5次元多様体

数学において、5 次元多様体とは、区分的に線形または滑らかな構造を持つ可能性のある5 次元の 位相多様体です。

非単連結5次元多様体は分類不可能である。これは群の単語問題を解くよりも難しいからである。^[1]単連結コンパクト5次元多様体は、最初にStephen Smale ^{[2]によって分類され、その後}Dennis Barden ^[3]によって完全に一般化され、その後Aleksey V. Zhubr ^[4]によって別の証明が与えられた。これは、3次元や4次元の場合よりも簡単であることが判明した。3次元の場合はサーストン幾何化予想であり、4次元の場合は位相的な場合はMichael Freedman (1982)によって解決されたが、 ^[5]滑らかな場合は非常に難しい未解決問題である。

次元 5 では、単連結多様体の滑らかな分類は、古典的な代数位相幾何学によって支配されます。つまり、2 つの単連結で滑らかな 5 次元多様体が微分同相であるための必要十分条件は、整数係数を持つ第 2ホモロジー群の同型が存在し、リンク形式と第 2スティフェル・ホイットニー類が保存される場合です。さらに、第 2 ホモロジーにおけるそのような同型は、何らかの微分同相によって誘導されます。与えられた 5 次元多様体が5 次元球面に同相であるかどうかは決定できません。 ^[1]${\displaystyle S^{5}}$

滑らかで閉じた単連結な 5 次元多様体の例をいくつか示します。

• ${\displaystyle S^{5}}$、5次元球面。
• ${\displaystyle S^{2}\times S^{3}}$2次元球面と3次元球面の積。
• ${\displaystyle S^{2}{\widetilde {\times }}S^{3}}$、上の非自明な-バンドルの全空間。${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)}$ウー多様体、特殊ユニタリ群SU(3)を回転部分群SO(3)で割ったものとして得られる等質空間。

• 「5 次元多様体: 1 次元連結」。多様体アトラス プロジェクト。
• 「リンク形式」。マニフォールド アトラス プロジェクト。