環境保護法

物理学において、保存則とは、孤立した物理系の特定の測定可能な性質が、系の時間的変化に伴って変化しないことを述べる法則である。厳密な保存則には、質量エネルギー保存則、線運動量保存則、角運動量保存則、電荷保存則などがある。また、質量、パリティ、^{[ 1 ]}レプトン数、バリオン数、ストレンジネス、ハイパーチャージなどの量に適用される近似的な保存則も多数存在する。これらの量は、特定の種類の物理過程において保存されるが、すべての過程において保存されるわけではない。

局所的な保存則は通常、数学的には連続方程式、すなわち、ある量とその量の「輸送」との関係を示す偏微分方程式として表現されます。この方程式は、ある点またはある体積内における保存量の量は、その体積に出入りする量によってのみ変化することを示しています。

ノーターの定理によれば、微分可能な対称性はすべて局所的な保存則につながる。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}他の保存量も存在し得る。

自然の基本法則としての保全法則

保存則は、自然界でどのようなプロセスが起こり得るか、あるいは起こり得ないかを記述する点で、物理世界を理解する上で基礎となるものです。例えば、エネルギー保存則は、孤立系におけるエネルギーの総量は変化しないが、その形態は変化する可能性があると述べています。一般に、その法則によって支配される性質の総量は、物理過程の間、変化しません。古典物理学においては、エネルギー、質量（または物質）、線運動量、角運動量、および電荷の保存則が保存則に含まれます。素粒子物理学においては、粒子は、一方が通常の粒子で他方が反粒子であるペアでない限り、生成も消滅もされません。対称性と不変性の原理に関しては、空間、時間、および電荷の反転または反転に関連する3つの特別な保存則が記述されています。

保存則は自然界の基本的な法則と考えられており、物理学だけでなく、化学、生物学、地質学、工学などの他の分野にも幅広く応用されている。

ほとんどの保存則は、あらゆる過程に適用されるという意味で、厳密、あるいは絶対的なものである。一方、一部の保存則は、ある過程には当てはまるが、他の過程には当てはまらないという意味で、部分的なものである。

局所保存則に関する特に重要な結果の 1 つは、ノーターの定理です。これは、それぞれの保存則と宇宙の微分可能な対称性との間に 1 対 1 の対応関係があることを示しています。たとえば、局所的なエネルギー保存則は時間の均一性から導かれ、局所的な角運動量保存則は空間の等方性から生じます[ ²^]^[⁵^]^[⁴^]つまり、空間には特定の方向がないためです。注目すべきは、時間反転に関連する保存則はないということです^が、時間反転と他の対称性を組み合わせたより複雑な保存則は知られています。

正確な法則

対称性によって成立する物理保存方程式のうち、厳密な法則、あるいはより正確には、破られたことが証明されたことのない方程式の一部を以下に示します。

もう一つの厳密な対称性はCPT対称性であり、空間座標と時間座標の同時反転と、すべての粒子とその反粒子の交換によって成り立ちます。しかし、これは離散対称性であるため、ノーターの定理は適用されません。したがって、保存量であるCPTパリティは、通常、意味のある形で計算または決定することはできません。

近似法則

近似的な保存則も存在する。これらは、低速、短い時間スケール、特定の相互作用など、特定の状況において近似的に成り立つ。

（巨視的な）力学的エネルギーの保存（摩擦などの散逸力がほとんどない過程においてはほぼ成り立つ）
（静止）質量の保存（非相対論的速度では近似的に成り立つ）
バリオン数の保存則（カイラル異常とスファレロンを参照）
レプトン数の保存則（標準模型において）
風味の保持（弱い相互作用によって損なわれる）
ストレンジネスの保存則（弱い相互作用によって破られる）
空間パリティの保存則（弱い相互作用によって破られる）
電荷パリティ保存則（弱い相互作用によって破られる）
時間パリティの保存則（弱い相互作用によって破られる）
CPパリティの保存（弱い相互作用によって破られる）
CPT対称性の保存（標準模型において）。

地球規模および地域レベルの自然保護法

宇宙におけるある保存量の総量は、ある点Aに同量のエネルギーが現れ、同時に別の点Bから消えたとしても、変化しない可能性がある。例えば、地球にエネルギーが現れたとしても、宇宙の別の領域から同量のエネルギーが消えた場合、宇宙の総量は変化しない可能性がある。この弱い形の「グローバル」保存は、ローレンツ不変ではないため、実際には保存法則ではない。したがって、上記のような現象は自然界では起こらない。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}特殊相対性理論により、ある慣性系においてAでのエネルギーの出現とBでのエネルギーの消失が同時である場合、最初の慣性系に対して運動する他の慣性系では同時ではない。運動する系では、一方が他方より先に起こる。Aでのエネルギーは、Bでのエネルギーが消える前か後に現れる。どちらの場合も、その間はエネルギーは保存されない。

より強い形式の保存則では、ある点における保存量の量が変化するためには、その点への量の流入または流出がなければならないとされています。たとえば、ある点における電荷の量は、その点への流入または流出によって電荷の差が運ばれる電流がなければ変化しないことがわかります。これは連続的な局所的変化のみに関係するため、このより強いタイプの保存則はローレンツ不変です。つまり、ある参照系で保存される量は、すべての運動する参照系で保存されます。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}これは局所保存則と呼ばれます。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}局所保存則は、宇宙における保存量の総量が一定である、つまり大域保存則も意味します。上記の保存則はすべて局所保存則です。局所保存則は、体積内の量の変化が、体積の表面を通過する量の正味の総「フラックス」に等しいことを示す連続方程式によって数学的に表現されます。次のセクションでは、連続方程式について一般的に説明します。

微分形式

連続体力学において、厳密な保存則の最も一般的な形式は連続方程式によって与えられる。例えば、電荷 $q$ の保存は次のようになる。 ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \,$ ここで、 $\nabla\cdot$ は発散演算子、 $ρは$ $q$ の密度（単位体積あたりの量）、 $jは$ $q$ の流量（単位時間あたりに単位面積を通過する量）、 $t$ は時間である。

電荷の運動uが位置と時間の連続関数であると仮定すると、 ${\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\,.\end{aligned}}$

1次元空間では、これは同次1階準線形双曲型方程式の形で表される：^{[ 8 ]}^{： 43} $y_{t}+A(y)y_{x}=0$ ここで、従属変数 $y$ は保存量の密度と呼ばれ、 $A$ $($ $y$ $)は$ 現在のヤコビアンと呼ばれ、偏微分には添え字表記が用いられています。より一般的な非均質なケースは次のとおりです。 $y_{t}+A(y)y_{x}=s$ これは保存方程式ではなく、散逸系を記述する一般的な平衡方程式です。従属変数 $y$ は非保存量と呼ばれ、非斉次項 $s$ $($ $y$ $,$ $x$ $,$ $t$ $)は散逸$ 源、または散逸です。例えば、この種の平衡方程式には、運動量とエネルギーのナビエ・ストークス方程式、または一般的な孤立系のエントロピー平衡式などがあります。

1次元空間における保存方程式は、移流形式に変換できる1階準線形双曲型方程式である。 $y_{t}+a(y)y_{x}=0$ ここで、従属変数 $y (x, t)は$ 保存量 (スカラー)の密度と呼ばれ、 $a (y)は$ 電流係数と呼ばれ、通常は保存量の電流密度 $j$ $($ $y$ $)$ の保存量に関する偏微分に対応する。^[⁸^]^:⁴³ $a(y)=j_{y}(y)$

この場合は連鎖律が適用されるため、 $j_{x}=j_{y}(y)y_{x}=a(y)y_{x}$ 保存方程式は、電流密度形式で表すことができる。 $y_{t}+j_{x}(y)=0$

複数の次元を持つ空間では、前述の定義を拡張して、次の形式の方程式にすることができます。 $y_{t}+\mathbf {a} (y)\cdot \nabla y=0$

ここで、保存量は $y (r, t)$ であり、 $\cdot は$ スカラー積を表し、 $\nabla は$ ナブラ演算子であり、ここでは勾配を示し、 $a (y)$ は電流係数のベクトルであり、同様に保存量 $j$ $($ $y$ $)に関連付けられたベクトル電流密度の$ 発散に対応します。 $y_{t}+\nabla \cdot \mathbf {j} (y)=0$

これは連続方程式の場合に当てはまります。 $\rho _{t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

ここで保存される量は質量であり、密度は $ρ (r, t)$ 、電流密度は $ρu で$ 、運動量密度と同一であり、 $u (r, t)は$ 流速である。

一般的に、保存方程式は、次のような形式のこの種の方程式（ベクトル方程式）のシステムにもなり得る。 ^{[ 8 ]}^{： 43} $\mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0}$ ここで、 $y$ は保存量（ベクトル）と呼ばれ、 $\nablay は$ その勾配、 $0$ はゼロベクトル、 $A (y)は電流密度の$ ヤコビアンと呼ばれます。実際、前述のスカラーの場合と同様に、ベクトルの場合も、A ( y ) は通常、電流密度行列 $J (y)$ のヤコビアンに対応します。 $\mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )$ そして、保存方程式は次の形式に表すことができる。 $\mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0}$

例えば、これはオイラー方程式（流体力学）の場合に当てはまります。単純な非圧縮性の場合、それらは次のようになります。 ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\,,&{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s&=\mathbf {0} ,\end{aligned}}$

どこ：

$u$ は流れの速度ベクトル、N 次元空間の成分は $u 1 、 u 2 、 ...、 u N$ です。
$s$ はソース項を与える比圧力(単位密度あたりの圧力)。

これらの式における保存量（ベクトル）と電流密度行列は、それぞれ以下のようになることが示される。

${\begin{aligned}\mathbf {y} &={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};&\mathbf {J} &={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\end{aligned}}$

どこ $\otimes$ は外積を表します。

積分形式と弱形式

保存方程式は通常、積分形式でも表現できます。後者の利点は、解の滑らかさに対する要求が少なく、弱形式への道が開かれ、許容解のクラスが不連続解を含むように拡張されることです。^{[ 8 ]}^{： 62-63}任意の時空間領域で積分することにより、電流密度は1次元空間で次のように表されます。 $y_{t}+j_{x}(y)=0$ グリーンの定理を用いると、積分形式は次のようになる。 $\int _{-\infty }^{\infty }y\,dx+\int _{0}^{\infty }j(y)\,dt=0$

同様に、スカラー多次元空間の場合、積分形式は次のようになります。 $\oint \left[y\,d^{N}\mathbf {r} +j(y)\,dt\right]=0$ ここで、線積分は領域の境界に沿って反時計回りに実行される。^{[ 8 ]}^{： 62-63}

さらに、コンパクトな台を持ち、時間と空間の両方で連続微分可能なテスト関数φ ( r , t ) を定義することにより、初期条件を基準として弱形式が得られる。1 次元空間では次のようになる。 $\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\left[\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)\right]dx\,dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)\,dx$

弱形式では、密度と電流密度のすべての偏微分がテスト関数に渡されており、前者の仮定の下では、テスト関数はこれらの微分を許容するのに十分な滑らかさを持っている。^{[ 8 ]}^{： 62-63}

注記

↑ Lee, TD ; Yang, CN (1956). "弱い相互作用におけるパリティ保存の問題" . Physical Review . 104 (1): 254– 258. Bibcode : 1956PhRv..104..254L . doi : 10.1103/PhysRev.104.254 .
1 2 Ibragimov, NH CRC 微分方程式のリー群解析ハンドブック、第 1 巻 - 対称性、厳密解、および保存則。CRC Press、2023 年。
↑ Kosmann-Schwarzbach, Y., 『ネーターの定理の哲学と物理学：百年祭、第4巻-24』（ケンブリッジ大学出版局、2022年）。
1 2 Rao, AK、Tripathi, A.、Chauhan, B.、Malik, RP BRST形式における(反)BRST電荷のネーター定理と冪零性: 簡単なレビュー。Universe 8 (2022)。https ://doi.org/10.3390/universe8110566
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1 2 3 4 5 6 Toro, EF (1999). 「第2章双曲型偏微分方程式の概念」『流体力学のためのリーマンソルバーと数値解法』Springer -Verlag。ISBN 978-3-540-65966-2。

参考文献

Philipson、Schuster、「非線形微分方程式によるモデリング：散逸過程と保存過程」、World Scientific Publishing Company、2009年。
ヴィクター・J・ステンガー、2000年。『タイムレス・リアリティ：対称性、単純性、そして多元宇宙』。ニューヨーク州バッファロー：プロメテウス・ブックス。第12章は、対称性、不変性、保存則への穏やかな入門です。
E. Godlewski および PA Raviart、「保存則の双曲系」、Ellipses、1991 年。

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにある、環境保護法に関連するメディア
環境保護法– オンライン教科書の第11章～第15章

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[Ibragimov-2] 1 2 Ibragimov, NH CRC 微分方程式のリー群解析ハンドブック、第 1 巻 - 対称性、厳密解、および保存則。CRC Press、2023 年。

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[ 7 ]

[ 8 ]

環境保護法

自然の基本法則としての保全法則

正確な法則

近似法則

地球規模および地域レベルの自然保護法

微分形式

積分形式と弱形式

関連項目

事例と応用例

注記

参考文献

外部リンク

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