レムニスケート

8の字型の曲線についての考察は、紀元5世紀に生きたギリシャの新プラトン主義の哲学者で数学者のプロクロスにまで遡ることができます。プロクロスは、トーラスの軸に平行な平面によるトーラスの断面について考察しました。彼が観察したように、そのような断面のほとんどでは、断面は1つまたは2つの楕円で構成されますが、平面がトーラスの内面に接すると、断面は8の字型になります。プロクロスはこれを馬の足枷（馬の2本の足を一緒に留める装置）またはギリシャ語で「ヒッポペデ」と呼びました。^{[ 8 ]}この曲線の「ブースのレムニスケート」という名前は、19世紀の数学者ジェームズ・ブースによる研究に由来します。^{[ 2 ]}

レムニスケートは、 4次多項式の零点集合である代数曲線として定義できる。${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}}$パラメータdが負の場合 (または、レムニスケートが外接円のペアになる特殊なケースではゼロの場合)。d が正の値の場合は、代わりにブースの楕円が得られます。

1680年、カッシーニは現在カッシーニ楕円と呼ばれる曲線群を研究した。これは次のように定義される。すなわち、2つの固定点（曲線の焦点）からの距離の積が一定となるすべての点の軌跡である。非常に特殊な状況（2点間の距離の半分が定数の平方根に等しい場合）では、これがレムニスケートを生み出す。

1694年、ヨハン・ベルヌーイは、ライプニッツが以前に提起した「等時線」の問題に関連して、カッシーニ楕円のレムニスケートの場合（現在ベルヌーイのレムニスケートとして知られている、上図参照）を研究した。ヒッポペードと同様に、これは代数曲線であり、多項式の零点集合である。${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-a^{2}(x^{2}-y^{2})}$ベルヌーイの弟ヤコブ・ベルヌーイも同じ年に同じ曲線を研究し、レムニスケートと名付けた。^{[ 9 ]}また、幾何学的には、2つの焦点からの距離の積が焦点間距離の半分の2乗に等しい点の軌跡として定義することもできる。^{[ 10 ]}これはヒッポペード（ブースのレムニスケート）の特殊なケースであり、${\displaystyle d=-c}$、また、内側の穴と円形の断面が互いに同じ直径を持つトーラスの断面として形成される場合がある。^{[ 2 ]} レムニスケート楕円関数は、ベルヌーイのレムニスケートの三角関数の類似物であり、レムニスケート定数はこのレムニスケートの弧長を評価する際に現れる。

もう一つのレムニスケート、ジェロノのレムニスケートまたはホイヘンスのレムニスケートは、4次多項式の零点集合である。${\displaystyle y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})}$[ ^{12 ] [ 13 ]}球と円柱の交差によって形成される3次元曲線であるヴィヴィアーニ曲線も8の字形をしており、平面投影はジェロノのレムニスケートで^ある。^{[ 14 ]}

その他の8の字型の代数曲線には、

• 悪魔の曲線、四次方程式で定義される曲線${\displaystyle y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})}$連結されたコンポーネントの1つが8の字型をしている、^{[ 15 ]}
• ワット曲線とは、機械的なリンク機構によって形成される8の字型の曲線である。ワット曲線は、6次多項式方程式の零点集合である。${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0}$そして、ベルヌーイのレムニスケートを特殊な場合として持つ。