半径1の球体。通常は空間の原点を中心とする。
いくつかの 1 次元球面: ‖ x ‖ 2 は ユークリッド空間のノルムです。 数学 において 、 単位球 とは単位 半径 の 球 、すなわち 三次元空間 内の ある 中心点から ユークリッド距離 1 に ある点の集合のことで ある。より一般的には、 単位 球 とは次元 ユークリッド 空間 内の単位半径の 球の こと である。 単位円は 特殊なケースであり、 平面 内の単位球である 。（ 開いた ） 単位球とは 単位球の内側の領域であり、中心からの距離が 1 未満の点の集合のことである。
ん
{\displaystyle n}
ん
{\displaystyle n}
（ ん + 1 ）
{\displaystyle (n+1)}
1
{\displaystyle 1}
単位半径を持ち、中心が空間の 原点 にある球またはボールは、 単位 球または 単位ボールと呼ばれます。任意の球は、 平行移動 と スケーリング の組み合わせによって単位球に変換できる ため、一般的な球の研究は、多くの場合、単位球の研究に還元できます。
単位球は、 断面曲率が 1 で 一定であるため、計算が簡単になり、 球面幾何学のモデルとしてよく使用されます。 三角法 では、 単位円上の 円弧の長さは ラジアン と呼ばれ、 角度距離の測定に使用されます。球面 三角法 では、 単位球上の表面積は ステラジアン と呼ばれ、 立体角の 測定に使用されます。
より一般的な文脈では、 単位球は 固定された中心点から 距離 1にある点の集合であり、ここではさまざまな 基準を 「距離」の一般的な概念として使用でき、(開いた) 単位球は その内部の領域です。
ユークリッド空間における単位球と球 次元 ユークリッド空間 において 、次元単位球面は 、次の式を満たす
すべての点の集合である。
ん
{\displaystyle n}
（ ん − 1 ）
{\displaystyle (n-1)}
（
x
1
、 … 、
x
ん
）
{\displaystyle (x_{1},\ldots,x_{n})}
x
1
2
+
x
2
2
+ ⋯ +
x
ん
2
= 1.
{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}
開いた単位球は、 不等式 を満たすすべての点の集合である。
ん
{\displaystyle n}
x
1
2
+
x
2
2
+ ⋯ +
x
ん
2
< 1 、
{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}
閉単位 球は不等式を満たすすべての点の集合である。
ん
{\displaystyle n}
x
1
2
+
x
2
2
+ ⋯ +
x
ん
2
≤ 1.
{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}
体積と面積 単位n 球の体積（ V ）と表面積（ S ） のグラフ 単位球の古典的な方程式は、半径が 1 で - 軸、 - 軸、または - 軸に変更がない楕円体の方程式です。
x
{\displaystyle x}
ええ
{\displaystyle y}
ず
{\displaystyle z}
x
2
+
ええ
2
+
ず
2
= 1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}
ユークリッド空間における単位球の体積 と単位球の表面積は、多くの重要な 解析 公式に登場します。単位 球の体積は、 ガンマ関数 を使用して表すことができます 。
ん
{\displaystyle n}
ん
{\displaystyle n}
五
ん
、
{\displaystyle V_{n},}
五
ん
=
π
ん
/
2
Γ （ 1 + ん
/
2 ）
=
{
π
ん
/
2
/
（ ん
/
2 ） ！
私 ふ
ん ≥ 0
私 s
e ヴ e ん
2 （ 2 π
）
（ ん − 1 ）
/
2
/
ん ！ ！
私 ふ
ん ≥ 0
私 s
o d d 、
{\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}} /{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~奇数,} \end{cases}}}
ここで、は 二重階乗 です 。
ん ！ ！
{\displaystyle n!!}
次元単位球 の超体積（ つまり 、次元単位球の境界の「面積」 ）は 次のように表される
。
（ ん − 1 ）
{\displaystyle (n-1)}
ん
{\displaystyle n}
あ
ん − 1
、
{\displaystyle A_{n-1},}
あ
ん − 1
= ん
五
ん
=
ん
π
ん
/
2
Γ （ 1 + ん
/
2 ）
=
2
π
ん
/
2
Γ （ ん
/
2 ）
=
{
2
π
ん
/
2
/
（ ん
/
2 − 1 ） ！
私 ふ
ん ≥ 1
私 s
e ヴ e ん
2 （ 2 π
）
（ ん − 1 ）
/
2
/
（ ん − 2 ） ！ ！
私 ふ
ん ≥ 1
私 s
o d d 。
{\displaystyle A_{n-1}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^ {n/2}}{\Gamma (n/2)}}={\begin{cases}{2\pi ^{n/2}}/{(n/2-1)!}&\mathrm {if ~} n\geq 1\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!}&\mathrm {if ~} n\geq 1\mathrm {~は~奇数です。} \end{ケース}}}
たとえば、 は単位球 の境界の「面積」であり 、これは単に 2 つの点を数えたもの です。 は単位円 の境界の「面積」であり、これは単位円の円周です。 は単位球 の境界の面積であり 、これは単位球 の表面積です 。
あ
0
= 2
{\displaystyle A_{0}=2}
[ − 1 、 1 ] ⊂
R
{\displaystyle [-1,1]\subset \mathbb {R} }
あ
1
= 2 π
{\displaystyle A_{1}=2\pi }
あ
2
= 4 π
{\displaystyle A_{2}=4\pi }
{ x ∈
R
3
:
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
≤ 1 }
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}}
{ x ∈
R
3
:
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
= 1 }
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}}
いくつかの値の表面積と体積は 次のとおりです。
ん
{\displaystyle n}
ここで、 の 10 進展開値は、 表示される精度に丸められます。
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
再帰 値 は再帰を満たします:
A
n
{\displaystyle A_{n}}
A
0
=
2
{\displaystyle A_{0}=2}
A
1
=
2
π
{\displaystyle A_{1}=2\pi }
A
n
=
2
π
n
−
1
A
n
−
2
{\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-1}}A_{n-2}}
のために 。
n
>
1
{\displaystyle n>1}
値 は再帰を満たします:
V
n
{\displaystyle V_{n}}
V
0
=
1
{\displaystyle V_{0}=1}
V
1
=
2
{\displaystyle V_{1}=2}
V
n
=
2
π
n
V
n
−
2
{\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}
のために 。
n
>
1
{\displaystyle n>1}
非負の実数値次元 の非負実数値における 値は ハウスドルフ測度の正規化に使われることがある。 [1] [2]
2
−
n
V
n
=
π
n
/
2
/
2
n
Γ
(
1
+
1
2
n
)
{\textstyle 2^{-n}V_{n}=\pi ^{n/2}{\big /}\,2^{n}\Gamma {\bigl (}1+{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}}
n
{\displaystyle n}
その他の半径 半径 の - 球の表面積 は で、 半径 の - 球 の体積 は です。 たとえば、 半径 の 3 次元球の 2 次元表面の面積は です。 半径 の 3 次元球の 体積は です 。
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
r
{\displaystyle r}
A
n
−
1
r
n
−
1
{\displaystyle A_{n-1}r^{n-1}}
n
{\displaystyle n}
r
{\displaystyle r}
V
n
r
n
.
{\displaystyle V_{n}r^{n}.}
A
2
=
4
π
r
2
{\displaystyle A_{2}=4\pi r^{2}}
r
.
{\displaystyle r.}
V
3
=
4
3
π
r
3
{\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}
r
{\displaystyle r}
ノルムベクトル空間の単位球 ノルム を持つ ノルムベクトル空間 の 開単位球は 次 のように与えられる。
V
{\displaystyle V}
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
{
x
∈
V
:
‖
x
‖
<
1
}
{\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}
これは、 閉じた単位球 の 位相的内部で ある。
(
V
,
‖
⋅
‖
)
:
{\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }
{
x
∈
V
:
‖
x
‖
≤
1
}
{\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}
後者は前者とそれらの共通境界の分離した結合であり、 単位球面 である。
(
V
,
‖
⋅
‖
)
:
{\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }
{
x
∈
V
:
‖
x
‖
=
1
}
{\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}
単位球 の「形状」は 、選択されたノルムに完全に依存します。単位球は「角」を持つ可能性があり、たとえば、 の最大ノルムの場合はのように見えることがあります 。 通常の ヒルベルト空間ノルムに関連する単位球として、 ユークリッド距離 の有限次元の場合に基づく自然に 丸い球が得られます。その境界は、通常、 単位球 によって意味されるものです 。
[
−
1
,
1
]
n
{\displaystyle [-1,1]^{n}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
通常の -ノルムを次のように定義し ます 。
x
=
(
x
1
,
.
.
.
x
n
)
∈
R
n
.
{\displaystyle x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}
ℓ
p
{\displaystyle \ell _{p}}
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
‖
x
‖
p
=
(
∑
k
=
1
n
|
x
k
|
p
)
1
/
p
{\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}
は、 通常の ヒルベルト空間 ノルムです。
はハミングノルム、または -ノルムと呼ばれます。 条件は、ノルム の定義に必要です。これは、 三角不等式 の結果として 、任意のノルム空間の単位球が 凸で なければならないためです。を の 最大ノルムまたは -ノルムと表します 。
‖
x
‖
2
{\displaystyle \|x\|_{2}}
‖
x
‖
1
{\displaystyle \|x\|_{1}}
ℓ
1
{\displaystyle \ell _{1}}
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
ℓ
p
{\displaystyle \ell _{p}}
‖
x
‖
∞
{\displaystyle \|x\|_{\infty }}
ℓ
∞
{\displaystyle \ell _{\infty }}
x
{\displaystyle x}
2次元単位球の
1次元円周については次の式が成り立つことに注意してください。
C
p
{\displaystyle C_{p}}
C
1
=
4
2
{\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}
最小値です。
C
2
=
2
π
{\displaystyle C_{2}=2\pi }
C
∞
=
8
{\displaystyle C_{\infty }=8}
最大値です。
一般化
メトリック空間 上記の 3 つの定義はすべて、 選択した原点に関して、 距離空間に直接一般化できます。ただし、位相的な考慮事項 (内部、閉包、境界) は同じように適用される必要はなく (たとえば、 超距離 空間では、3 つすべてが同時に開集合と閉集合になります)、一部の距離空間では単位球面が空になることもあります。
が実二次形式 を持つ線型空間である 場合 、 は 単位球面 [3] [4] または の 単位準球面 と呼ばれることがあります。たとえば、二次形式 を 1 に設定すると、 単位双曲線 が生成され、これは 分割複素数 の平面で「単位円」の役割を果たします 。同様に、二次形式 は、 双対数 平面で単位球面の 1 対の直線を生成します 。
V
{\displaystyle V}
F
:
V
→
R
,
{\displaystyle F:V\to \mathbb {R} ,}
{
p
∈
V
:
F
(
p
)
=
1
}
{\displaystyle \{p\in V:F(p)=1\}}
V
.
{\displaystyle V.}
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
参照
注釈と参考文献
^ 香港中文大学、数学5011、第3章、ルベーグ測度とハウスドルフ測度 ^ Manin, Yuri I. (2006). 「幾何学と代数における次元の概念」 (PDF) . アメリカ数学会誌 . 43 (2): 139–161. doi :10.1090/S0273-0979-06-01081-0 . 2021年 12月17日 閲覧。 ^ 小野隆 (1994) オイラーの主題による変奏曲: 二次形式、楕円曲線、ホップ写像 、第 5 章: 二次球面写像、165 ページ、 Plenum Press 、 ISBN 0-306-44789-4 ^ F. リース・ハーヴェイ (1990) スピノルとキャリブレーション 、「一般化球面」、42 ページ、 アカデミック プレス 、 ISBN 0-12-329650-1
Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces 、24ページ、 Springer-Verlag 。 デザ、Ｅ ． Deza, M. (2006)、 Dictionary of Distances 、エルゼビア、 ISBN 0-444-52087-2 ヨーロッパ数学会ニュースレター64号（2007年6月）57ページに掲載。この本は、さまざまな種類の距離のリストとして構成されており、それぞれに簡単な説明が付いています。
外部リンク
無料辞書『ウィクショナリー』で 「単位球」 を調べてください。
_and_surface_areas_(S)_of_n-balls_of_radius_1.png/500px-Graphs_of_volumes_(V)_and_surface_areas_(S)_of_n-balls_of_radius_1.png)
![{\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}} /{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~奇数,} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf208735d51b452fb423a2e121ada1e6c269bf9)
![{\displaystyle A_{n-1}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^ {n/2}}{\Gamma (n/2)}}={\begin{cases}{2\pi ^{n/2}}/{(n/2-1)!}&\mathrm {if ~} n\geq 1\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!}&\mathrm {if ~} n\geq 1\mathrm {~は~奇数です。} \end{ケース}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef608cca0068ac18865a9203858bacc8780fe7ac)
![{\displaystyle [-1,1]\subset \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2016a25b4496666df761c56045fc221d3fbd2c08)
![{\displaystyle [-1,1]^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a008254b1bf6d63ac3b13548c4c31180bcd43de)
