境界値が与えられた場合の熱方程式の基本解
熱伝導 と 拡散 の 数学的 研究において 、 熱核は適切な 境界条件 を持つ特定の領域における 熱方程式 の 基本解 である。また、 ラプラス演算子 の スペクトル の研究における主要なツールの 1 つでもあり 、したがって 数理物理学 全体にわたって補助的な重要性を持っている。熱核は、境界が特定の温度 (通常はゼロ) に固定されている領域内の 温度の変化を表し、初期単位の熱エネルギーが t = 0 の 時点にある点に置かれる 。
1 次元熱方程式の基本解。赤: の時間経過。青: 選択した 2 つの点における の時間経過。インタラクティブ バージョン。
Φ （ x 、 t ）
{\displaystyle \Phi (x,t)}
Φ （
x
0
、 t ）
{\displaystyle \Phi (x_{0},t)}
最もよく知られている熱核は、 次元ユークリッド空間 R d の熱核であり 、 これ は 時間 とともに変化するガウス関数 の形をしており 、
すべての および
に対して定義されます。これは 、 熱方程式を解きます。
ここで、 δ は ディラックのデルタ分布 であり 、極限は 分布の意味で取られます。つまり、 コンパクトな台 の すべての滑らかな関数 ϕ に対して、次が成り立ちます。
け （ t 、 x 、 ええ ） = 経験
（
t Δ
）
（ x 、 ええ ） =
1
（
4 π t
）
d
/
2
e
− ‖ x − ええ
‖
2
/
4 t
{\displaystyle K(t,x,y)=\exp \left(t\Delta \right)(x,y)={\frac {1}{\left(4\pi t\right)^{d/2}}}e^{-\|xy\|^{2}/4t}}
x 、 ええ ∈
R
d
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}
t > 0
{\displaystyle t>0}
{
∂ け
∂ t
（ t 、 x 、 ええ ） =
Δ
x
け （ t 、 x 、 ええ ）
リム
t → 0
け （ t 、 x 、 ええ ） = δ （ x − ええ ） =
δ
x
（ ええ ）
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\\&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (xy)=\delta _{x}(y)\end{aligned}}\right.}
リム
t → 0
∫
R
d
け （ t 、 x 、 ええ ） ϕ （ ええ ） d ええ = ϕ （ x ） 。
{\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).}
R d の より一般的な領域 Ω では、このような明示的な式は一般には不可能です。次に単純な円盤または正方形の場合は、それぞれ ベッセル関数 と ヤコビ シータ関数 が関係します。それでも、熱核は依然として存在し、任意の領域、および 境界 を持つ任意の リーマン多様体 上では、境界が十分に正則であれば、 t > 0 に対して 滑らか です。より正確には、これらのより一般的な領域では、熱核は初期境界値問題の解です。
{
∂ け
∂ t
（ t 、 x 、 ええ ） =
Δ
x
け （ t 、 x 、 ええ ）
全ての
t > 0
そして
x 、 ええ ∈ Ω
リム
t → 0
け （ t 、 x 、 ええ ） =
δ
x
（ ええ ）
全ての
x 、 ええ ∈ Ω
け （ t 、 x 、 ええ ） = 0 、
x ∈ ∂ Ω
または
ええ ∈ ∂ Ω 。
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)&\quad {\text{ t>0{\text{ かつ }}x,y\in \Omega \\[6pt]&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta _{x}(y)&{\text{ すべて }}x,y\in \Omega \qquad \qquad \,\\[6pt]&K(t,x,y)=0,&x\in \partial \Omega {\text{ または }}y\in \partial \Omega \qquad \,\,\,\,.\end{aligned}}\right.}
任意の領域上の熱核の形式表現を導くことは難しくありません。連結領域（または境界を持つ多様体） U におけるディリクレ問題を考えます。 ラプラシアンのディリクレ問題の
固有値 を λ n とし
ます。 ϕ n は L 2 ( U ) で正規直交するように正規化された 関連する 固有関数 を表します。逆ディリクレ ラプラシアン Δ −1 はコンパクト で 自己随伴な演算子 である ため、 スペクトル定理により Δ の固有値は次式 を満たします
。熱核は次の式を持ちます。
{
Δ ϕ + λ ϕ = 0
で
あなた
ϕ = 0
の上
∂ あなた 。
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\Delta \phi +\lambda \phi =0&{\text{in }}U\\\phi =0&{\text{on }}\ \partial U.\end{array}}\right.}
0 <
λ
1
≤
λ
2
≤
λ
3
≤ ⋯ 、
λ
ん
→ ∞ 。
{\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \lambda _{3}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty .}
和の符号の下で級数を正式に微分すると、これが熱方程式を満たすはずであることが示されます。ただし、級数の収束と規則性は非常に微妙です。
熱核は、 コンパクトに支えられた滑らかな ϕ に対して
定義される関連する 積分変換 と同一視されることもある。
スペクトル 写像定理は、 T を次の形式で
表現する。
T ϕ =
∫
Ω
け （ t 、 x 、 ええ ） ϕ （ ええ ） d ええ 。
{\displaystyle T\phi =\int _{\Omega }K(t,x,y)\phi (y)\,dy.}
T =
e
t Δ
。
{\displaystyle T=e^{t\Delta }.}
多様体上の熱核については、短時間漸近解析、長時間漸近解析、ガウス型の上限/下限など、いくつかの幾何学的結果があります。
参照
参考文献
ベルリン、ニコール。ゲッツラー、E. Vergne、Michele (2004)、 Heat Kernels および Dirac Operators 、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag シャベル、アイザック（1984）、 リーマン幾何学における固有値 、純粋および応用数学、第115巻、ボストン、マサチューセッツ州： アカデミックプレス 、 ISBN 978-0-12-170640-1 、 MR 0768584 。 エヴァンス、ローレンス C. (1998)、 偏微分方程式 、プロビデンス、ロードアイランド州： アメリカ数学会 、 ISBN 978-0-8218-0772-9 ギルキー、ピーター B. (1994)、不変性理論、熱方程式、アティヤ・シンガー定理、 ISBN 978-0-8493-7874-4 グリゴリアン、アレクサンダー (2009)、「熱核と多様体上の解析」、AMS/IP 高度数学研究、第 47 巻、プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会 、 ISBN 978-0-8218-4935-4 、 MR 2569498
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)&\quad {\text{ t>0{\text{ かつ }}x,y\in \Omega \\[6pt]&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta _{x}(y)&{\text{ すべて }}x,y\in \Omega \qquad \qquad \,\\[6pt]&K(t,x,y)=0,&x\in \partial \Omega {\text{ または }}y\in \partial \Omega \qquad \,\,\,\,.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bcf08f57f9c1b9b02b846396b46f0aefd78b885)
