代数多様体の射影

代数幾何学において、代数多様体間の射とは、局所的に多項式で与えられる代数多様体間の関数である。これは正則写像とも呼ばれる。代数多様体からアフィン直線への射も正則関数と呼ばれる。逆写像も正則である正則写像は双正則写像と呼ばれ、双正則写像は代数多様体の同型写像である。正則写像と双正則写像は非常に制限的な条件であるため（射影多様体上に非定数正則写像は存在しない）、有理写像と双有理写像の概念も広く使用されている。これらは局所的に多項式ではなく有理分数で定義される部分関数である 。

代数多様体は自然に局所環空間の構造を持ちます。代数多様体間の射はまさに基礎となる局所環空間の射です。

XとYがとの閉部分多様体（つまりアフィン多様体）である場合、正則写像は多項式写像の制限である。明示的には、次の形式を持つ：^[1]${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}}$

${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{m})}$

ここで、 sはXの座標環内にあります。 ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I,}$

ここで、I はX を定義するイデアルです（注意：2つの多項式fとgがX上で同じ関数を定義するのは、 f  −  g がIにある場合のみです）。像f ( X ) はYにあるため、Yの定義方程式を満たします。つまり、正則写像は、その成分が の定義方程式を満たす多項式写像の制限と同じです。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$

より一般的には、 2 つの多様体間の写像f : X → Yが点xにおいて正則であるとは、 xの近傍Uとf ( x )の近傍Vが存在してf ( U ) ⊂ Vであり、制限関数f : U → V がUとVのいくつかのアフィン チャート上の関数として正則であるときです。f がXのすべての点で正則である場合、 f は正則であると呼ばれます。

• 注: 2 つの定義が一致することはすぐには明らかではありません。XとY がアフィン多様体である場合、写像f : X → Y が最初の意味で正則であるのは、2 番目の意味で正則である場合に限ります。^[a]また、正則性がアフィン チャートの選択に依存するかどうかもすぐには明らかではありません (依存しません。^{[b] ) ただし、この種の一貫性の問題は、正式な定義を採用すればなくなります。正式には、(抽象) 代数多様体は、局所}環空間の特定の種類として定義されます。この定義を使用すると、多様体の射は、局所環空間の射になります。

正則写像の合成もまた正則です。したがって、代数多様体は、射が正則写像である 代数多様体のカテゴリを形成します。

アフィン多様体間の正則写像は、座標環間の代数準同型に反変的に一対一に対応する。f : X → Yがアフィン多様体の射であれば、代数準同型を定義する。

${\displaystyle f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f}$

ここで、はXとYの座標環である。 はの元における多項式であるため、 は明確に定義されている。逆に、 が代数準同型である場合、 は射影を誘導する。 ${\displaystyle k[X],k[Y]}$${\displaystyle g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})}$${\displaystyle k[X]}$${\displaystyle \phi :k[Y]\to k[X]}$

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y}$

提供者: 執筆${\displaystyle k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,}$

${\displaystyle \phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))}$

ここでは の像です。^[c]および^[d]特に、f がアフィン多様体の同型である場合と、f ^{# が}座標環の同型である 場合に限ります。${\displaystyle {\overline {y}}_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}=\phi }$${\displaystyle {f^{\#}}^{a}=f.}$

たとえば、X がアフィン多様体Yの閉じた部分多様体であり、fが包含である場合、f ^#はY上の正規関数のXへの制限です。その他の例については、以下の #例 を参照してください。

Y がA ¹に等しい特別な場合、正則写像f : X → A ^1は正則関数と呼ばれ、微分幾何学で研究される滑らかな関数の代数類似物です。正則関数の環(つまり座標環、またはより抽象的には構造層の大域切断の環) は、アフィン代数幾何学の基本的な対象です。射影多様体上の唯一の正則関数は定数です (これは、複素解析におけるリウヴィルの定理の代数類似物として考えることができます)。

スカラー関数f : X → A ¹が点xで正則であるとは、 xのある開いたアフィン近傍において、それがxで正則な有理関数である場合、すなわち、x の近くに、f = g / hかつhがxでゼロにならないような正則関数g、hが存在する場合である。^[e]注意：この条件は、すべてのペア( g、h )に対してではなく、一部のペア ( g、h ) に対して適用される。例を参照。

Xが準射影多様体、すなわち射影多様体の開部分多様体である場合、関数体k ( X ) はXの閉包の関数体と同じであり、したがってX上の有理関数は、の同次座標環における同次元g、hに対してg / hの形になります(cf.射影多様体#多様体構造)。すると、 X上の有理関数f が点xで正則であるためには、f = g / hかつhがxでゼロにならないような同次元g、h が存在する必要があります。この特徴付けは、正則関数の定義としてとらえられることがあります。^[2]${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$

X = Spec AおよびY = Spec Bがアフィンスキームである場合、各環準同型ϕ : B → Aは、射を決定する。

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$

素イデアルの原像を取ることによって。アフィンスキーム間のすべての射はこの型であり、そのような射を接着すると一般に スキームの射が得られます。

さて、X、Yがアフィン多様体、すなわちA、B が代数的に閉じた体k上の有限生成代数である整域である場合、閉じた点のみを扱うと、上記は定義#で与えられた定義と一致します。（証明：f  : X → Yが射である場合、 と書くと、以下を示す必要があります。 ${\displaystyle \phi =f^{\#}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$

ここで、は点xとf ( x ) に対応する最大イデアルです。つまり、 です。これは即時的です。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}}$

この事実は、アフィン多様体のカテゴリがk上のアフィンスキームの完全なサブカテゴリと同一視できることを意味します。スキームの射がアフィンスキームの射を貼り合わせることで得られるのと同じように、多様体の射はアフィン多様体の射を貼り合わせることで得られるため、多様体のカテゴリはk上のスキームのカテゴリの完全なサブカテゴリになります。

詳細については[1]を参照してください。

• A ⁿ上の正規関数はまさにn変数の多項式であり、 P ⁿ上の正規関数はまさに定数です。
• X をアフィン曲線とします。すると は射となり、逆関数と全単射になります。gも射なので、fは多様体の同型です。${\displaystyle y=x^{2}}$$${\displaystyle f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x}$$${\displaystyle g(x)=(x,x^{2})}$
• X をアフィン曲線とします。すると は射影になります。これは環準同型に対応し、これは単射であることがわかります ( fは射影的であるため)。${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$$${\displaystyle f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$$$${\displaystyle f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}$$
• 前の例を続けて、U = A ¹  − {1} とします。U は超平面 t = 1 の補平面なので、Uはアフィンです。この制限は全単射です。しかし、対応する環準同型は包含であり、これは同型ではないため、制限f | _Uは同型ではありません。${\displaystyle f:U\to X}$${\displaystyle k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]}$
• X をアフィン曲線x ² + y ² = 1 とし、 とします。すると、 f はX上の有理関数になります。 式 にもかかわらず、 f は (0, 1) で正則です。これは、 X上の有理関数として、f はと書くこともできるからです。$${\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}.}$$${\displaystyle f(x,y)={x \over 1+y}}$
• X = A ² − (0, 0)とします。すると、X は代数多様体の開集合なので代数多様体になります。f がX上の正則関数であれば、f は上で正則であり、したがって においても正則です。同様に、 f は においても正則です。したがって、次のように書くことができます。ここでg、hはk [ x、y ]の多項式です。しかし、これはg がx ⁿで割り切れることを意味し、したがってf は実際には多項式です。したがって、X上の正則関数の環はk [ x、y ]です。(これは、 X がアフィンではあり得ないことも示しています。もしアフィンであれば、X はその座標環によって決定され、したがってX = A ²となるからです。)${\displaystyle D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}}$${\displaystyle k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]}$${\displaystyle k[x,y,y^{-1}]}$$${\displaystyle f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}}$$
• 点 ( x : 1) をA ¹上の 点xと同一視し、∞ = (1 : 0)と仮定します。P 1の自己同型 σ はσ(x : y) = (y : x) で与えられます。特に、σ は 0 と ∞ を交換します。f が P 1 上の有理関数である場合、^fが^∞で正則であるためには、f (1/ z ) が 0 で正則である必要があります。${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}}$$${\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}$$
• 既約代数曲線Vの関数体 k ( V )をとると、関数体内の関数F はすべて、 Vからk上の射影直線への射影として実現される。^{[説明が必要]} (cf. #Properties) 像は単一の点か、射影直線全体のいずれかになります (これは射影多様体の完全性の結果です)。つまり、Fが実際に定数でない限り、 Vのいくつかの点でFに∞ の値を帰属させる必要があります。
• 任意の代数多様体X、Yに対して、射影は多様体の射影である。XとYがアフィンである場合、対応する環準同型は であり、ここで である。$${\displaystyle p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x}$$$${\displaystyle p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1}$$${\displaystyle (f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)}$

多様体間の射は、ソースとターゲット上のザリスキ位相に関して 連続です。

多様体間の射の像は、開いている必要も閉じている必要もありません (たとえば、 の像は開いているわけでも閉じているわけでもありません)。しかし、次のようにも言えます。f が多様体間の射であれば、 f の像にはその閉包の開いた稠密な部分集合が含まれます(構成可能集合を参照)。 ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)}$

代数多様体の射f : X → Yは、稠密な像を持つとき優勢で あると言われる。そのようなfに対して、V がYの空でない開アフィン部分集合であれば、 Xの空でない開アフィン部分集合Uが存在し、f ( U ) ⊂ Vであり、そのとき単射である。したがって、優勢写像f は関数体のレベルで単射を誘導する。 ${\displaystyle f^{\#}:k[V]\to k[U]}$

${\displaystyle k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f}$

ここで、直接極限はYのすべての空でない開アフィン部分集合にわたっています。（より抽象的に言えば、これはYのジェネリック点の剰余体からXの剰余体への誘導写像です。）逆に、体の包含はすべてXからYへの優勢な有理数写像によって誘導されます。^{[3]したがって、上記の構成は、体}k上の代数多様体のカテゴリとそれらの間の優勢な有理数写像と、 kの有限生成体拡大のカテゴリとの間の反変同値を決定します。^[4]${\displaystyle k(Y)\hookrightarrow k(X)}$

X が滑らかな完全曲線（例えばP ¹）であり、 f がXから射影空間P ^mへの有理写像である場合、f は正則写像X → P ^mである。^[5]特に、X が滑らかな完全曲線である場合、X上の任意の有理関数はX → P ^{1 の}射影として見ることができ、逆に、そのような射影はX上の有理関数として見ることができる。

正規多様体（特に滑らかな多様体）上で、有理関数が正則となるのは、余次元が1の極を持たない場合のみである。^[f]これはハートッグスの拡大定理の代数版である。この事実の相対バージョンも存在する。[2]を参照のこと。

代数多様体間の射が、その基となる位相空間間の同相写像である場合、その射は同型である必要はありません（反例としてフロベニウス写像 が挙げられます）。一方、fが全単射双有理であり、 fの対象空間が正規多様体である場合、f は双正則です。（ザリスキの主定理を参照。） ${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$

複素代数多様体間の正則写像は正則写像である。(実際には若干の技術的違いがある。正則写像は特異点が除去可能な有理型写像であるが、この区別は実用上は通常無視される。) 特に、複素数への正則写像は単なる通常の正則関数(複素解析関数)である。

させて

${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{m}}$

射影多様体から射影空間への射影写像とする。 x をXの点とする。すると、f ( x ) のi番目の同次座標が非ゼロになる。簡単のため、i = 0 とする。すると、連続性により、 xの開アフィン近傍Uが存在し、

${\displaystyle f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}}$

は射であり、y _{i は}同次座標である。目標空間は同一視によるアフィン空間A ^mである点に注意する。したがって、定義により、制限f | _Uは次のように与えられる。 ${\displaystyle (a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})}$

${\displaystyle f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))}$

ここでg _iはU上の正則関数である。Xは射影的であるため、各g _iはXの同次座標環k [ X ]における同じ次数の同次元の分数である。分数を、すべてが同じ同次分母、たとえばf _{0 を}持つように配置することができる。すると、 k [ X ]のいくつかの同次元f _iに対してg _i = f _i / f ₀と書くことができる。したがって、同次座標に戻ると、

${\displaystyle f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))}$

U内のすべてのxに対して、連続性により、f _iがxで同時に消失しない限り、X内のすべてのxに対して成立します。 f i がXの点xで同時に消失する場合は、上記の手順により、xで同時に消失しない別のf _iのセットを選択できます(セクションの最後の注を参照)。

実際、上記の記述は、射影多様体の開部分多様体である任意の準射影多様体 Xに対して有効です。違いは、f _iが の同次座標環内にあることです。 ${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle {\overline {X}}}$

注: 上記は、射影多様体から射影空間への射影が単一の多項式集合によって与えられるとは言っていません (アフィンの場合とは異なります)。たとえば、X をP ²の円錐関数とします。すると、2 つの写像とがXの開集合上で一致し( であるため)、射影 を定義します。 ${\displaystyle y^{2}=xz}$${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x:y)}$${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (y:z)}$${\displaystyle \{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}}$${\displaystyle (x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)}$${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{1}}$

重要な事実は次の通りである: ^[6]

マンフォードの赤い本では、定理はノイマンの正規化補題によって証明されています。一般的な自由度が主な役割を果たし、「普遍カテナリー環」の概念が証明の鍵となる代数的アプローチについては、アイゼンバッド著「代数幾何学に向けた可換代数」の第 14 章を参照してください。実際、そこでの証明は、fが平坦である場合、定理の 2. の次元の等式が一般に（一般的な場合だけでなく）成立することを示しています。

f : X → Yを体k上の代数多様体間の有限射影写像とする。定義により、fの次数は関数体k ( X )のf ^* k ( Y ) 上の有限体拡大の次数である。ジェネリック自由性により、 Yには空でない開集合Uが存在し、構造層O _Xのf ⁻¹ ( U )への制限はO _Y | _U -モジュールとして自由である。 fの次数はこの自由モジュールのランクでもある。

fがエタールであり、X、Yが完備であれば、Y上の任意の連接層 Fに対して、オイラー標数を χ と書くと、

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\deg(f)\chi (F).}$^[7]

(分岐被覆の リーマン・フルヴィッツ公式は、ここでの「エタール」を省略できないことを示しています。)

一般に、f が有限射影写像で、X、Yが完備で、F がY上の連接層である場合、ルレイスペクトル列 から次の式が得られます。 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{*}F)}$

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f_{*}f^{*}F).}$

特に、F が線束のテンソル冪である場合、 q が正であればのサポートは正の余次元を持つため、主要項を比較すると次の式が得られます。 ${\displaystyle L^{\otimes n}}$${\displaystyle R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n}}$${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {deg} (f^{*}L)=\operatorname {deg} (f)\operatorname {deg} (L)}$

( のジェネリックランクはfの次数であるため)。 ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

fがエタールであり、kが代数的に閉じている場合、各幾何学的ファイバーf ⁻¹ ( y )は正確にdeg( f )点から構成されます。

• 代数関数
• 滑らかな射影
• エタール射–局所微分同相の代数的類似物。
• 特異点の解決
• 縮約写像