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数学では、ボールは球で囲まれた立体図形であり、立体球とも呼ばれます。[ 1 ]ボールは閉じたボール（球を構成する境界点を含む）または開いたボール（境界点を含まない）のいずれかです。
これらの概念は、3 次元ユークリッド空間だけでなく、より低次元および高次元、そして一般に計量空間でも定義されます。 n次元の球は、ハイパーボールまたはn球と呼ばれ、ハイパー球または( n −1 ) 球によって囲まれています。したがって、たとえば、ユークリッド平面の球は、円によって囲まれた平面領域であるディスクと同じです。ユークリッド 3 次元空間では、球は2 次元球によって囲まれた空間領域とみなされます。1 次元空間では、球は線分です。
ユークリッド幾何学や非公式な用法など、他の文脈では、球はボールを意味することがある。トポロジーの分野では、閉じた球は次元球はしばしば次のように表される。または開いている間-次元ボールはまたは。
ユークリッドn次元空間において、半径r、中心xの（開いた）n次元球とは、 xから距離がr未満のすべての点の集合である。半径rの閉じたn次元球とは、 xから距離がr以下のすべての点の集合である。
ユークリッドn次元空間では、すべての球は超球によって囲まれています。n = 1の場合、球は有界区間であり、 n =2の場合、球は円によって囲まれた円盤であり、 n =3の場合、球によって囲まれています。
n次元ユークリッド空間における半径rのユークリッド球のn次元体積は[ 2 ]で与えられる。 ここでΓはレオンハルト・オイラーのガンマ関数（階乗関数を分数引数に拡張したものと考えることができる）である。整数および半整数におけるガンマ関数の特定の値に対する明示的な公式を用いると、ガンマ関数の評価を必要としないユークリッド球の体積の公式が得られる。それらは以下のとおりである。
奇数次元体積の公式では、奇数2 k + 1に対して二重階乗(2 k + 1)!!は(2 k + 1)!! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ (2 k − 1) ⋅ (2 k + 1)と定義されます。
n次元球（(n-1)次元球）の表面積は次のとおりです。
( M , d )を距離空間、すなわち距離（距離関数）dを持つ集合Mとし、は正の実数とする。M内の点p を中心とする半径r の開いた (計量) 球は、通常B r ( p )またはB ( p ; r )と表記され、ユークリッド球と同様に、 pからr未満の距離にあるM内の点の集合として定義される。
閉じた（計量）球は、B r [ p ] または B [ p ; r ] と表記されることもあり、同様に、pからr以下の距離にある点の集合として定義されます。
特に、定義上r > 0であるため、球（開球または閉球）は常にp自身を含みます。単位球（開球または閉球）は半径1の球です。
一般の距離空間における球は、必ずしも円形である必要はありません。例えば、チェビシェフ距離の下での実座標空間における球は超立方体であり、タクシー距離の下での球は交差多面体です。閉球も必ずしもコンパクトである必要はありません。例えば、任意の無限次元ノルムベクトル空間における閉球は決してコンパクトではありません。しかし、ノルムベクトル空間における球は、三角不等式の結果として常に凸になります。
距離空間の部分集合は、何らかの球に含まれる場合、有界である。集合は、任意の正の半径が与えられたとき、その半径を持つ有限個の球で覆われる場合、完全有界である。
距離空間の開球は基底として機能し、この空間に位相を与える。その位相の開集合は、開球のすべての可能な和集合である。距離空間上のこの位相は、距離dによって誘導される位相と呼ばれる。
させて開いた球の閉包を表すこのトポロジーでは、常に必ずしもそうとは限りません例えば、距離空間では離散的な計量を用いると、しかしいかなる場合でも
ノルムを持つ任意のノルムベクトル空間Vは距離空間でもあり、その距離は このような空間では、任意のボールがポイントある地点の周り距離がスケーリングされたものと見なすことができる（）翻訳（単位球のコピーこのような「中心」のボールはは、
先に述べたユークリッド球は、ノルムベクトル空間における球の一例である。
pノルムL pを持つデカルト空間R nにおいて、すなわち、定義する次に、原点を中心とする半径の開いた球セットによって与えられる n = 2の場合、2 次元平面においてL 1ノルム (タクシー距離またはマンハッタン距離とも呼ばれる)による「球」は、対角線が座標軸に平行な正方形で囲まれています。チェビシェフ距離とも呼ばれるL ∞ノルムによる球は、辺が座標軸に平行な正方形を境界としています。ユークリッド距離として知られるL 2ノルムは、円の中にあるよく知られた円盤を生成し、pの他の値の場合、対応する球はラメ曲線(半楕円または超楕円) で囲まれた領域になります。
n = 3の場合、L 1球は軸に沿った体対角線を持つ正八面体内にあり、L ∞球は軸に沿った辺を持つ立方体内にあり、p > 2のL pの球の境界は超楕円体である。p = 2 は通常の球の内部を生成する。
多くの場合、次のようなケースも考慮することができます。この場合、我々は定義する
より一般的には、R nの任意の中心対称、有界、開かつ凸な部分集合Xが与えられたとき、 R n上にノルムを定義できます。ここで、球はすべてXの平行移動と均一スケーリングされたコピーです。ただし、「開」部分集合を「閉」部分集合に置き換えると、原点が条件を満たしますがR n上のノルムを定義しないため、この定理は成り立ちません。
任意の位相空間Xにおいて、必ずしも計量によって誘導される必要のない球について語ることができる。Xの(開または閉) n次元位相球とは、(開または閉) ユークリッドn次元球と同相なXの任意の部分集合である。位相n次元球は、セル複合体の構成要素として、組合せ位相において重要である。
任意の開位相n球は、デカルト空間R nおよび開単位n立方体(超立方体) (0, 1) n ⊆ R nと同相である。任意の閉位相n球は、閉n立方体[0, 1] nと同相である。
n次元球がm 次元球と同相であるのは、 n = mの場合に限る。開いたn次元球BとR nの間の同相写像は、 Bの2 つの可能な位相方向に対応する 2 つのクラスに分類できる。
ボールにはいくつかの特別な領域を定義することができる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(r)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}r^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(r)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{\left(2k+1\right)!!}}r^{2k+1}={\frac {2\left(k!\right)\left(4\pi \right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}}r^{2k+1}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89ca477f307c13de64810b321d09346d6a7377f)
![{\displaystyle B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97410ad1bcfd5d3cf7fd3a7cd6d9dcbb16eb6532)
![{\displaystyle B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2286a76161dba32f17651a80c0983f18d648b6)
![{\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2c843ccd5de0ad4206f76cbe72d3eb256086c8)
![{\displaystyle B_{1}[p]=X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad7882d621699a99a746dc473c5600035f365de)
