整流可能なセット

数学において、修正可能集合とは、ある測度論的な意味で滑らかな集合のことである。修正可能曲線の考え方を高次元に拡張したものである。大まかに言えば、修正可能集合は区分的に滑らかな集合の厳密な定式化である。そのため、修正可能集合は、ほとんどどこでも定義されている接空間を含め、滑らかな多様体の望ましい特性の多くを備えている。修正可能集合は、幾何学的測度論における基礎的な研究対象である。

ユークリッド空間のボレル部分集合は、 ハウスドルフ次元であり、連続的に微分可能な写像の 可算な集合が存在する場合、-修正可能集合と呼ばれる。${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle \{f_{i}\}}$

${\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

ハウスドルフ測度 は${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$

${\displaystyle E\setminus \bigcup _{i=0}^{\infty }f_{i}\left(\mathbb {R} ^{m}\right)}$

はゼロである。ここでバックスラッシュは集合の差を表す。同様に、 は定義を変えずにリプシッツ連続であるとみなすことができる。 ^{[1] [2] [3]}他の著者は異なる定義をしている。例えば、 が次元であることを必要とせず、が の有界な部分集合からのリプシッツ写像の像である集合の可算な和集合であることを要求している。^[4]${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle m}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

集合が純粋に-修正不可能であるとは、任意の（連続、微分可能） に対して、 ${\displaystyle E}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\left(E\cap f\left(\mathbb {R} ^{m}\right)\right)=0.}$

2 次元における純粋に 1 の修正不可能な集合の標準的な例は、スミス - ヴォルテラ - カントール集合とその集合自体の直積です。

フェデラー（1969、pp.251-252）は、一般距離空間Xのm-整列可能集合Eに対して次の用語を与えている。

1. Eが修正可能であるとは、上の何らかの有界部分集合に対するリプシッツ写像が存在する場合です。${\displaystyle m}$${\displaystyle f:K\to E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle E}$
2. Eが可算な整列集合の可算な族の和集合に等しいとき、Eは可算整列${\displaystyle m}$可能である。${\displaystyle m}$
3. がX上の測度であり、となるような可算修正可能集合Fが存在するとき、 E は可算修正可能${\displaystyle (\phi ,m)}$です。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \phi (E\setminus F)=0}$
4. Eが整流可能であるのは、 Eが可算整流可能であり、${\displaystyle (\phi ,m)}$${\displaystyle (\phi ,m)}$${\displaystyle \phi (E)<\infty }$
5. がX上の測度であり、E がを持つ修正可能集合Fを含まない場合、 E は純粋に修正不可能${\displaystyle (\phi ,m)}$です。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \phi (F)>0}$

および の定義 3 は、ユークリッド空間の部分集合に対する上記の定義に最も近いものです。 ${\displaystyle \phi ={\mathcal {H}}^{m}}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$

• フェデラー、ヘルベルト(1969)、幾何測度理論、Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 153、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. xiv+676、ISBN 978-3-540-60656-7、MR  0257325
• TCO'Neil (2001) [1994]、「幾何学的測度理論」、数学百科事典、EMS Press
• サイモン、レオン（1984）、幾何学的測度論に関する講義、数学解析センター紀要、第3巻、キャンベラ：オーストラリア国立大学数学およびその応用センター（CMA）、pp. VII+272（緩い正誤表）、ISBN 0-86784-429-9、ZBL  0546.49019

• 数学百科事典の Rectifiable Set について