル $Q$ と、 $Q$ の主 $GL($ $n$ $)$ サブバンドル $P$ および主 $Aff($ $n$ $)$ 接続 $α ($ $aff$ $($ $n$ $)に値を持つ$ $Q$ 上の 1 形式)であり、次の (一般的な)カルタン条件を満たします。 $αから$ $P$ への引き戻しの $R$ $n$ 成分は、水平同変 1 形式であるため、 $T$ $Mから$ $P$ $\times$ $GL($ $n$ $)$ $R$ $n$ へのバンドル準同型を定義します。これは同型である必要があります。

動機との関係

$Aff(n) は$ $A$ に作用するので、主バンドル $Q$ に関連してバンドル $A = Q \times Aff(n) A$ $があり、これはM$ 上のファイバーバンドルで、 $M$ の $x$ におけるファイバーはアフィン空間 $A$ $x$ です。 $A$ のセクション $a$ (各 $x$ $\in$ $Mに対して$ $A$ $x$ 内のマークされた点 $a$ $x$ $を定義する) は、 Q$ の主 $GL($ $n$ $)$ サブバンドル $P$ (これらのマークされた点の安定化バンドルとして) を決定し、その逆も同様です。主接続 $αはこのバンドル上の$ Ehresmann 接続を定義します。したがって、平行移動の概念です。カルタン条件は、区別されたセクション $a が$ 常に平行移動で移動することを保証します。

その他の特性

曲率とねじれ

曲率とねじれは、アフィン接続の主な不変量です。アフィン接続の概念を定義する同等の方法が多数あるように、曲率とねじれを定義する方法も多数あります。

カルタン接続の観点から見ると、曲率はアフィン接続 $η$ がマウラー・カルタン方程式を満たさないことを示している。

\mathrm {d} \eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ]=0,

ここで、左辺の2番目の項は、 $aff$ $($ $n$ $)$ のリー括弧を使用して値を縮小したウェッジ積です。 $η を$ ペア $($ $θ$ $、$ $ω$ $)に展開し、リー代数$ $aff$ $($ $n$ $)$ の構造を使用すると、この左辺は次の2つの式に展開できます。

\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta \quad {\text{and}}\quad \mathrm {d} \omega +\omega \wedge \omega \,,

ここで、ウェッジ積は行列の乗算を使用して評価されます。最初の式は接続のねじれと呼ばれ、2 番目の式は曲率とも呼ばれます。

$これらの表現はフレームバンドルの全空間上の微分 2 形式です。しかし、これらは水平かつ同変であり、したがってテンソルオブジェクトを定義します。これらは、次のようにT$ $M$ 上の誘導共変微分 $\nabla$ から直接定義できます。

ねじれは次式で与えられる。

T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]。

ねじれがゼロの場合、接続はねじれのない、または対称的であると言われます。

曲率は次の式で与えられる。

R_{X,Y}^{\nabla }Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X ,Y]}Z.

$[X, Y]は$ ベクトル場のリー括弧であることに注意する。

[X,Y]=\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}

アインシュタイン表記法では、これは座標系の選択とは無関係であり、

\partial _{i}=\left({\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\right)_{p}\,,

$i$ 番目の座標曲線の点 $p$ における接ベクトル。∂ $i$ $は$ $点p$ における接空間の自然な基底であり、 $X$ $i は$ ベクトル場 $X$ $=$ $X$ $i$ $\partial$ $i$ の対応する座標です。

曲率とねじれが両方ともゼロになると、接続は接束の大域的切断空間上のリー前代数構造を定義します。

レヴィとチヴィタのつながり

$(M, g)が$ リーマン多様体である場合、次の2つの性質を持つ $M$ 上の唯一のアフィン接続 $\nabla$ が存在する。

接続はねじれなし、つまり $T \nabla は$ ゼロなので、 $\nabla X Y - \nabla Y X = [X, Y]$ となる。
平行移動は等長変換です。つまり、接線ベクトル間の内積（ $g を$ 使用して定義）は保存されます。

この接続は、レヴィ-チヴィタ接続と呼ばれます。

最初の特性については、捩れがないという表現の代わりに「対称」という表現がよく使われる。2 番目の条件は、リーマン計量 $g$ が平行であるという意味で、接続が計量接続であることを意味する: $\nabla$ $g$ $= 0$ 。捩れがない接続の場合、条件は恒等式 $X$ $g$ $($ $Y$ $,$ $Z$ $)$ = $g$ $(\nabla$ $X$ $Y$ $,$ $Z$ $)$ + $g$ $($ $Y$ $, \nabla$ $X$ $Z$ $)$ 、「計量との互換性」と同等である。^[11]局所座標では、この形式の成分はクリストッフェル記号と呼ばれる: レヴィ-チヴィタ接続の一意性のため、 $g$ の成分に関してこれらの成分の式が存在する。

測地線

直線はアフィン幾何学の概念であるため、アフィン接続は、任意のアフィン多様体上の（パラメータ化された）直線の一般化された概念を定義し、アフィン測地線と呼ばれます。抽象的には、パラメトリック曲線 $γ : I \to M$ $は、その接線ベクトルがγ$ に沿って移動したときにそれ自身と平行かつ等角のままである場合に直線です。線形の観点から、アフィン接続 $M は、$ 次のようにアフィン測地線を区別します。滑らかな曲線γ $: I \to M は$ 、 $γ$ に沿って平行移動される場合、つまり ${\dot {\gamma }}$

\tau _{t}^{s}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t)

ここで $τ s t : T γ s M \to T γ t M は$ 接続を定義する平行移動マップです。

$無限小接続\nabla$ の観点から、この式の導関数は次式を意味する。

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0

$すべてのt \in I$ に対して。

逆に、この微分方程式の任意の解は、曲線に沿って接線ベクトルが平行移動する曲線を生成します。すべての $x \in M$ およびすべての $X \in T x M$ に対して、 $γ$ $(0) =$ $x$ および $γ̇$ $(0) =$ $X を満たす一意のアフィン測地線$ $γ : I \to M$ が存在し、ここで $I は0 を含む$ $R$ 内の最大開区間であり、その上で測地線が定義されます。これはピカール・リンデレーフの定理に従い、アフィン接続に関連付けられた指数マップの定義を可能にします。

特に、 $M が$ (擬似)リーマン多様体で、 $\nablaが$ レヴィ-チヴィタ接続である場合、アフィン測地線はリーマン幾何学の通常の測地線であり、局所的に距離を最小化する曲線です。

ここで定義される測地線は、 $M$ 内の与えられた直線が、直線を通るパラメトリック曲線 $γ を、アフィン再パラメタ化$ $γ$ $($ $t$ $) \to$ $γ$ $($ $at$ $+$ $b$ $)$ の選択まで決定するため、アフィンパラメタ化と呼ばれることもあります。ここで、 $a$ と $b$ は定数です。アフィン測地線の接線ベクトルは、それ自体と平行かつ等角です。パラメタ化されていない測地線、または等角である必要はなく、単にそれ自体と平行である測地線は、次の式を満たすだけで済みます。

\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=k{\dot {\gamma }}

$γ$ に沿って定義された何らかの関数 $kに対して、パラメータ化されていない測地線は$ 射影接続の観点から研究されることが多い。

発達

アフィン接続は曲線の展開の概念を定義します。直感的には、展開は、 $x t が$ $M$ 内の曲線である場合、 $x 0$ でのアフィン接空間を曲線に沿って巻くことができるという概念を捉えています。その際、接空間と多様体の間のマークされた接点は、このアフィン空間内の曲線 $C t を$ $描きます。これがx t$ の展開です。

形式的には、 $τ 0 トン : T x t M \to T x 0 M$ は、アフィン接続に関連付けられた線形平行移動マップです。すると、展開 $C t$ $は、 T x 0 M$ の曲線で、0 から始まり、すべての時間 $tで$ $x t$ の接線に平行になります。

{\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t}\,,\quad C_{0}=0.

特に、 $x t が$ 測地線であるためには、その展開が $T x 0 M$ 内のアフィンパラメータ化された直線となる必要がある。^[12]

表面理論の再考

$M が$ $R 3$ の曲面である場合、 $M$ が自然なアフィン接続を持つことは容易にわかります。線型接続の観点から、ベクトル場の共変微分は、 $Mから$ $R 3$ への写像として見られるベクトル場を微分し、その結果を $M$ の接空間に直交して投影することによって定義されます。このアフィン接続はねじれがないことは容易にわかります。さらに、これは $R$ $3$ 上の内積によって誘導される $M$ 上のリーマン計量に関する計量接続であるため、この計量のレヴィ-チヴィタ接続です。

例: ユークリッド空間の単位球面

$⟨ , ⟩ を$ $R$ $3$ 上の通常のスカラー積とし、 $S$ $2 を$ 単位球面とする。点 $xにおける$ $S$ $2$ $の接空間は、 x$ に直交するすべてのベクトルからなる $R$ $3$ のベクトル部分空間と自然に同一視される。したがって、 $S$ $2$ 上のベクトル場 $Y は$ 、次を満たす写像 $Y$ $:$ $S$ $2$ $\to$ $R$ $3$ として見ることができる。

\langle Y_{x},x\rangle =0\,,\quad \forall x\in \mathbf {S} ^{2}.

$このような写像の微分（ヤコビ行列）をd Y$ と表すと、次の式が得られます。

補題 . 式

(\nabla _{Z}Y)_{x}=\mathrm {d} Y_{x}(Z_{x})+\langle Z_{x},Y_{x}\rangle x

S 2

上の捩れがゼロになるアフィン接続を定義します。

証明

。\nablaが

ライプニッツ恒等式を満たし、第1変数に関して

C \infty (S 2)

線形であることは簡単に証明できる。したがって、ここで証明する必要があるのは、上記の写像が実際に接ベクトル場を定義するということだけだ。つまり、

S

2

のすべての

xに対して

{\bigl \langle }(\nabla _{Z}Y)_{x},x{\bigr \rangle }=0\,.\qquad {\text{(Eq.1)}}

地図を見てみよう

{\begin{aligned}f:\mathbf {S} ^{2}&\to \mathbf {R} \\x&\mapsto \langle Y_{x},x\rangle \,.\end{aligned}}

写像fは定数なので、その微分はゼロとなる。特に

\mathrm {d} f_{x}(Z_{x})={\bigl \langle }(\mathrm {d} Y)_{x}(Z_{x}),x(\gamma '(t)){\bigr \rangle }+\langle Y_{x},Z_{x}\rangle =0\,.

上記の式1は次のようになります。QED

参照

注記

^ 線型接続はアフィン接続や単に接続とも呼ばれることが多いため、^[1]これらの用語の正確な定義については合意が得られていない（ジョン・M・リーは単に接続と呼んでいる）。^[2]
^ カルタンは、この用語（すなわち「アフィン接続」）をH.ワイルの本から借用し、それを参照した（空間-時間-物質）が、より一般的な文脈で使用したと説明している。^[4]
^ その結果、多くの数学者は、平行移動は線形でありアフィンではないという理由で、接バンドル上の接続に対して（アフィン接続ではなく）線型接続という用語を使用します。ただし、同じ特性はベクトルバンドル上の任意の（Koszulまたは線型エーレスマン）接続に当てはまります。もともとアフィン接続という用語は、カルタンの意味でのアフィン接続の短縮形であり、これは接続が任意のベクトルバンドルではなく接バンドル上で定義されていることを意味します。線型カルタン接続の概念は、線型表現が推移的でないため、実際にはあまり意味がありません。
^ 滑らかな無限小解析を使わずにカルタンの直観を正確にすることは難しいが、一つの方法は、彼の点が変数、つまり目に見えないパラメータ空間から多様体への写像であり、それを微分化できるとみなすことである。
^ 古典的には接空間は無限小近似として考えられていたが、現代の微分幾何学では接空間は微分などの微分対象の観点から定義されることが多い。^[8]
^ これは起源の選択として見ることができます。実際には $p = a x の$ $場合のみを考えれば十分です。カルタンはこれをM$ の $x$ と暗黙的に同一視しています。

引用

^ リー1997年、51頁。
^ Lee 2018、91頁。
^ Lee 2018、p.88、コネクション。
^ アキヴィス＆ローゼンフェルド 1993、213ページ。
^ Weyl 1918、1922年までに5版。
^ カルタン 1923年。
^ カルタン 1926年。
^ 小林 & 野水 1996、第 1 巻、セクション 1.1–1.2
^ 詳細については、Lumiste (2001b) を参照してください。以下の直感的な処理は、Cartan (1923) と Cartan (1926) によるものです。
^ R. Hermann (1983)、Cartan (1951)の付録1～3、およびSharpe (1997)を参照。
^ 小林・野水 1996, p. 160、Vol.私
^ この発展の扱いは、Kobayashi & Nomizu (1996, Volume 1, Proposition III.3.1) からの引用です。より幾何学的な扱いについては、セクション III.3 を参照してください。他の幾何学的な状況における発展の詳細な議論については、Sharpe (1997) も参照してください。

参考文献

Akivis, MA; Rosenfeld, Boris (1993). Élie Cartan (1869–1951). 翻訳者 Goldberg, VV AMS . ISBN 978-0-8218-5355-9。
Lee, John M. (1997).リーマン多様体: 曲率入門.大学院数学テキスト. 第176巻. ニューヨーク: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98322-6. OCLC 54850593.
Lee, John M. (2018). リーマン多様体入門. 大学院数学テキスト. 第176巻（第2版）. Springer Verlag . doi :10.1007/978-3-319-91755-9. ISBN 978-3-319-91755-9。

文献

主な歴史的参考文献

Christoffel, Elwin Bruno (1869), "Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1869 (70): 46–70, doi :10.1515/crll.1869.70.46, S2CID 122999847
Levi-Civita、Tullio (1917)、「リーマンニアナの曲面形状とコンセグエンテ仕様の幾何学的な並列性の基準」、レンド。円マット。パレルモ、42 : 173–205、土井:10.1007/bf03014898、S2CID 122088291
Cartan, Élie (1923), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 10.24033/asens.751
Cartan、Élie (1924)、「Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première party) (Suite)」、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure、41 : 1–25、doi : 10.24033/ asens.753
カルタン、エリー（1986）「アフィン接続を持つ多様体と一般相対性理論について」、ヒューマニティーズ・プレス

相対性理論の研究に動機づけられたカルタンのアフィン接続の扱い。参照フレームの物理学と、接続が世界線に沿った移動の物理的概念をどのように反映しているかについての詳細な説明が含まれています。

Cartan、Élie (1926)、「Espaces à connexion affine,射影と適合」、Acta Math。、48 : 1–42、土井: 10.1007/BF02629755

アフィン接続についての、より数学的な動機に基づいた説明。

Cartan、Élie (1951)、Robert Hermann (編) による付録付き、リーマン空間の幾何学 ( Leçons sur la géométrie des espaces de Riemannの James Glazebrook による翻訳、第 2 版)、Math Sci Press、マサチューセッツ州 (1983 年出版) 、ISBN 978-0-915692-34-7。

リーマン幾何学の観点から見たアフィン接続。ロバート・ヘルマンの付録では、曲面理論からの動機付けと、コズルの現代的な意味でのアフィン接続の概念について議論しています。彼は微分演算子 ∇ の基本特性を展開し、それをカルタンの意味での古典的なアフィン接続に関連付けています。

ヴァイル、ヘルマン（1918）、空間、時間、物質（1922年までに5版、ユルゲン・エーラーズ（1980）による注釈付き、ヘンリー・ブローゼ著第4版空間、時間、物質、1922年（メチューエン、1952年にドーバーによって再版）編集）シュプリンガー、ベルリン、ISBN 0-486-60267-2

二次参考文献

小林昭七、野水勝美（1996）、微分幾何学の基礎、第1巻と第2巻（新版）、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-15733-3。

これは、記事の技術的な詳細に関する主な参考文献です。第 1 巻の第 III 章では、多様体上の主バンドル、平行移動、展開、測地線、および関連する微分演算子の観点から、アフィン接続について詳しく説明します。第 1 巻の第 VI 章では、アフィン変換、ねじれ、およびアフィン測地学の一般理論について説明します。第 2 巻では、同次空間と複素多様体、およびその他のさまざまなトピックへのアフィン接続のさまざまな応用について説明します。

ルミステ、ウーロ（2001a）[1994]、「アフィン接続」、ハゼウィンケル、ミヒエル（編）、数学百科事典、EMSプレス、ISBN 978-1-55608-010-4。
ルミステ、ウーロ（2001b）[1994]、「多様体上の接続」、ハゼウィンケル、ミヒエル（編）、数学百科事典、EMSプレス、ISBN 978-1-55608-010-4。

ルミステによる 2 つの論文では、アフィン接続を定義するために平行移動マップに関する正確な条件が示されています。また、曲率、ねじれ、その他の標準的なトピックを古典的な (非主バンドル) 観点から扱っています。

シャープ、RW（1997）、微分幾何学：カルタンによるクラインのエルランゲン計画の一般化、シュプリンガー・フェアラーク、ニューヨーク、ISBN 0-387-94732-9。

これは、歴史的な詳細の一部を埋め、一般的なカルタン接続についてのより読みやすい基本的な説明を提供します。付録 A では、主接続と絶対平行性の観点の関係を説明します。付録 B では、アフィン接続の古典的な「ローリング」モデルと、主バンドルと微分演算子に基づく最新のモデルとの間のギャップを埋めます。

[3] 線型接続はアフィン接続や単に接続とも呼ばれることが多いため、^[1]これらの用語の正確な定義については合意が得られていない（ジョン・M・リーは単に接続と呼んでいる）。^[2]

[6] カルタンは、この用語（すなわち「アフィン接続」）をH.ワイルの本から借用し、それを参照した（空間-時間-物質）が、より一般的な文脈で使用したと説明している。^[4]

[9] その結果、多くの数学者は、平行移動は線形でありアフィンではないという理由で、接バンドル上の接続に対して（アフィン接続ではなく）線型接続という用語を使用します。ただし、同じ特性はベクトルバンドル上の任意の（Koszulまたは線型エーレスマン）接続に当てはまります。もともとアフィン接続という用語は、カルタンの意味でのアフィン接続の短縮形であり、これは接続が任意のベクトルバンドルではなく接バンドル上で定義されていることを意味します。線型カルタン接続の概念は、線型表現が推移的でないため、実際にはあまり意味がありません。

[11] 滑らかな無限小解析を使わずにカルタンの直観を正確にすることは難しいが、一つの方法は、彼の点が変数、つまり目に見えないパラメータ空間から多様体への写像であり、それを微分化できるとみなすことである。

[13] 古典的には接空間は無限小近似として考えられていたが、現代の微分幾何学では接空間は微分などの微分対象の観点から定義されることが多い。^[8]

[15] これは起源の選択として見ることができます。実際には $p = a x の$ $場合のみを考えれば十分です。カルタンはこれをM$ の $x$ と暗黙的に同一視しています。

[FOOTNOTELee199751-1] リー1997年、51頁。

[FOOTNOTELee201891-2] Lee 2018、91頁。

[FOOTNOTELee201888Connections-4] Lee 2018、p.88、コネクション。

[FOOTNOTEAkivisRosenfeld1993213-5] アキヴィス＆ローゼンフェルド 1993、213ページ。

[7] Weyl 1918、1922年までに5版。

[Cartan-affine-8] カルタン 1923年。

[10] カルタン 1926年。

[12] 小林 & 野水 1996、第 1 巻、セクション 1.1–1.2

[14] 詳細については、Lumiste (2001b) を参照してください。以下の直感的な処理は、Cartan (1923) と Cartan (1926) によるものです。

[16] R. Hermann (1983)、Cartan (1951)の付録1～3、およびSharpe (1997)を参照。

[17] 小林・野水 1996, p. 160、Vol.私

[18] この発展の扱いは、Kobayashi & Nomizu (1996, Volume 1, Proposition III.3.1) からの引用です。より幾何学的な扱いについては、セクション III.3 を参照してください。他の幾何学的な状況における発展の詳細な議論については、Sharpe (1997) も参照してください。