多様体上の微積分（書籍）

マイケル・スピヴァク著『多様体上の微積分：高度な微積分における古典的定理への現代的アプローチ』（1965年）は、上級学部生向けに、多変数微積分、微分形式、多様体上の積分について簡潔かつ厳密で現代的な教科書として書かれたものである。

多様体上の微積分は、複数の実変数のベクトル値関数の理論に関する簡潔なモノグラフです（${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{m}}$）およびユークリッド空間内の微分可能多様体。微分（逆関数定理および陰関数定理を含む）およびリーマン積分（フビニの定理を含む）の概念を多変数関数に拡張することに加えて、本書は、グリーン、ガウス、ストークスの定理を含むベクトル解析の古典的な定理を、ユークリッド空間に埋め込まれた微分可能多様体上の微分形式の言語で、また境界を持つ多様体上の一般化されたストークスの定理の系として扱います。本書は、いくつかの古典的な結果のこの広大で抽象的な現代的一般化の記述と証明で締めくくられます。^{[ a ]}

『多様体上の微積分』の表紙には、ケルビン卿がジョージ・ストークス卿に宛てた1850年7月2日付の手紙の一部が掲載されており、そこには古典的なストークスの定理が初めて明らかにされている。^{[ 1 ]}

『多様体上の微積分』は、現代の数学者が扱うような多変数微積分とベクトル微積分のトピックを提示することを目的としているが、同時に、数学のこれまでの履修科目が一変数微積分と初歩的な線形代数のみである学部生でも理解できるほど簡潔かつ選択的に記述されている。スピヴァクによる現代の数学的ツールの初歩的な扱いは広く成功を収めており、このアプローチによって『多様体上の微積分』は多変数微積分の厳密な理論への標準的な入門書となっているが、本書は簡潔な文体、動機付けとなる例の不足、そして自明でない手順や議論の頻繁な省略でもよく知られている。^{[ 2 ] [ 3 ]}例えば、鎖に関する一般化されたストークスの定理を述べて証明するために、25 ページの間に、馴染みのない概念や構成（例えば、テンソル積、微分形式、接空間、引き戻し、外微分、立方体、鎖）が次々と導入されます。さらに、注意深い読者は、定理の仮定の欠落、不正確な定理の記述、すべてのケースを扱えない証明など、本文全体にわたって多くの重大な見落としに気づいています。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

これらのトピックを学部レベルで扱っているより新しい教科書としては、James Munkres著のAnalysis on Manifolds (1991)がある。^{[ 7 ]} 366 ページ、つまりCalculus on Manifoldsの 2 倍以上の長さのMunkres の著作は、ゆったりとしたペースで主題をより注意深く詳細に扱っている。しかしながら、Munkres は、自身の著作の序文で Spivak の以前の著作の影響を認めている。^{[ 8 ]}

スピヴァクの5巻からなる教科書『微分幾何学の総合入門』の序文には、このテキストに基づくコースの前提条件として『多様体上の微積分』が挙げられている。実際、 『多様体上の微積分』で紹介された概念のいくつかは、この古典的名著の第1巻でより高度な形で再び登場する。^{[ 9 ]}

• 微分幾何学
• 多重線形形式

• Auslander, Louis (1967)、「多様体上の微積分学のレビュー―高度な微積分学の古典的定理への現代的アプローチ」、応用数学季刊誌、24 ( 4): 388–389
• ボッツ、トルーマン（1966）「レビューされた著作：マイケル・スピヴァク著『多様体上の微積分』」、サイエンス、153（3732）：164–165、doi：10.1126/science.153.3732.164-a
• ハバード、ジョン・H.、ハバード、バーバラ・バーク(2009) [1998]、『ベクトル解析、線形代数、微分形式：統一的アプローチ（第4 版）』、アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール（マトリックス・エディションズ（イサカ、ニューヨーク州）による第4版）、ISBN 978-0-9715766-5-0【具体的な例と計算に重点を置いた、微分形式への初歩的なアプローチ】
• Katz, Victor J. (1979)、「ストークスの定理の歴史」、Mathematics Magazine、52 (3)、Mathematical Association of America、146–156、doi : 10.2307/2690275
• ルーミス、リン・ハロルド；スターンバーグ、シュロモ（2014）[1968]、『Advanced Calculus（改訂 版）』、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー（ジョーンズ・アンド・バートレット（ボストン）による改訂版；ワールド・サイエンティフィック（ニュージャージー州ハッケンサック）による再版）、305～ 567ページ、ISBN  978-981-4583-93-0[微分形式、微分多様体、および数理物理学への応用例に関する、上級学部生向けの概論]
• マンクレス、ジェームズ（1968）「多様体上の微積分に関するレビュー」、アメリカ数学月報、75（5）：567–568、doi：10.2307/2314769、JSTOR 2314769 
• マンクレス、ジェームズ (1991)、『多様体上の解析』、カリフォルニア州レッドウッドシティ：アディソン・ウェスリー（コロラド州ボルダーのウェストビュー・プレスより再版）、ISBN 978-0-201-31596-7[多変数およびベクトル解析を学部生向けに解説したもので、内容は『多様体上の微積分』と同程度だが、数学的な概念と証明はより詳細に説明されている]
• ヘレン・K・ニッカーソン。ドナルド・C・スペンサー; Steenrod、Norman E. (1959)、Advanced Calculus、ニュージャージー州プリンストン: Van Nostorm、ISBN 978-0-486-48090-9{{citation}}ISBN/日付の不一致（ヘルプ）[上級学部生向けに、線形代数と多重線形代数、多変数微積分、微分形式、および入門代数トポロジーを統一的に解説]
• ルディン、ウォルター(1976) [1953]、『数学解析の原理』（第3 版）、ニューヨーク：マグロウヒル、pp. 204–299、ISBN  978-0-07-054235-8[従来の代数的構成の多くを回避する、型破りながらも厳密な微分形式へのアプローチ]
• スピヴァク、マイケル（2018）[1965]、『多様体上の微積分：高等微積分の古典的定理への現代的アプローチ』（数学モノグラフシリーズ）、ニューヨーク：WAベンジャミン社（アディソン・ウェスリー社（マサチューセッツ州レディング）およびウェストビュー・プレス社（コロラド州ボルダー）により再版）、ISBN 978-0-8053-9021-6[上級学部生向けに、多変数微積分、微分形式、多様体上の積分を簡潔かつ厳密に、そして現代的に解説した書籍]
• スピヴァク、マイケル (1999) [1970]、『微分幾何学入門』第1巻（第3 版）、テキサス州ヒューストン：Publish or Perish, Inc.、ISBN 978-0-9140-9870-6[大学院レベルの微分多様体に関する包括的な解説。本書は、『多様体上の微積分』の第4章と第5章をより洗練された形で再構成し、拡張したものである。]
• Tu, Loring W. (2011) [2008], An Introduction to Manifolds (第2 版), ニューヨーク: Springer, ISBN 978-1-4419-7399-3[大学院1年次レベルの滑らかな多様体理論の標準的な解説]