ベクトル計算におけるベクトル演算子
異なるベクトル場の発散。点 ( x , y ) からのベクトルの発散は、その点における x 成分の x に関する偏微分と y 成分の y に関する偏微分の合計に等しくなります。
∇
⋅
(
V
(
x
,
y
)
)
=
∂
V
x
(
x
,
y
)
∂
x
+
∂
V
y
(
x
,
y
)
∂
y
{\displaystyle \nabla \!\cdot (\mathbf {V} (x,y))={\frac {\partial \,{V_{x}(x,y)}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial \,{V_{y}(x,y)}}{\partial {y}}}}
ベクトル計算 において 、 発散は ベクトル場 に対して作用する ベクトル演算子 であり 、各点におけるベクトル場のソースの量を与える スカラー場を 生成します。より技術的には、発散は、特定の点の周りの微小体積からのベクトル場の
外向きの フラックス の体積密度を表します。
例として、加熱または冷却される空気を考えてみましょう。各ポイントでの空気の 速度は ベクトル フィールドを定義します。空気が加熱されると、すべての方向に膨張し、速度フィールドはその領域から外側に向かいます。したがって、その領域での速度フィールドの発散は正の値になります。空気が冷却されて収縮すると、速度の発散は負の値になります。
発散の物理的解釈 物理的に言えば、ベクトル場の発散とは、ベクトル場の フラックス が特定の点においてソースのように振る舞う程度です。これは、その「出射性」、つまり空間の極小領域から出射するフィールド ベクトルが、そこに入ってくるフィールド ベクトルより多い程度を測る局所的な尺度です。フラックスが出ている点は正の発散を持ち、フィールドの「ソース」と呼ばれることがよくあります。フラックスが内側に向いている点は負の発散を持ち、フィールドの「シンク」と呼ばれることがよくあります。特定の点を囲む小さな表面を通るフィールドのフラックスが大きいほど、その点における発散の値が大きくなります。囲んでいる表面を通るフラックスがゼロの点は、発散がゼロです。
ベクトル場の発散は、流体、液体、または気体の 速度場 という簡単な例を使ってよく説明されます。移動する気体は 速度、つまり各点での速さと方向を持ち、 ベクトル で表すことができる ため、気体の速度は ベクトル場 を 形成します。気体は加熱されると膨張します。これにより、気体粒子はあらゆる方向に外側に向かって正味運動します。気体内の閉じた表面は膨張する気体を囲むため、表面を通る外向きの気体の流れが生じます。そのため、速度場はどこでも正の発散を持ちます。同様に、気体が冷却されると収縮します。どの体積でも気体粒子のための空間が増えるため、流体の外部圧力により、閉じた表面を通る正味の気体体積の流れが生じます。そのため、速度場はどこでも負の発散を持ちます。対照的に、一定の温度と圧力の気体では、どの閉じた表面からも出る気体の正味の流れはゼロです。ガスは動いているかもしれませんが、閉じた表面に流入するガスの体積率は流出する体積率と等しくなければならないため、 正味の フラックスはゼロになります。したがって、ガスの速度はどこでも発散がゼロになります。どこでも発散がゼロのフィールドは ソレノイド と呼ばれます。
ガスが 1 点または小さな領域のみで加熱されるか、または 1 点に追加のガス源を供給する小さなチューブが導入されると、その場所のガスは膨張し、周囲の流体粒子をあらゆる方向に外側に押し出します。これにより、加熱された点を中心に、ガス全体に外向きの速度場が生じます。加熱された点を囲む閉じた表面からはガス粒子の流束が放出されるため、その点では正の発散があります。ただし、その点を囲ま ない 閉じた表面では内部のガス密度が一定であるため、体積から出入りする流体粒子の数は同数になり、体積からの正味の流束はゼロになります。したがって、他の点では発散はゼロです。
意味 点 xでの発散は、 x を囲む 一連の閉領域 V 1 、 V 2 、 V 3 、… の体積に対する 表面 S i (赤い矢印) を通過する流束の比の限界であり、 体積はゼロに近づきます。
Φ
{\displaystyle \Phi }
|
V
i
|
{\displaystyle |V_{i}|}
div
F
=
lim
|
V
i
|
→
0
Φ
(
S
i
)
|
V
i
|
{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{|V_{i}|\to 0}{\frac {\Phi (S_{i})}{|V_{i}|}}}
ベクトル場 F ( x ) の点 x 0での発散は、 x 0 を囲む体積 V の閉曲面からの F の 面積分と V の体積 の比の 極限 として定義され 、 V は ゼロに収縮する。
div
F
|
x
0
=
lim
V
→
0
1
|
V
|
{\displaystyle \left.\operatorname {div} \mathbf {F} \right|_{\mathbf {x_{0}} }=\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}}
S
(
V
)
{\displaystyle \scriptstyle S(V)}
F
⋅
n
^
d
S
{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS}
ここで、 | V |は V の体積 、 S ( V )は V の境界 、 は その表面の 外向きの 単位法線です。 x 0 を含み体積がゼロに近づく任意の体積シーケンスでは、上記の制限は常に同じ値に収束することが示されます。 結果 div Fは x のスカラー関数です 。
n
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }
この定義は座標に依存しないため、どの 座標系 でも発散は同じであることがわかります。ただし、発散を計算するために実際に使用されることはあまりありません。ベクトル場が座標系で与えられている場合は、以下の座標定義を使用する方がはるかに簡単です。
どこでも発散がゼロのベクトル場は ソレノイド と呼ばれます。この場合、閉じた面にはその面を横切る正味の磁束は存在しません。
座標での定義
デカルト座標 3次元直交座標では、連続的に微分可能な ベクトル場 の発散は スカラー 値関数として定義されます 。
F
=
F
x
i
+
F
y
j
+
F
z
k
{\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }
div
F
=
∇
⋅
F
=
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
⋅
(
F
x
,
F
y
,
F
z
)
=
∂
F
x
∂
x
+
∂
F
y
∂
y
+
∂
F
z
∂
z
.
{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (F_{x},F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}
座標で表現されているが、物理的な解釈が示唆するように、結果は 回転に対して不変である。これは、 N 次元空間における N 次元ベクトル場 F の ヤコビ行列 のトレースが、 任意の可逆線形変換に対して不変であるためである [ 説明が必要 ] 。
発散 ∇ · F の一般的な表記は便利な記憶法であり、ドットは ドット積を連想させる演算を表します。つまり、 ∇ 演算子の要素 ( delを参照) を取り、それを F の対応する要素に適用し、結果を合計します。演算子を適用することは要素を乗算することとは異なるため、これは 表記法の乱用と 見なされます 。
円筒座標 局所 単位 円筒座標 で
表現されたベクトルは
F
=
e
r
F
r
+
e
θ
F
θ
+
e
z
F
z
,
{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{z}F_{z},}
ここで e a は 方向a の単位ベクトルであり 、発散は [1]である。
div
F
=
∇
⋅
F
=
1
r
∂
∂
r
(
r
F
r
)
+
1
r
∂
F
θ
∂
θ
+
∂
F
z
∂
z
.
{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}
ローカル座標の使用は、式の妥当性にとって重要です。 位置ベクトル x と、対応するグローバル 円筒座標を一般にベクトル 、 、 に 割り当てる 関数 r ( x ) 、 θ ( x ) 、 z ( x ) を 考えてみましょう。特に、恒等関数 F ( x ) = x を考えると、次のことがわかります。
r
(
F
(
x
)
)
≠
F
r
(
x
)
{\displaystyle r(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{r}(\mathbf {x} )}
θ
(
F
(
x
)
)
≠
F
θ
(
x
)
{\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{\theta }(\mathbf {x} )}
z
(
F
(
x
)
)
≠
F
z
(
x
)
{\displaystyle z(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{z}(\mathbf {x} )}
θ
(
F
(
x
)
)
=
θ
≠
F
θ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))=\theta \neq F_{\theta }(\mathbf {x} )=0}
。
球座標 球座標 では 、 θは z 軸との角度 、 φは z 軸周りの回転 、 Fは 再び局所単位座標で書かれ、発散は [2]
div
F
=
∇
⋅
F
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
F
r
)
+
1
r
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
F
θ
)
+
1
r
sin
θ
∂
F
φ
∂
φ
.
{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}F_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,F_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}.}
テンソル場 A を 次のように定義される連続微分可能な 2 階 テンソル体 とします 。
A
=
[
A
11
A
12
A
13
A
21
A
22
A
23
A
31
A
32
A
33
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}}
直交座標系における発散は一次テンソル場 であり、2つの方法で定義できる: [4]
div
(
A
)
=
∂
A
i
k
∂
x
k
e
i
=
A
i
k
,
k
e
i
=
[
∂
A
11
∂
x
1
+
∂
A
12
∂
x
2
+
∂
A
13
∂
x
3
∂
A
21
∂
x
1
+
∂
A
22
∂
x
2
+
∂
A
23
∂
x
3
∂
A
31
∂
x
1
+
∂
A
32
∂
x
2
+
∂
A
33
∂
x
3
]
{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )={\cfrac {\partial A_{ik}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ik,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}}
および [5] [6] [7]
∇
⋅
A
=
∂
A
k
i
∂
x
k
e
i
=
A
k
i
,
k
e
i
=
[
∂
A
11
∂
x
1
+
∂
A
21
∂
x
2
+
∂
A
31
∂
x
3
∂
A
12
∂
x
1
+
∂
A
22
∂
x
2
+
∂
A
32
∂
x
3
∂
A
13
∂
x
1
+
∂
A
23
∂
x
2
+
∂
A
33
∂
x
3
]
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\cfrac {\partial A_{ki}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ki,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}
我々は持っています
div
(
A
T
)
=
∇
⋅
A
{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A^{T}} )=\nabla \cdot \mathbf {A} }
テンソルが対称である場合、 A ij = A ji となります 。このため、文献では 2 つの定義 (および記号 div と ) が同じ意味で使用されていることがよくあります (特に、テンソルの対称性が想定される力学方程式の場合)。
div
(
A
)
=
∇
⋅
A
{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A} }
∇
⋅
{\displaystyle \nabla \cdot }
円筒座標と球面座標におけるの表現については 、「円筒座標と球面座標における del」 の記事で説明されています 。
∇
⋅
A
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }
一般的な座標 アインシュタインの記法 を用いると、 一般座標 における発散を考えることができます 。これは x 1 、…、 x i 、…、 x n と書きます。ここで、 n は 領域の次元数です。ここで、上側のインデックスは座標または成分の数を参照するため、 x 2 は 2 番目の成分を参照し、量 x の 2乗を参照するわけではありません。インデックス変数 i は、 x i などの任意の成分を参照するために使用されます。発散は、Voss- Weyl の 公式 [8] によって次のように表すことができます 。
div
(
F
)
=
1
ρ
∂
(
ρ
F
i
)
∂
x
i
,
{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left(\rho \,F^{i}\right)}{\partial x^{i}}},}
ここで、 は 体積要素 の局所係数であり 、 F i は 局所非正規化 共変基底 （ と表記されることもある ） に関する の成分である。アインシュタインの表記法では、 i が上限と下限の両方のインデックスとして現れるため、
i についての総和が示される。
ρ
{\displaystyle \rho }
F
=
F
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}}
e
i
=
∂
x
/
∂
x
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}
体積係数 ρ は、座標系に依存する位置の関数です。直交座標、円筒座標、球座標では、前と同じ規則を使用すると、それぞれ ρ = 1 、 ρ = r 、 ρ = r 2 sin θ となります。体積は と表すこともできます。 ここで、 g ab は 計量テンソル です 。 行列式は、ベクトルの集合が与えられた場合に、体積の適切な不変定義を提供するため現れます。行列式 は、添え字に依存しないスカラー量であるため、添え字を省略して と書くことができます 。絶対値は、擬似リーマン空間などで行列式が負になる可能性のある一般的なケースを処理するために取られます。平方根を取る理由は少し微妙です。これは、曲線座標から直交座標へ、そしてその逆へ進むときに、二重カウントを効果的に回避するためです。体積（行列式）は、 直交座標から曲線座標への変換の ヤコビアンとして理解することもでき、 n = 3 の場合はとなります 。
ρ
=
|
det
g
a
b
|
{\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g_{ab}\right|}}}
ρ
=
|
det
g
|
{\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g\right|}}}
ρ
=
|
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
|
{\textstyle \rho =\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}\right|}
いくつかの慣例では、前の節で行ったように、すべての局所基底要素が単位長さに正規化されることが想定されています。 正規化された基底と それに関する
F の成分について書くと、次のようになります。
e
^
i
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}
F
^
i
{\displaystyle {\hat {F}}^{i}}
F
=
F
i
e
i
=
F
i
‖
e
i
‖
e
i
‖
e
i
‖
=
F
i
g
i
i
e
^
i
=
F
^
i
e
^
i
,
{\displaystyle \mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}=F^{i}\|{\mathbf {e} _{i}}\|{\frac {\mathbf {e} _{i}}{\|\mathbf {e} _{i}\|}}=F^{i}{\sqrt {g_{ii}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {F}}^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i},}
計量テンソルの特性の 1 つを使用します。最後の等式の両辺に反変要素 を点線で示すと 、 と結論付けることができます 。代入すると、式は次のようになります。
e
^
i
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}
F
i
=
F
^
i
/
g
i
i
{\textstyle F^{i}={\hat {F}}^{i}/{\sqrt {g_{ii}}}}
div
(
F
)
=
1
ρ
∂
(
ρ
g
i
i
F
^
i
)
∂
x
i
=
1
det
g
∂
(
det
g
g
i
i
F
^
i
)
∂
x
i
.
{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\frac {\rho }{\sqrt {g_{ii}}}}{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {\frac {\det g}{g_{ii}}}}\,{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}
詳しい説明については、 § 曲線座標を 参照してください 。
プロパティ 以下の性質はすべて微積分 の通常の微分規則から導かれる 。最も重要なのは、発散が 線形演算子 であるということ、すなわち、
div
(
a
F
+
b
G
)
=
a
div
F
+
b
div
G
{\displaystyle \operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {div} \mathbf {F} +b\operatorname {div} \mathbf {G} }
すべてのベクトル場 F と G 、およびすべての 実数 a と b に対して。
次のような積の 法則 がある。φ が スカラー値関数で Fが ベクトル場であるとき、
div
(
φ
F
)
=
grad
φ
⋅
F
+
φ
div
F
,
{\displaystyle \operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \operatorname {div} \mathbf {F} ,}
あるいはより示唆的な表記で
∇
⋅
(
φ
F
)
=
(
∇
φ
)
⋅
F
+
φ
(
∇
⋅
F
)
.
{\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} ).}
3 次元の 2 つのベクトル場 F と G の 外積 に関する別の積則は 回転 を含み、次のようになります。
div
(
F
×
G
)
=
curl
F
⋅
G
−
F
⋅
curl
G
,
{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} \mathbf {G} ,}
または
∇
⋅
(
F
×
G
)
=
(
∇
×
F
)
⋅
G
−
F
⋅
(
∇
×
G
)
.
{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).}
スカラー場 の ラプラシアン は 場の 勾配 の発散である。
div
(
grad
φ
)
=
Δ
φ
.
{\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=\Delta \varphi .}
任意のベクトル場（3次元）の
回転 の発散はゼロに等しい。
∇
⋅
(
∇
×
F
)
=
0.
{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}
R 3 の球体上に発散ゼロの ベクトル場 Fが定義 さ れている場合、球体上には F = curl Gとなるベクトル場 G が存在する 。R 3 の領域がこれよりも位相的に複雑な場合、後者の命題は誤りとなる可能性がある（ ポアンカレの補題を参照）。この命題の 真偽 の度合いは 、 鎖複体 の ホモロジーによって測定される。
{
scalar fields on
U
}
→
grad
{
vector fields on
U
}
→
curl
{
vector fields on
U
}
→
div
{
scalar fields on
U
}
{\displaystyle \{{\text{scalar fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {grad} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {curl} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {div} }{\rightarrow }}~\{{\text{scalar fields on }}U\}}
は、基礎領域U の複雑さをうまく定量化したものです。これが、 ド・ラーム・コホモロジー の始まりであり、主な動機です 。
分解定理 R 3 で連続的に 2 回微分可能で、 | r | → ∞ に対して十分速く消滅する 任意の定常フラックス v ( r )は 、非回転部分 E ( r ) と ソースフリー部分 B ( r ) に一意に分解できることが示されます。さらに、これらの部分は、それぞれの ソース密度 (上記を参照) と 循環密度 (記事 Curl を 参照)によって明示的に決定されます 。
非回転部分については
E
=
−
∇
Φ
(
r
)
,
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),}
と
Φ
(
r
)
=
∫
R
3
d
3
r
′
div
v
(
r
′
)
4
π
|
r
−
r
′
|
.
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,d^{3}\mathbf {r} '\;{\frac {\operatorname {div} \mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.}
ソースフリー部分 B も同様に記述できます。 スカラーポテンシャル Φ( r )を ベクトルポテンシャル A ( r ) に置き換え 、項 −∇Φ を +∇ × A に置き換え 、ソース密度 div v
を循環密度 ∇ × v に置き換えるだけです。
この「分解定理」は、電気力学 の定常ケースの副産物です。これは 、3 次元を超える場合にも機能する、
より一般的な ヘルムホルツ分解 の特殊なケースです。
任意の有限次元において ベクトル場の発散は任意の有限次元で定義できる 。
n
{\displaystyle n}
F
=
(
F
1
,
F
2
,
…
F
n
)
,
{\displaystyle \mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots F_{n}),}
ユークリッド座標系（座標x 1 , x 2 , ..., x n ） において 、定義する。
div
F
=
∇
⋅
F
=
∂
F
1
∂
x
1
+
∂
F
2
∂
x
2
+
⋯
+
∂
F
n
∂
x
n
.
{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}.}
1D の場合、 F は 通常の関数に簡約され、発散は導関数に簡約されます。
任意の n に対して、発散は線形演算子であり、「積の法則」を満たす。
∇
⋅
(
φ
F
)
=
(
∇
φ
)
⋅
F
+
φ
(
∇
⋅
F
)
{\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} )}
任意のスカラー値関数 φ に対して。
外微分との関係 発散は、 R 3 の2次元形式 から 3次元形式への 外微分 の特別なケースとして表現できます。現在の2次元形式を次のように定義します。
j
=
F
1
d
y
∧
d
z
+
F
2
d
z
∧
d
x
+
F
3
d
x
∧
d
y
.
{\displaystyle j=F_{1}\,dy\wedge dz+F_{2}\,dz\wedge dx+F_{3}\,dx\wedge dy.}
これは、密度ρ = 1 dx ∧ dy ∧ dz の「物質流体」が局所速度 F で運動しているときに、単位時間あたりに表面を流れる「物質」の量を測定する 。その外微分 dj は 次のように表される。
d
j
=
(
∂
F
1
∂
x
+
∂
F
2
∂
y
+
∂
F
3
∂
z
)
d
x
∧
d
y
∧
d
z
=
(
∇
⋅
F
)
ρ
{\displaystyle dj=\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz=(\nabla \cdot {\mathbf {F} })\rho }
ウェッジ積は どこに ありますか 。
∧
{\displaystyle \wedge }
したがって、ベクトル場 F の発散は次のように表すことができます。
∇
⋅
F
=
⋆
d
⋆
(
F
♭
)
.
{\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {F} }={\star }d{\star }{\big (}{\mathbf {F} }^{\flat }{\big )}.}
ここで、上付き文字の ♭ は 2 つの音楽同型 の 1 つであり 、 ⋆ は ホッジ スター演算子 です 。発散がこのように記述される場合、演算子は 共微分 と呼ばれます 。現在の 2 形式と外微分を扱うことは、通常、ベクトル場と発散を扱うよりも簡単です。これは、発散とは異なり、外微分は (曲線) 座標系の変更と交換されるためです。
⋆
d
⋆
{\displaystyle {\star }d{\star }}
曲線座標では 曲線座標 では、適切な表現はより複雑に なります。ベクトル場の発散は、 体積形式 （または 密度 ） μ を 持つ n 次元の任意の 微分可能多様体 、たとえば リーマン多様体 や ローレンツ多様体に自然に拡張されます。 R 3 上のベクトル場の 2形式 の構築を一般化すると 、そのような多様体上で、ベクトル場 X は、 X を μ で 縮約することによって得られる ( n − 1) 形式 j = i X μ を定義します 。発散は、次のように定義される関数です。
d
j
=
(
div
X
)
μ
.
{\displaystyle dj=(\operatorname {div} X)\mu .}
発散はリー微分 によって 次のように定義できる。
L
X
μ
=
(
div
X
)
μ
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu =(\operatorname {div} X)\mu .}
つまり、発散は、ベクトル場とともに流れる
単位体積（ 体積要素）の膨張率を測定することになります。
擬リーマン多様 体上では、体積に関する発散は レヴィ-チヴィタ接続 ∇ によって表すことができます 。
div
X
=
∇
⋅
X
=
X
a
;
a
,
{\displaystyle \operatorname {div} X=\nabla \cdot X={X^{a}}_{;a},}
ここで、2番目の式は1形式のベクトル場 ∇X と それ自身との縮約であり、最後の式はリッチ計算 からの伝統的な座標表現です 。
接続詞を使わない同等の表現は
div
(
X
)
=
1
|
det
g
|
∂
a
(
|
det
g
|
X
a
)
,
{\displaystyle \operatorname {div} (X)={\frac {1}{\sqrt {\left|\det g\right|}}}\,\partial _{a}\left({\sqrt {\left|\det g\right|}}\,X^{a}\right),}
ここで g は 計量 であり 、座標 x a に関する偏導関数を表します 。計量の平方根 (の 行列式 の絶対値) は、発散が体積の正しい概念で記述される必要があるために現れます 。 曲線座標では、基底ベクトルはもはや正規直交ではありません。この場合、行列式は体積の正しい概念をエンコードします。行列式は 2 回現れます。ここでは 1 回は を 「平坦な空間」に変換できるようにするため (座標は実際には正規直交です)、もう 1 回は も「平坦な空間」に変換されるためです。そのため、最終的に「通常の」発散は平坦な空間での体積の「通常の」概念 ( つまり、 単位体積、 つまり 1、 つまり 書き留めない) で記述できます。平方根は分母に現れます。なぜなら、導関数は ベクトル ( 共変 ) と逆方向 ( 反変 ) に変換されるからです。ローカル計算を従来の方法で実行できる「平坦な座標系」に到達するというこの考え方は、ビエルバインと呼ばれます 。 これを理解する別の方法は、発散が共微分に変装していることに注目することです 。つまり、発散は微分 と ホッジ星を含む式に対応します 。 ホッジ 星 は 、 その構造により、 ボリューム形式が 適切な場所すべてに現れるようにします。
∂
a
{\displaystyle \partial _{a}}
X
a
{\displaystyle X^{a}}
∂
a
{\displaystyle \partial _{a}}
⋆
d
⋆
{\displaystyle \star d\star }
d
{\displaystyle d}
⋆
{\displaystyle \star }
テンソルの発散 発散はテンソル にも一般化できる 。 アインシュタイン記法では、 反変ベクトル F μ の発散は 次のように表される。
∇
⋅
F
=
∇
μ
F
μ
,
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla _{\mu }F^{\mu },}
ここで、 ∇ μ は 共変微分 を表します 。この一般的な設定では、発散の正しい定式化は、 共微分 であると認識することです。そこから適切な特性が導かれます。
同様に、一部の著者は、音楽同型性 ♯ を 用いて 混合テンソル の発散を定義している 。T が ( p , q ) - テンソル （ p は反変ベクトル、 q は 共変ベクトル）である場合、 T の発散を ( p , q − 1) -テンソル
と 定義する。
(
div
T
)
(
Y
1
,
…
,
Y
q
−
1
)
=
trace
(
X
↦
♯
(
∇
T
)
(
X
,
⋅
,
Y
1
,
…
,
Y
q
−
1
)
)
;
{\displaystyle (\operatorname {div} T)(Y_{1},\ldots ,Y_{q-1})={\operatorname {trace} }{\Big (}X\mapsto \sharp (\nabla T)(X,\cdot ,Y_{1},\ldots ,Y_{q-1}){\Big )};}
つまり、共変微分の 最初の2つの 共変インデックス上のトレースを取得します。 [a]
記号は 音楽同型 を表します 。
♯
{\displaystyle \sharp }
参照
注記
^ テンソルの「最初の」共変インデックスの選択は本質的であり、テンソルが多重線型マップ V × V × ... × V → Rとして与えられるベクトル空間の直積の項の順序に依存します。しかし、他のインデックスを使用して、発散の同様に明確に定義された選択を行うことができます。したがって、指定されたインデックスに関して T の発散を指定する方が自然です。ただし、この選択が本質的に無関係な重要な特殊なケースが 2 つあります。完全に対称な反変テンソルの場合 、 すべての選択が同等である場合と、完全に反対称な反変テンソル ( 別名 k ベクトル) の場合、選択が符号のみに影響する場合です。
引用
^ Wolfram Mathworld の円筒座標 ^ Wolfram Mathworld の球座標 ^ 「1.14 テンソル計算 I: テンソル場」 (PDF) 。 連続体力学の基礎 。2013年 1 月 8 日のオリジナルから アーカイブ (PDF) 。 ^ ウィリアム・M・ディーン（2016年）。化学工学流体力学入門。ケンブリッジ大学出版局。133ページ 。ISBN
978-1-107-12377-9 。
^ タソス・C・パパナスタシオウ;ゲオルギオス・C・ゲオルギオ。アンドレアス N. アレクサンドロウ (2000)。粘性流体の流れ (PDF) 。 CRCプレス。 p. 66、68。 ISBN
0-8493-1606-5 2020年2月20日時点のオリジナルより アーカイブ （PDF）されました。
^ Adam Powell (2010年4月12日). 「ナビエ・ストークス方程式」 (PDF) .
^ Grinfeld, Pavel. 「The Voss-Weyl Formula (Youtubeリンク)」。 YouTube 。2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2018年 1月9日 閲覧。
参考文献 Brewer, Jess H. (1999). 「ベクトル場の発散」. musr.phas.ubc.ca . 2007-11-23 にオリジナルからアーカイブ 。2016-08-09 に取得 。 ルディン、ウォルター（1976）。 数学的解析の原理 。マグロウヒル 。ISBN 0-07-054235-X 。 エドワーズ、CH（1994）。 『上級微積分学』 （ミネオラ、ニューヨーク州：ドーバー） 。ISBN 0-486-68336-2 。 ガーティン、モートン（1981）。 連続体力学入門 。アカデミックプレス 。ISBN 0-12-309750-9 。 コーン、テレサ M. ; コーン、グラニーノ アーサー (2000 年 1 月)。 科学者とエンジニアのための数学ハンドブック: 参照とレビューのための定義、定理、公式 。ニューヨーク: Dover Publications。pp. 157–160。ISBN 0-486-41147-8 。
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、 Divergence に関連するメディアがあります 。
「発散」、 数学百科事典 、 EMS Press 、2001 [1994] ベクトル場の発散の考え方 カーンアカデミー: ダイバージェンスビデオレッスン サンダーソン、グラント（2018年6月21日）。「発散と回転：マクスウェル方程式、流体の流れなどの言語」 。3Blue1Brown 。2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ – YouTube 経由。
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