射影平面

数学において、射影平面とは、平面の概念を拡張した幾何学的構造である。通常のユークリッド平面では、2本の直線は通常1点で交わるが、交わらない直線のペア（すなわち平行線）も存在する。射影平面は、平行線が交わる「無限遠点」を追加した通常の平面と考えることができる。したがって、射影平面上の任意の2つの異なる直線は、ちょうど1点で交わる。

ルネサンス期の芸術家たちは、遠近法を用いた描画技法を発展させることで、この数学的分野の基礎を築きました。その典型的な例は、拡張ユークリッド平面とも呼ばれる実射影平面です。^{[ 1 ]}この例は、少し形を変えて、代数幾何学、位相幾何学、射影幾何学において重要であり、 PG(2, R )、 RP ²、P ₂ ( R ) など様々な表記で表されます。複素射影平面のような無限の射影平面や、ファノ平面のような有限の射影平面など、他にも多くの射影平面があります。

射影平面は2次元射影空間である。すべての射影平面が3次元射影空間に埋め込めるわけではない。このような埋め込み可能性は、デザルグの定理として知られる性質の結果であり、すべての射影平面に共通する性質ではない。

射影平面はランク2の入射構造である${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},I)}$点の集合から構成される${\displaystyle {\mathcal {P}}}$一連の線$\displaystyle {\mathcal {L}}}$、そして対称的な関係${\displaystyle I}$撮影現場で$\displaystyle {\mathcal {P}}\cup {\mathcal {L}}}$発生率と呼ばれ、以下の特性を持つ：^{[ 2 ]}

2番目の条件は、平行線が存在しないことを意味します。最後の条件は、いわゆる退化ケース（下記参照）を除外します。「接続」という用語は、点と線の関係の対称性を強調するために使用されます。したがって、「点Pは線ℓと接続している」という表現は、「 Pはℓ上にある」または「ℓはPを通る」の代わりに使用されます。

定義から、点の数は${\displaystyle s+1}$射影平面上の任意の直線と交わる直線の数は、任意の点と交わる直線の数と同じである。（無限である可能性もある）基数${\displaystyle s}$これは平面の次数と呼ばれます。

拡張された実平面の無限遠の直線は、その射影平面の他の直線とは異なる性質を持つように見えるかもしれないが、そうではない。同じ射影平面の別の構成では、どの直線も（幾何学的根拠に基づいて）他の直線と区別できないことがわかる。この構成では、実射影平面の各「点」は、3 次元ベクトル空間の原点を通る 1 次元部分空間 (幾何学的直線) であり、射影平面の「直線」は、3 次元空間の原点を通る (幾何学的) 平面から生じる。この考え方は、次のように一般化してより正確にすることができる。^{[ 3 ]}

K を任意の可除環（斜体）とする。K ³をKの要素の三つ組x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ )の集合とする（ベクトル空間として見たデカルト積）。K ³内の任意の非ゼロxに対して、 xを含むK ³の最小部分空間（原点を通る直線上のすべてのベクトルとして視覚化できる）は、次の部分集合である。

${\displaystyle \{kx:k\in K\}}$

K ³の。同様に、xとy をK ³の線形独立な要素とする。つまり、kx + my = 0はk = m = 0を意味する。xとyを含むK ³の最小部分空間(これは原点を通る平面上のすべてのベクトルとして視覚化できる) は、次の部分集合である。

${\displaystyle \{kx+my:k,m\in K\}}$

K ³の2 次元部分空間には、 kとmを固定し、結果として得られるベクトルの倍数を取ることによって得られる、原点を通るさまざまな 1 次元部分空間が含まれます。同じ比率のkとmの異なる選択は、同じ直線を与えます。

K上の射影平面( PG(2, K ) またはK P ^{2と表記) は、} K ³のすべての 1 次元部分空間からなる点の集合を持ちます。PG(2, K )の点の部分集合L は、 K ³の 2 次元部分空間が存在し、その 1 次元部分空間の集合がちょうどLである場合に、PG(2, K )内の直線となります。   

この構成によって射影平面が生成されることを検証することは、通常、線形代数の演習問題として残される。

この構成の別の（代数的な）見方は次のとおりです。この射影平面の点は、同値関係を法とする集合K ³ \ {(0, 0, 0)}の同値類です。

すべてのk ∈ K ^×に対してx ~ kx。

射影平面上の直線は、上記と全く同じように定義される。

PG(2, K )内の点の座標( x ₀ , x ₁ , x ₂ )は同次座標と呼ばれます。各 3 つ( x ₀ , x ₁ , x ₂ )は、点を表さない 3 つ(0, 0, 0)を除いて、 PG(2, K )内の明確に定義された点を表します。ただし、PG(2, K ) 内の各点は、多くの 3 つで表されます。   

Kが位相空間である場合、K P ^2は積位相、部分空間位相、商位相 を介して位相を継承します。

有限体

ウェダーバーンの定理によれば、有限除法環は可換でなければならず、したがって体である。K を素数 p を持つq = p n 個の要素からなる有限体^とすると、q 2 ⁺ q + 1個の点からなる射影平面が得られる。これらの平面は通常 PG(2, q ) と表記され、PG は射影幾何学を表し、「2」は次元、qは平面の位数と呼ばれる(任意の直線上の点の数より 1 少ない)。以下で説明するファノ平面は PG(2, 2) と表記される。上記の 3 番目の例は射影平面 PG(2, 3) である。   

ファノ平面は、2 つの要素の体から生じる射影平面です。これは、7 つの点と 7 つの線のみを持つ最小の射影平面です。右の図では、7 つの点は小さな球として、7 つの線は 6 つの線分と円として示されています。しかし、球を「線」、線分と円を「点」と考えることもできます。これは、射影平面における双対性の例です。線と点を入れ替えても、結果は依然として射影平面になります (下記参照)。共線点(同じ線上の点) を共線点に運ぶ 7 つの点の置換は、平面の共線化または対称性と呼ばれます。幾何学の共線化は合成に関して群を形成し、ファノ平面の場合、この群は 168 個の要素を持ちます。これは射影半線形群PΓL(3, 2) であり、この場合、平面の位数が素数であるため、射影線形群PGL(3, 2) と一致します。$q=2^1$有限体${\displaystyle \operatorname {GF} (q)}$非自明な自己同型写像​​を持たない。

射影平面のサブプレーン${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},I)}$射影平面${\displaystyle ({{\mathcal {P}}'},{{\mathcal {L}}'},I')}$と${\displaystyle {{\mathcal {P}}'}\subseteq {\mathcal {P}}}$、 ${\displaystyle {{\mathcal {L}}'}\subseteq {\mathcal {L}}}$そして${\displaystyle I'}$発生率関係の制限${\displaystyle I}$に${\displaystyle ({{\mathcal {P}}'}\cup {{\mathcal {L}}'})\times ({{\mathcal {P}}'}\cup {{\mathcal {L}}'})}$。

( Bruck 1955 )は次の定理を証明している。Π を次数Nの有限射影平面とし、次数Mの固有部分平面 Π ₀を持つとする。このとき、N = M ²またはN ≥ M ² + Mのいずれかが成り立つ。

亜平面${\displaystyle ({{\mathcal {P}}'},{{\mathcal {L}}'},I')}$の${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},I)}$は、すべての線がベア部分平面である場合にベア部分平面です。$\displaystyle {\mathcal {L}}\setminus {{\mathcal {L}}'}}$ちょうど 1 つのポイントで発生する${\displaystyle {\mathcal {P}}'}$そしてすべてのポイント$\displaystyle {\mathcal {P}}\setminus {{\mathcal {P}}'}}$ちょうど 1 つのラインで発生する$\displaystyle {\mathcal {L}}'}$。

次数 の有限デサルグ射影平面 ${\displaystyle q}$ベア部分平面（すべて必然的にデサルグス的）を許容するのは、${\displaystyle q}$は正方形です。この場合、ベア部分平面の次数は${\displaystyle {\sqrt {q}}}$。

有限デザルグ平面 PG(2, p ⁿ ) では、部分平面の位数は有限体 GF( p ⁿ ) の部分体の位数、すなわちp ⁱ（iはnの約数）に等しくなります。しかし、非デザルグ平面では、部分平面の位数に関する情報はブルックの定理のみによって得られます。この定理の不等式が等号となるケースは知られていません。位数Nの平面に、M ² + M = Nとなる位数Mの部分平面が存在するかどうかは未解決問題です。そのような部分平面が存在する場合、合成数（非素数冪）位数の射影平面が存在することになります。 

ユークリッド平面を射影化すると、実射影平面が得られる。その逆の操作、すなわち射影平面から1本の直線とその直線上のすべての点を取り除くと、アフィン平面が得られる。

退化平面は、射影平面の定義における第3条件を満たしません。構造的に複雑ではないため、それ自体で興味深いものではありませんが、一般的な議論において特殊なケースとして時折現れます。アルバートとサンドラー（1968 ）によれば、退化平面には7種類あります。それらは以下のとおりです。

1. 空集合。
2. 一点のみ、線はなし。
3. 一本の線で、点はありません。
4. 単一の点、複数の直線の集合、その点がすべての直線と交わっている場合。
5. 一本の線、点の集合、点はすべてその線と接している。
6. 直線mと交わる点P 、 Pと交わる任意の直線の集合、およびmと交わる任意の点の集合。
7. 直線mに接続していない点P 、 Pに接続する任意の (空の) 直線の集合、およびこれらの直線とmのすべての交点。

これら7つのケースは独立しておらず、4番目と5番目は6番目の特殊なケースと見なすことができ、2番目と3番目はそれぞれ4番目と5番目の特殊なケースである。追加の線がない7番目の平面の特殊なケースは、8番目の平面と見なすことができる。したがって、すべてのケースは、次のように2つの自己双対的な退化平面の族に整理することができる（この表現は有限の退化平面に関するものであるが、自然な方法で無限の退化平面にも拡張できる）。

1) 任意の数の点P ₁、 ...、P _n、および直線L ₁、 ...、L _mに対して、

L ₁ = { P ₁ , P ₂ , ..., P _n }

L ₂ = { P ₁ }

L ₃ = { P ₁ }

...

L _m = { P ₁ }

2) 任意の数の点P ₁、 ...、P _n、および直線L ₁、 ...、L _n（点の数と直線の数は同じ）

L ₁ = { P ₂ , P ₃ , ..., P _n }

L ₂ = { P ₁ , P ₂ }

L ₃ = { P ₁ , P ₃ }

...

L _n = { P ₁ , P _n }

射影平面の共線化は、平面から平面自身への全単射写像であり、点を点に、線を線に写像し、接続性を保存します。つまり、σが全単射であり、点Pが線m上にある場合、P ^σはm ^σ上にあります。^{[ 10 ]}

σ が射影平面の共線化である場合、 P = P ^σを満たす点Pはσの不動点と呼ばれ、 m = m ^σを満たす直線mはσの不動直線と呼ばれます。不動直線上の点は必ずしも不動点である必要はなく、σによるそれらの像がこの直線上にあるように制約されるだけです。共線化の不動点と不動直線の集合は閉じた構成を形成します。これは、射影平面の定義における最初の 2 つの条件を満たすが、必ずしも 3 番目の条件を満たすとは限らない点と直線のシステムです。したがって、任意の共線化の不動点と不動直線の構造は、それ自体で射影平面を形成するか、または退化平面を形成します。固定構造が平面を形成する共線化は、平面共線化と呼ばれます。 

射影平面は、点の集合P 、直線の集合L 、およびどの点がどの直線上にあるかを決定する接続関係Iによって定義される接続構造として公理的に定義されます。PとLは単なる集合であるため、それらの役割を入れ替えて平面双対構造を定義することができます。

「点」と「線」の役割を入れ替えることで、

C = ( P , L , I )

双対構造が得られる

C * = ( L、P、I *)

ここで、I * はIの逆関係です。

射影平面において、点、線、およびそれらの間の交わりを含む命題で、別の命題の「点」と「線」を入れ替え、必要な文法的な調整を行うことによって得られる命題を、最初の命題の平面双対命題と呼びます。「2つの点は1つの線上にある。」という命題の平面双対命題は、「2つの線は1つの点で交わる。」です。命題の平面双対命題を作成することを、その命題を双対化するといいます。

ある命題が射影平面Cにおいて真であるならば、その命題の双対平面C * においても真でなければならない。これは、「 Cにおいて」証明中の各命題を双対化すると、 「 C *において」証明の命題が得られることから導かれる。

射影平面Cには、3 点が交わらない 4 つの直線が存在することが示せる。この定理と射影平面の定義における最初の 2 つの公理を双対化すると、平面双対構造C * も射影平面であり、Cの双対平面と呼ばれることがわかる。

CとC * が同型である場合、Cは自己双対であると呼ばれる。任意の分割環Kの射影平面 PG(2, K )は自己双対である。ただし、ホール平面のように自己双対ではない非デサルグ平面もあれば、ヒューズ平面のように自己双対である平面もある。 

平面双対性の原理とは、自己双対射影平面Cにおける任意の定理を双対化すると、 Cにおいて有効な別の定理が得られるというものである。

双対性とは、射影平面C = ( P , L , I )からその双対平面C * = ( L , P , I *) (上記参照) への写像であり、接続性を保存します。つまり、双対性σ は、点を直線に、直線を点に写像します ( P ^σ = LおよびL ^σ = P )。点Qが直線m上にある場合 ( Q I mと表記)、Q ^σ I * m ^σ ⇔ m ^σ I Q ^σとなります。同型である双対性は相関と呼ばれます。^{[ 12 ]}相関が存在する場合、射影平面Cは自己双対です。

射影平面がPG(2, K ) 型で、K が可除環である場合、双対性は相互性と呼ばれます。^{[ 13 ]}これらの平面は常に自己双対です。射影幾何学の基本定理により、相互性はKの保型関数とホモグラフィの合成です。関係する保型が恒等写像である場合、相互性は射影相関と呼ばれます。

2次の相関（対合）は極性と呼ばれます。相関φが極性でない場合、 φ2^は非自明な共線化です。

射影平面は、点の数（無限または有限）と同じ数の線を持つことが示せる。したがって、すべての有限射影平面に対して、平面が次のようになるような整数N ≥ 2 が存在する。

N ² + N + 1 ポイント、

N ² + N + 1 行、

各線上にN +1個の点があり、

各点を通るN +1本の直線。

数Nは射影平面の位数と呼ばれる。

位数2の射影平面はファノ平面と呼ばれます。有限幾何学に関する記事も参照してください。

有限体を用いたベクトル空間構成を用いると、各素数冪p ⁿに対して、位数N = p ⁿの射影平面が存在する。実際、既知のすべての有限射影平面において、位数Nは素数冪である。^{[ 14 ]}

他の位数の有限射影平面の存在は未解決問題である。位数に関して知られている唯一の一般的な制約は、位数Nが mod 4 で 1 または 2 に合同であれば、2 つの平方数の和でなければならないというBruck–Ryser–Chowla の定理である。これによりN = 6は除外される。次のケースN = 10は、大規模なコンピュータ計算によって除外されている。^{[ 15 ]}これ以上のことは知られていない。特に、位数N = 12 の有限射影平面が存在するかどうかという問題は未解決である。^{[ 16 ]}

もう一つの長年の未解決問題は、有限体平面ではない素数位数の有限射影平面が存在するかどうか（あるいは、素数位数の非デサルグ射影平面が存在するかどうか）である。^{[ 17 ]}

位数Nの射影平面は、シュタイナーS(2, N + 1, N ² + N + 1)システムです (シュタイナーシステムを参照)。逆に、この形式 ( λ = 2 )のすべてのシュタイナーシステムは射影平面であることを証明できます。

次数Nの互いに直交するラテン方陣の数は、最大でN − 1 個である。N − 1 個が存在するのは、次数Nの射影平面が存在する場合に限る。

k=p ^mの射影平面 PG(2,k) の共線化の数を決定するには、まずGF( k ) 上の可逆3 × 3行列が乗算による基底の像によって決定されることに注意してください。${\displaystyle k^{3}-1}$最初の基底ベクトルの非ゼロ像の選択肢、${\displaystyle k^{3}-k}$第 2 基底ベクトルの画像の選択肢は、第 1 の画像と線形独立であり、$\displaystyle k^{3}-k^{2}}$最初の 2 つの画像と線形独立な、3 番目の基底ベクトルの画像の選択肢があります。したがって、${\displaystyle \left(k^{3}-1\right)\left(k^{3}-k\right)\left(k^{3}-k^{2}\right)}$異なる可逆行列だが${\displaystyle k-1}$それらの は互いに倍数であり、したがって同じホモグラフィーを表すので、

${\displaystyle {\frac {\left(k^{3}-1\right)\left(k^{3}-k\right)\left(k^{3}-k^{2}\right)}{k-1}}=\left(k^{2}+k+1\right)(k+1)k^{3}(k-1)^{2}}$

異なるホモグラフィ。すべてのコリネーションは、ホモグラフィと GF( p ^m )の自己同型写像​​の積であり、そのような自己同型写像​​はm個あるので、${\displaystyle m\left(k^{2}+k+1\right)(k+1)k^{3}(k-1)^{2}}$異なる共線関係。

すべての射影平面の分類はまだ完了には程遠いが、小さな次数については結果が分かっている。

• 2  : すべてPG(2, 2)と同型、構成(7 ₃ )、168 個の共線を持つ
• 3 ： PG(2, 3) と同型、構成(13 ₄ )、5616個の共線
• 4  : すべて PG(2, 4) と同型、構成 (21 ₅ )、120,960 個の共線を持つ
• 5  : すべて PG(2, 5) と同型、構成 (31 ₆ )、共線数 372,000
• 6  : 射影平面の位数としては不可能であり、オイラーの36人の将校問題には解がないことをタリーが証明した。しかし、これらの問題間の関連性は、1938年にボーズが証明するまで知られていなかった。^{[ 18 ]}
• 7  : すべて PG(2, 7) と同型、構成 (57 ₈ )、5,630,688 個の共線
• 8  : すべて PG(2, 8) と同型、構成 (73 ₉ )、32,965,632 個の共線
• 9  : PG(2, 9)、およびさらに 3 つの異なる (非同型)非デサルグ平面:ヒューズ平面、ホール平面、およびこのホール平面の双対。これらはすべて( Room & Kirkpatrick 1971 )に記載されています。
• 10  : 射影平面の位数としては不可能であり、高度なコンピュータ計算によって証明された。^{[ 15 ]}
• 11  : 少なくとも PG(2, 11)、構成 (133 ₁₂ ) で 212,427,600 の共線を持つ。その他は知られていないが、可能性はある。
• 12  : 射影平面の順序としては不可能であると推測される。^{[ 19 ]}

射影平面は、2 次元の射影幾何学と考えることができます。 ^{[ 20 ]} 高次元の射影幾何学は、射影平面の定義と同様の方法で、入射関係によって定義できます。

次元3の最小射影空間はPG(3,2)である。

これらは、追加の自由度によってデサルグの定理を高次元幾何学で幾何学的に証明できるため、射影平面よりも「扱いやすい」ことがわかります。これは、幾何学に関連付けられた座標「環」が除法環（斜体）Kでなければならず、射影幾何学はベクトル空間K ^{d +1}から構築されたもの 、すなわちPG( d , K )と同型であることを意味します。先に述べた構成と同様に、 d次元射影空間 PG( d , K )の点はK ^{d +1}の原点を通る直線であり、PG( d , K )の直線はK ^{d +1}の原点を通る平面に対応します。実際、i < dであるPG( d , K )の各i次元オブジェクトは、 K ^{d +1の}( i + 1)次元（代数的）ベクトル部分空間（「原点を通る」）です。射影空間は、さらにグラスマン空間へと一般化される。    

デザルグの定理が2次元より大きい射影空間で成り立つならば、その空間に含まれるすべての平面でも成り立つことが示せる。デザルグの定理が成り立たない射影平面（非デザルグ平面）が存在するため、これらの平面はより高次元の射影空間に埋め込むことはできない。ベクトル空間構成PG(2, K )の平面のみが、より高次元の射影空間に現れることができる。数学のいくつかの分野では、射影平面の意味をこのタイプの射影平面のみに限定している。そうでない場合、射影空間に関する一般的な記述では、幾何学的次元が2の場合の例外について常に言及する必要があるからである。^{[ 21 ]} 

• ブロックデザイン― 有限射影平面の一般化。
• 組み合わせ設計
• 差分集合
• 発生構造
• 一般化多角形
• 射影幾何学
• 非デサルグ平面
• 滑らかな射影平面
• 有限射影平面における横線
• 切断射影平面– 頂点を1つ取り除いた射影平面。
• 有限射影平面のVC次元

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