トム・マザー成層空間

数学の一分野である位相幾何学において、抽象成層空間、あるいはトム・マザー成層空間は、位相空間 Xが層と呼ばれる断片に分解されたものである。これらの層は多様体であり、特定の方法で互いに適合することが求められる。トム・マザー成層空間は、ホイットニーのより微分幾何学的な理論に類似した、特異点の研究のための純粋に位相的な設定を提供する。これらはルネ・トムによって導入され、彼はすべてのホイットニー成層空間が同じ層を持つ位相的に成層された空間でもあることを示した。 1970年、トムの証明に触発されて ジョン・マザーが別の証明を与えた。

トム・マザーの成層空間の基本的な例としては、境界を持つ多様体（トップ次元と余次元 1 の境界）とコーナーを持つ多様体（トップ次元、余次元 1 の境界、余次元 2 のコーナー）、実数または複素数の解析多様体、滑らかな変換群の軌道空間などがあります。

トム・マザーの成層空間は、が位相空間（局所コンパクト、ハウスドルフ、第2可算であることがしばしば要求される）であり、を層に分解したものである。${\displaystyle (V,{\mathcal {S}},{\mathfrak {J}})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\bigsqcup _{X\in {\mathcal {S}}}X,}$

は制御データの集合であり、は地層の開いた近傍（管状近傍と呼ばれる）、は連続的な収縮、 は連続関数です。 これらのデータは以下の条件を満たす必要があります。 ${\displaystyle {\mathfrak {J}}}$ ${\displaystyle \{(T_{X}),(\pi _{X}),(\rho _{X})\ |X\in S\}}$${\displaystyle T_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{X}:T_{X}\to X}$${\displaystyle \rho _{X}:T_{X}\to [0,+\infty )}$

1. 各層は局所的に閉じた部分集合であり、分解は局所的に有限です。${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$
2. 分解は境界公理を満たします: かつならば。この条件は、層間に部分的な順序が存在することを意味します: かつ のとき、かつ のときのみ。${\displaystyle S}$${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle Y\cap {\overline {X}}\neq \emptyset }$${\displaystyle Y\subseteq {\overline {X}}}$${\displaystyle Y<X}$${\displaystyle Y\subset {\overline {X}}}$${\displaystyle Y\neq X}$
3. 各層は滑らかな多様体です。${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle X=\{v\in T_{X}\ |\ \rho _{X}(v)=0\}}$. したがって、地層からの距離関数として見ることができます。${\displaystyle \rho_{X}}$${\displaystyle X}$
5. 各層のペアごとに、制約は水没です。${\displaystyle Y<X}$${\displaystyle (\pi _{Y},\rho _{Y}):T_{Y}\cap X\to Y\times (0,+\infty )}$
6. 各層のペアに対して、およびが成り立ちます（どちらも方程式の両辺の共通領域上にあります）。${\displaystyle Y<X}$${\displaystyle \pi _{Y}\circ \pi _{X}=\pi _{Y}}$${\displaystyle \rho _{Y}\circ \pi _{X}=\rho _{Y}}$

層状空間の元々の動機の 1 つは、特異空間を滑らかな塊に分解することであった。たとえば、特異多様体 が与えられた場合、自然に定義された部分多様体 が存在し、これが特異点軌跡である。これは滑らかな多様体ではない可能性があるため、反復された特異点軌跡を取ると、最終的には自然な層状化が得られる。^[要出典]単純な代数幾何学的例として、特異超曲面がある。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {歌う} (X)}$${\displaystyle \mathrm {歌う} (\mathrm {歌う} (X))}$

     ${\displaystyle {\text{Spec}}\left(\mathbb {C} [x,y,z]/\left(x^{4}+y^{4}+z^{4}\right)\right)\xleftarrow {(0,0,0)} {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

プライムスペクトルはどこですか。 ${\displaystyle {\text{スペック}}(-)}$

• 特異点理論
• ホイットニー条件
• ストラティフォールド
• 交差ホモロジー
• トムの第一同位体補題
• 階層化された空間

• ゴレスキー、マーク、マクファーソン、ロバート 『層別モース理論』、シュプリンガー・フェアラーク、ベルリン、1988年。
• ゴレスキー、マーク、マクファーソン、ロバート「 交差ホモロジー II」、Invent. Math. 72 (1983)、第 1 号、77--129 ページ。
• マザー、J. トポロジカル安定性に関するノート、ハーバード大学、1970年。
• Thom、R. Ensembles et morphismes stratifiés、Bulletin of the American Mathematical Society 75 (1969)、pp.240-284。
• ワインバーガー、シュムエル(1994)。成層空間の位相的分類。シカゴ数学講義。シカゴ、イリノイ州：シカゴ大学出版局。ISBN 9780226885667。