単体複体

数学において、単体複体とは、点、線分、三角形、およびそれらのn次元対応物である単体から構成される構造化された集合であり、要素のすべての面と交点も集合に含まれる (図を参照)。単体複体は、現代の単体ホモトピー理論に現れるより抽象的な概念である単体集合と混同してはならない。単体複体の純粋に組み合わせ的な対応物は抽象単体複体である。単体複体を抽象単体複体と区別するために、前者はしばしば幾何学的単体複体と呼ばれる。^{[1] : 7}

単体複体とは、 以下の条件を満たす 単体の集合です。${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

1.からの単体のすべての面は にも属する。${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

2.任意の 2 つの単体の空でない交差は、と の両方の面です。${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{2}}$

抽象単体複体の定義も参照してください。これは大まかに言えば、関連する幾何学を持たない単体複体です。

単体k複体とは、 内の単体の最大次元がkに等しい単体複体です。たとえば、単体 2 複体には少なくとも 1 つの三角形が含まれ、四面体や高次元の単体は含まれませ ん。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

純粋または同次な単体的k複体は、 k未満の次元のすべての単体が、ちょうどk次元の単体の面である単体複体です。非公式には、純粋な1 複体は一連の線で構成されているように見え、2 複体は一連の三角形で構成されているように見えます。非同次複体の例としては、頂点の 1 つに線分が接続された三角形があります。純粋な単体複体は三角形分割として考えることができ、多面体の定義を提供します。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {K}}}$

面とは、最大の単体、すなわち、より大きな単体の面ではない複合体内の単体のことである。 ^{[2] (}単体の「面」との違いに注意)。純粋な単体複合体は、すべての面が同じ次元を持つ複合体と考えることができる。単体多面体(の境界複合体)の場合、これは多面体組合せ論の意味と一致する。

面という用語は、複合体の単体を指すために使用されることがありますが、単体の面と混同しないでください。

k次元空間に埋め込まれた単体複体の場合、k面はセルと呼ばれることがあります。セルという用語は、単体に同相な集合を表すために広い意味で使用されることもあり、セル複体の定義につながります。

基底空間 は、単体複体のキャリアと呼ばれることもあり、単体の和集合です。通常はまたはで表されます。 ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$${\displaystyle \|{\mathcal {K}}\|}$

におけるすべての単体の相対内部は、その基底空間の分割を形成する。つまり、各点に対して、その相対内部に含む単体がちょうど1つ存在する。この単体はxのサポートと呼ばれ、 と表記される。^{[3] : 9}${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$${\displaystyle x\in |{\mathcal {K}}|}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {supp} (x)}$

• 
  2 つの単体とその閉包。
• 
  頂点とその星。
• 
  頂点とそのリンク。

K を単体複体とし、 S をK内の単体の集合とします。

Sの閉包( と表記)は、 S内の各単体を含むKの最小の単体部分複体です。は、 S内のすべての単体の各面をSに繰り返し追加することによって得られます。 ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$

Sのスター( と表記)は、 Sの各単体のスターの和集合です。単体sが 1 つの場合、 sのスターは、s を面として持つKの単体の集合です。Sのスターは一般に単体複体ではないため、一部の著者はS の閉じたスター( と表記) をS のスターの閉包 として定義しています。${\displaystyle \mathrm {st} \ S}$${\displaystyle \mathrm {St} \ S}$${\displaystyle \mathrm {Cl} \ \mathrm {st} \ S}$

Sのリンク( と表記) は に等しい。これは、 Sの閉じた星からSのすべての面の星を引いたものである。 ${\displaystyle \mathrm {Lk} \ S}$${\displaystyle \mathrm {Cl} {\big (}\mathrm {st} (S){\big )}\setminus \mathrm {st} {\big (}\mathrm {Cl} (S){\big )}}$

代数位相幾何学では、単体複体は具体的な計算に役立つことが多い。単体複体のホモロジー群の定義については、すべての単体に無矛盾な向きが作られていれば、対応する連鎖複体を直接読むことができる。ホモトピー理論の要件により、より一般的な空間であるCW 複体の使用につながる。無限複体は、代数位相幾何学の基本的な技術的ツールである。Polytope での、それぞれが単体である部分集合で構成されるユークリッド空間の部分空間としての単体複体に関する議論も参照のこと。そのいくぶん具体的な概念は、 Alexandrovに帰せられる。ここで説明されている意味での任意の有限単体複体は、その意味での多面体として、ある大きな数の次元に埋め込むことができる。代数位相幾何学では、有限単体複体の幾何学的実現に同相なコンパクトな位相空間は通常、多面体と呼ばれます(Spanier 1966、Maunder 1996、Hilton & Wylie 1967 を参照)。

組合せ論者はしばしば、単体d複体 Δ のfベクトルを研究します。これは整数列で、f _{i は}Δ の ( i −1) 次元面の数です(慣例により、 Δ が空複体でない限り、 f ₀  = 1 です)。たとえば、 Δ が八面体の境界である場合、そのfベクトルは (1, 6, 12, 8) であり、 Δ が上図の最初の単体複体である場合、そのfベクトルは (1, 18, 23, 8, 1) です。単体複体の可能なfベクトルの完全な特徴付けは、クラスカル・カトーナの定理によって与えられます。 ${\displaystyle (f_{0},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{d+1})}$

単体d複素数 Δ のfベクトルを多項式(指数の降順で記述)の係数として使用することにより、 Δ のf 多項式が得られます。上記の 2 つの例では、f多項式はそれぞれ、およびになります。 ${\displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x+8}$${\displaystyle x^{4}+18x^{3}+23x^{2}+8x+1}$

組合せ論者はしばしば、単体複体Δのhベクトルに非常に興味を持っています。これは、Δのf多項式にx  − 1を代入して得られる多項式の係数の列です。正式には、 F _Δ ( x )をΔのf多項式と書くと、 Δの h多項式は次のようになります。

${\displaystyle F_{\Delta }(x-1)=h_{0}x^{d+1}+h_{1}x^{d}+h_{2}x^{d-1}+\cdots +h_{d}x+h_{d+1}}$

そしてΔのhベクトルは

${\displaystyle (h_{0},h_{1},h_{2},\cdots ,h_{d+1}).}$

八面体境界の h ベクトル (最初の例) は次のように計算します。

${\displaystyle F(x-1)=(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+12(x-1)+8=x^{3}+3x^{2}+3x+1.}$

したがって、八面体の境界のhベクトルは (1, 3, 3, 1) です。このhベクトルが対称なのは偶然ではありません。実際、これは Δ が単体多面体の境界である場合に必ず起こります(これらはDehn–Sommerville 方程式です)。ただし、一般に、単体複体のhベクトルは必ずしも正ではありません。たとえば、共通の頂点でのみ交差する 2 次元複体を Δ とすると、結果として得られるhベクトルは (1, 3, −2) になります。

すべての単体多面体hベクトルの完全な特徴付けは、 Stanley、Billera、Lee の有名なg 定理によって与えられます。

単体複体は、球充填の接触グラフ（頂点が球の中心であり、対応する充填要素が互いに接触する場合に辺が存在するグラフ）と同じ幾何学的構造を持つと見ることができ、そのため、球充填における接触するペア（1単体）、接触する3つ組（2単体）、接触する4つ組（3単体）の数など、球充填の 組み合わせを決定するために使用できます。

単体複体認識問題とは、有限単体複体が与えられた場合、それが与えられた幾何学的オブジェクトに同相であるかどうかを判断することです。この問題は、d ≥ 5 の任意のd次元多様体に対しては決定不可能です。

• 抽象単体複体
• 重心分割
• 因果動的三角測量
• デルタセット
• ループ量子重力
• 多角形鎖 – 1次元単体複体
• タッカーの補題
• シンプレックスツリー

• スパニエ、エドウィン H. (1966)、代数的位相学、シュプリンガー、ISBN 0-387-94426-5
• マウンダー、チャールズ・R・F（1996）、代数的位相学（1980年版の再版）、ミネオラ、ニューヨーク州：ドーバー、ISBN 0-486-69131-4、MR  1402473
• ヒルトン、ピーター J. ;ワイリー、ショーン(1967)、ホモロジー理論、ニューヨーク:ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-09422-4、MR  0115161

• Weisstein、Eric W.「単体複体」。MathWorld。
• Norman J. Wildberger。「単体と単体複合体」。YouTube トーク。