非ハウスドルフ多様体

幾何学と位相幾何学では、多様体がハウスドルフ空間であることは一般的な公理です。一般位相幾何学では、この公理は緩和され、非ハウスドルフ多様体、つまりユークリッド空間に局所的に同相だが必ずしもハウスドルフではない 空間を研究します。

最もよく知られている非ハウスドルフ多様体は、2つの原点を持つ直線、^[1]または虫の目のような直線である。これは、実数直線 と（ ）の2つのコピーの商空間であり、点と を同一視することで得られる。${\displaystyle \mathbb {R} \times \{a\}}$${\displaystyle \mathbb {R} \times \{b\}}$${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle (x,a)}$${\displaystyle (x,b)}$${\displaystyle x\neq 0.}$

空間の同等の記述は、実数直線 を取り、原点を2つの原点とに置き換えることである。 部分空間は通常のユークリッド位相を維持する。そして、各原点における開近傍の局所基底は、開近傍が である集合によって形成される。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0_{a}}$${\displaystyle 0_{b}.}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$${\displaystyle 0_{i}}$${\displaystyle (U\setminus \{0\})\cup \{0_{i}\}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

各原点に対して、を で置き換えることによって得られる部分空間は、に同相なの開近傍である^[1]。 すべての点にはユークリッド直線に同相な近傍があるため、空間 は局所ユークリッド である。特に、各点にハウスドルフ近傍があるという意味で、空間 は局所ハウスドルフ である。しかし、 のすべての近傍はのすべての近傍と交差するため、空間 はハウスドルフではない。 しかし、それはT ₁空間 である。 ${\displaystyle 0_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0_{i}}$${\displaystyle 0_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle 0_{a}}$${\displaystyle 0_{b}.}$

スペースは2番目に可算です。

この空間では、ハウスドルフ空間では発生しないいくつかの現象が発生します。

• 空間はパス接続されていますが、アーク接続されていません。特に、1 つの原点から別の原点へのパスを取得するには、最初に最初の原点を通る直線内で から に左に移動し、次に2 番目の原点を通る直線内で からに右に戻ります。ただし、2 つの原点をアークで結合することは不可能であり、これは入射的なパスです。直感的に、最初に左に移動すると、最終的には後戻りして右に戻る必要があります。${\displaystyle 0_{a}}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0_{b}}$

• 2 つのコンパクト セットの交差は、コンパクトである必要はありません。たとえば、セットと はコンパクトですが、それらの交差はコンパクトではありません。${\displaystyle [-1,0)\cup \{0_{a}\}}$${\displaystyle [-1,0)\cup \{0_{b}\}}$${\displaystyle [-1,0)}$

• 空間は、あらゆる点がコンパクト近傍の局所基底を持つという意味で局所コンパクトです。しかし、1 つの原点を通る直線はその原点の閉じた近傍を含みません。これは、1 つの原点の任意の近傍がその閉包内に他の原点を含むためです。したがって、空間は正規の空間ではなく、あらゆる点が少なくとも 1 つの閉じたコンパクト近傍を持つにもかかわらず、原点は閉じたコンパクト近傍の局所基底を許容しません。

この空間はCW複体やハウスドルフ空間のホモトピー型を持たない。 ^[2]

多数の起点を持つ直線[ ^3]は、2 つの起点を持つ直線に似ていますが、任意の数の起点を持ちます。これは、離散位相を持つ任意の集合を取り、点を識別し、の商空間を取ることによって構築されます。同様に、に対して 1 つずつ多数の起点を持つ起点を置き換えることによって 、 から取得できます。 各起点の近傍は、2 つの起点の場合のように記述されます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} \times S}$${\displaystyle (x,\alpha )}$${\displaystyle (x,\beta )}$${\displaystyle x\neq 0.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0_{\alpha },}$${\displaystyle \alpha \in S.}$

原点が無限にある場合、空間は、コンパクト セットの閉包が一般にコンパクトである必要がないことを示しています。たとえば、コンパクト セットの閉包は、にすべての原点を追加することによって得られるセットであり、その閉包はコンパクトではありません。局所ユークリッドであることから、このような空間は、すべての点がコンパクト近傍の局所基底を持つという意味で局所コンパクトです。ただし、原点には閉じたコンパクト近傍はありません。 ${\displaystyle A=[-1,0)\cup \{0_{\alpha }\}\cup (0,1]}$${\displaystyle A\cup \{0_{\beta }:\beta \in S\}}$${\displaystyle A}$

2 つの起点を持つ線に似たのが分岐線です。

これは、同値関係 を持つ実数直線の2つのコピーの 商空間である。$${\displaystyle \mathbb {R} \times \{a\}\quad {\text{ および }}\quad \mathbb {R} \times \{b\}}$$ $${\displaystyle (x,a)\sim (x,b)\quad {\text{ if }}\;x<0.}$$

この空間には、負の実数ごとに 1 つの点があり、負でない数ごとに 2 つの点があります。つまり、ゼロで「分岐」があります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle x_{a},x_{b}}$

多様体上の連続実関数の層のような層のエタール空間は、しばしば非ハウスドルフ多様体である。（エタール空間がハウスドルフであるのは、それが何らかの解析接続性を持つ関数の層である場合である。）^[4]

非ハウスドルフ多様体はユークリッド空間に局所的に同相であるため、局所的に距離化可能（ただし一般には距離化不可能）であり、局所的にハウスドルフ（ただし一般にはハウスドルフではない）である。

• 位相のリスト – 具体的な位相と位相空間のリスト
• ローカルハウスドルフスペース
• 分離公理 – 「分離」の概念を定義する位相幾何学の公理

• Baillif, Mathieu; Gabard, Alexandre (2008). 「多様体: ハウスドルフ性対同次性」.アメリカ数学会紀要. 136 (3): 1105–1111. arXiv : math/0609098 . doi : 10.1090/S0002-9939-07-09100-9 .
• ガバード、アレクサンドル( 2006)、CW 複体のホモトピー型を持たない可分多様体、arXiv : math.GT/0609665v1、Bibcode:2006math......9665G
• Lee, John M. (2011).位相多様体入門（第2版）. Springer. ISBN 978-1-4419-7939-1。
• マンクレス、ジェームズ・R (2000)。トポロジー（第2版）。アッパーサドルリバー、ニュージャージー：プレンティスホール社。ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.