局所定数関数

数学において、局所定数関数とは、その定義域のあらゆる点の周りにその点の近傍が存在し、その点上では定数関数に制限されるという性質を持つ、位相空間から集合への関数です。

を位相空間から集合への関数とします。 が で局所的に一定であるとは、が で一定であるようなの近傍が存在し、 がで一定であり、定義によりすべて に対して となることを意味するときです。 関数は、その定義域内の どの点でも局所的に一定である場合に局所的に一定であるといいます。${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle f(u)=f(v)}$${\displaystyle u,v\in U.}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle x\in X}$

すべての定数関数は局所的に定数です。その定義域が連結空間である場合は逆が成り立ちます。

実数 からへのすべての局所定数関数は、の連結性により定数です。しかし、およびによって定義される有理数からへの関数は局所定数です (これは、が無理数であり、したがって 2 つの集合と が両方ともにおいて開いているという事実を利用しています)。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f(x)=0{\text{ }}x<\pi の場合、}$${\displaystyle f(x)=1{\text{ }}x>\pi の場合、}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x<\pi \}}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x>\pi \}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

が局所的に定数である場合、の任意の連結成分上で定数です。その逆は、連結成分が開部分集合である局所連結空間に対しても当てはまります。 ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle A.}$

その他の例としては、次のものが挙げられます。

• 被覆写像 が与えられれば、各点にファイバーの濃度を割り当てることができます。この割り当ては局所的に一定です。${\displaystyle p:C\to X,}$${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p^{-1}(x)}$${\displaystyle x}$
• 位相空間から離散空間への写像は、それが局所的に一定である場合にのみ連続である。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

上には局所定数関数の層が存在します。より明確に言えば、上の局所定数整数値関数は、の各開集合に対してこの種の関数を形成できるという意味で層を形成します。そして、この構成に対して層の公理が成り立つことを検証すると、アーベル群（可換環 さえも）の層が得られます。^[1]この層は と書くことができ、茎によって記述され、各 に対して のコピーを に茎 として持っています。これは定数層と呼ばれることがあり、これは（同じ）群に値を取る局所定数関数の層とまったく同じことを意味します。もちろん、典型的な層はこのように定数ではありませんが、この構成は、層コホモロジー をホモロジー理論と結び付ける際や、層の論理的応用に役立ちます。局所係数システムのアイデアは、（任意の の近くで）局所的にはそのような「無害な」層のように見えるが、大域的な観点からは何らかの「ねじれ」を示す層 の理論を持つことができるというものです。${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z_{X}}$${\displaystyle Z_{x},}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle x}$

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• 局所定数層