方向付け可能性

物理世界で遭遇するほとんどの表面は向き付け可能です。 たとえば、球、平面、トーラスは向き付け可能です。しかし、メビウスの帯、実射影平面、クラインの壺は向き付け不可能です。${\displaystyle 3}$-次元、すべて片面のみを持つ。実際の射影平面とクラインの壺は埋め込むことができない。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$素敵な交差点にだけ浸かっている。

局所的に見ると、埋め込まれた表面には常に2つの面があるため、片面表面を這う近視のアリは「反対側」があると考えるでしょう。片面であることの本質は、アリが表面を貫通したり、端をひっくり返したりすることなく、十分な距離を這うだけで表面の片側から「反対側」へ移動できるということです。

一般的に、向き付け可能であるという性質は、両面性を持つことと同義ではありません。ただし、これは、周囲の空間（例えば、${\displaystyle R^{3}}$ （上記）は向き付け可能である。例えば、に埋め込まれたトーラス

$\displaystyle K^{2}\times S^{1}}$

片面の場合もあれば、同じ空間にあるクラインの壺は両面の場合もある。$\displaystyle K^{2}}$クラインの壺を指します。

あらゆる曲面は三角形分割、すなわち各辺が他の辺に最大で1つだけ接するように三角形に分割される分割を持ちます。各三角形は、その周縁に沿って方向を選択し、各辺に方向を割り当てることによって向きが決定されます。このとき、隣接する辺を貼り合わせたときに互いに反対方向を向くように分割すると、曲面の向きが決定されます。このような選択は、曲面が向き付け可能である場合にのみ可能であり、この場合、向きはちょうど2種類存在します。

図形が鏡像にならずに表面上のすべての点に一貫して配置できる場合、三角形の内部にあるいずれかの図形の赤・緑・青の色の順序に基づいて各三角形の方向を選択することにより、三角形分割の各三角形に上記のような向きが誘導されます。

このアプローチはあらゆる${\displaystyle n}$三角形分割を持つ多様体。ただし、三角形分割を持たない4次元多様体もあり、一般に${\displaystyle n>4}$ いくつかの${\displaystyle n}$多様体には、互いに等価でない三角形分割が存在する。

もし${\displaystyle H_{1}(S)}$は閉曲面の第一相同群を表す。${\displaystyle S}$、 それから${\displaystyle S}$向き付け可能であるのは、${\displaystyle H_{1}(S)}$自明なねじれ部分群を持つ。より正確には、${\displaystyle S}$向き付け可能であれば${\displaystyle H_{1}(S)}$は自由アーベル群であり、そうでない場合は${\displaystyle H_{1}(S)=F+\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$どこ${\displaystyle F}$は自由アーベル群であり、${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$因子は、メビウスの帯の中央の曲線によって生成され、${\displaystyle S}$。

最も直感的な定義では、${\displaystyle M}$微分可能な多様体である。これは、アトラスの遷移関数が${\displaystyle M}$は${\displaystyle C^{1}}$-関数。このような関数はヤコビ行列式を持ちます。ヤコビ行列式が正の場合、遷移関数は方向保存関数であると言われます。上の方向付きアトラス${\displaystyle M}$これは、すべての遷移関数が方向を保存するアトラスです。 ${\displaystyle M}$向き付け可能なのは、向き付けされたアトラスを許容する場合である。${\displaystyle n>0}$の方向​${\displaystyle M}$は最大方向付けアトラスです。（${\displaystyle n=0}$つまり${\displaystyle M}$は点であり、方向である${\displaystyle M}$関数です${\displaystyle M\to \{\pm 1\}}$）

向き付け可能性と向きは、接束を用いて表現することもできます。接束はベクトル束なので、構造群を持つファイバー束です。${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$つまり、多様体の遷移関数は、ファイバーごとの線形変換である接束上の遷移関数を誘導する。構造群が群に還元できる場合${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$正の行列式行列の、あるいは同等に、各接空間上で方向保存線形変換を決定する遷移関数を持つアトラスが存在する場合、多様体は${\displaystyle M}$向き付け可能である。逆に、${\displaystyle M}$接束の構造群をこのように縮小できる場合に限り、向き付け可能である。フレーム束についても同様のことが言える。

微分多様体上の向きを定義するもう一つの方法は、体積形式を用いることである。体積形式とは、どこにも消滅しない断面のことである。${\displaystyle \omega }$の${\displaystyle {\bigwedge }^{\!n}T^{*}M}$、余接束の最上位外部べき乗${\displaystyle M}$。 例えば、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$標準体積形式は次のように表される。${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$体積形式が与えられた場合${\displaystyle M}$すべてのチャートのコレクション${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$標準ボリューム形式は、正の倍数に引き戻される。${\displaystyle \omega }$これは向き付けられたアトラスである。したがって、体積形式の存在は、多様体の向き付け可能性と同値である。

体積形状と接線ベクトルを組み合わせることで、向き付け可能性の別の記述を得ることができます。${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$は、ある点における接線ベクトルの基底である。${\displaystyle p}$の場合、基底は右手系であると言われます。${\displaystyle \omega (X_{1},\ldots ,X_{n})>0}$遷移関数は、右手系基底を右手系基底に写す場合に限り、向きを保存する。体積形式の存在は、接束またはフレーム束の構造群の縮小を意味する。${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$これまでと同様に、これは次の方向付け可能性を意味する。${\displaystyle M}$逆に、${\displaystyle M}$方向付けが可能であれば、局所的な体積形状をつなぎ合わせて全体的な体積形状を作成することができ、全体的な形状がどこにも消滅しないことを保証するために方向付け可能性が必要となる。

微分可能多様体の向き付け可能性に関する上記の定義の核心にあるのは、向きを保存する遷移関数の概念である。これは、そのような遷移関数が一体何を保存しているのかという疑問を提起する。遷移関数は多様体の向きを保存することはできない。なぜなら、多様体の向きはアトラスであり、遷移関数が自身が属するアトラスを保存するか保存しないかを言うのは意味がないからである。

この問題は、局所的な向きを定義することで解決できます。1次元多様体では、点の周りの局所的な向きは${\displaystyle p}$これは、その点付近での左右の選択に対応します。2次元多様体では、時計回りと反時計回りの選択に対応します。これら2つの状況は、いずれもその点付近で上位次元の振る舞いによって記述されるという共通の特徴を持っています。${\displaystyle p}$しかし、${\displaystyle p}$一般的には、${\displaystyle M}$位相的である${\displaystyle n}$-多様体。局所的な向き${\displaystyle M}$ある地点の周り${\displaystyle p}$グループの生成元を選択する

${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right).}$

このグループの幾何学的意義を確認するには、次のチャートを選択してください。${\displaystyle p}$その図には、${\displaystyle p}$これはオープンボールです${\displaystyle B}$原点付近${\displaystyle O}$切除定理により、${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$は同型である${\displaystyle H_{n}\left(B,B\setminus \{O\};\mathbb {Z} \right)}$ボール${\displaystyle B}$は縮約可能であり、次数がゼロの場合を除いて相同群は消滅し、空間は${\displaystyle B\setminus O}$は${\displaystyle (n-1)}$-球面なので、次数を除いて相同群は消滅する${\displaystyle n-1}$そして${\displaystyle 0}$相対相同性における長い完全シーケンスを用いた計算により、上記の相同群は以下と同型であることが示される。${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbb {Z} \right)\cong \mathbb {Z} }$したがって、ジェネレータの選択は、与えられたチャートで球が周囲にあるかどうかの決定に対応します。${\displaystyle p}$はプラスかマイナスか。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$起源は否定によって作用する${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbb {Z} \right)}$したがって、生成子の選択の幾何学的な意味は、チャートとその反射を区別することにある。

位相多様体上の遷移関数は、各点において、${\displaystyle p}$その領域では、ジェネレーターを固定します。${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$ここからは、関連する定義は微分可能な場合と同じです。方向付きアトラスとは、すべての遷移関数が方向を保存するアトラスのことです。${\displaystyle M}$向き付け可能なのは、向き付けされたアトラスを許容する場合であり、${\displaystyle n>0}$の方向​${\displaystyle M}$これは最大方向付けアトラスです。

直感的に、${\displaystyle M}$独自の局所的な向きを定義する必要がある${\displaystyle M}$各ポイントにおいて。これは、方位図表のどの図表でも、${\displaystyle p}$球の周囲を決定するために使用できます${\displaystyle p}$、そしてこの球は、${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$さらに、他のチャートも${\displaystyle p}$これは、向きを保持する遷移関数によって最初のチャートと関連付けられており、これは2つのチャートが同じジェネレータを生成することを意味し、したがってジェネレータは一意です。

純粋に相同的な定義も可能です。${\displaystyle M}$閉じて接続されています、${\displaystyle M}$向き付け可能であるのは、${\displaystyle n}$th相同性群${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$整数と同型である${\displaystyle \mathbb {Z} }$の方向​${\displaystyle M}$発電機の選択${\displaystyle \alpha }$この群の。この生成元は、無限巡回群の生成元を固定することによって、向き付けられたアトラスを決定する。${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$そして、方向付けられたチャートを、${\displaystyle \alpha }$固定ジェネレーターへと前進する。逆に、方向付けられたアトラスは、互換性のある局所的な方向を接着して相同群のジェネレーターを与えることができるため、そのようなジェネレーターを決定する。${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$[ ^{4 ]​}

多様体${\displaystyle M}$が向き付け可能であるのは、最初のスティフェル・ホイットニー類が${\displaystyle w_{1}(M)\in H^{1}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$消滅する。特に、最初のコホモロジー群が${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$係数がゼロであれば、多様体は向き付け可能である。さらに、${\displaystyle M}$向き付け可能で${\displaystyle w_{1}}$消えて、それから${\displaystyle H^{0}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$方向の選択をパラメータ化する。^{[ 5 ]}この方向付け可能性の特徴付けは、一般のベクトル束の方向付け可能性にまで拡張される。${\displaystyle M}$接線束だけではなく。

各ポイントの周囲${\displaystyle M}$局所的な向きは2つあります。直感的に、ある点における局所的な向きから別の向きへ移動する方法があります。${\displaystyle p}$近くの地点でのローカルな方向${\displaystyle p^{\prime }}$2つの点が同じ座標図上にある場合${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$その座標チャートは、互換性のある局所的な向きを定義します。${\displaystyle p}$そして${\displaystyle p^{\prime }}$したがって、局所的な向きの集合には位相を与えることができ、この位相によって多様体が形成される。

より正確には、${\displaystyle O}$すべてのローカル方向の集合とする${\displaystyle M}$トポロジー化する${\displaystyle O}$そのトポロジーのサブベースを指定します。${\displaystyle U}$の開部分集合である${\displaystyle M}$次のように選ばれる${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbb {Z} )}$は同型である${\displaystyle \mathbb {Z} }$と仮定する${\displaystyle \alpha }$は、このグループの生成元です。各${\displaystyle p}$で${\displaystyle U}$プッシュフォワード機能があります${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbb {Z} )\to H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$この群の終域には2つの生成元があり、${\displaystyle \alpha }$それらの1つにマッピングされます。${\displaystyle O}$は次のように定義される。

${\displaystyle \{{\text{Image of }}\alpha {\text{ in }}H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)\colon p\in U\}}$

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正統的な地図が存在する${\displaystyle \pi :O\to M}$ローカル方向を送信します${\displaystyle p}$に${\displaystyle p}$。すべての点が${\displaystyle M}$ちょうど2つの逆像を持つ${\displaystyle \pi }$。 実際には、${\displaystyle \pi }$開集合の逆像は局所的な同相写像である。${\displaystyle U}$上述のものは、2 つのコピーの非交和に同相である。${\displaystyle U}$。 もし${\displaystyle M}$向き付け可能であれば、${\displaystyle M}$それ自体がこれらの開集合の1つなので、${\displaystyle O}$は、2 つのコピーの非交和です。${\displaystyle M}$。 もし${\displaystyle M}$しかし、向き付け不可能であるならば、${\displaystyle O}$連結しており、向き付けが可能である。多様体${\displaystyle O}$これは配向二重カバーと呼ばれます。

もし${\displaystyle M}$境界を持つ多様体である場合、向きは${\displaystyle M}$は、その内部の向きとして定義される。このような向きは、の向きを誘導する。${\displaystyle \partial M}$実際、${\displaystyle M}$固定されています。${\displaystyle U\to \mathbb {R} _{+}^{n}}$境界点のチャートである${\displaystyle M}$内部に限定すると、${\displaystyle M}$は、選択された方位アトラスにあります。このチャートの制限は${\displaystyle \partial M}$はチャートです${\displaystyle \partial M}$このような図表は、${\displaystyle \partial M}$。

いつ${\displaystyle M}$各点で滑らかです${\displaystyle p}$の${\displaystyle \partial M}$接束の制限${\displaystyle M}$に${\displaystyle \partial M}$は同型である${\displaystyle T_{p}\partial M\oplus \mathbb {R} }$、ここで、${\displaystyle \mathbb {R} }$は、内向きの法線ベクトルによって記述されます。${\displaystyle T_{p}\partial M}$は、基礎となる条件によって定義される。${\displaystyle T_{p}\partial M}$は、内向きの法線ベクトルと組み合わせたときに、正の方向の基底を定義する場合に限り、正の方向を向いている。${\displaystyle T_{p}M}$。

ローレンツ幾何学では、空間方向付け可能性と時間方向付け可能性の 2 種類の方向付け可能性があります。これらは時空の因果構造において役割を果たします。^{[ 6 ]}一般相対性理論 の文脈では、時空多様体は、2 人の右利きの観測者が同じ時空点からロケット船で出発し、別の点で再び出会うとき、互いに右利きのままである場合に空間方向付け可能であると言えます。時空が時間方向付け可能である場合、2 人の観測者は、出会う両方の点で常に時間の方向について一致します。実際、時空が時間方向付け可能であるのは、任意の 2 人の観測者が、2 つの出会いのうちどちらが先に起こったかについて合意できる場合に限ります。^{[ 7 ]}

形式的には、擬直交群${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$2つの文字を持ちます: スペース方向文字${\displaystyle \sigma _{+}}$そして時間方向特性${\displaystyle \sigma _{-}}$、

${\displaystyle \sigma _{\pm }:\operatorname {O} (p,q)\to \{-1,+1\}.}$

彼らの製品${\displaystyle \sigma =\sigma _{+}\sigma _{-}}$は、向きの特性を与える行列式である。擬リーマン多様体の空間向きは、関連する束の切断と同一視される。

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{+}}\{-1,+1\}}$

どこ${\displaystyle \operatorname {O} (M)}$は擬似直交フレームの束である。同様に、時間方向は関連する束のセクションである。

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{-}}\{-1,+1\}.}$