擬似グループ

数学において、擬群とは、群のような性質と層のような性質を満たす、空間の開集合間の同相写像の集合である。擬群は群の概念の一般化^{[疑わしい–議論が必要]}であるが、抽象代数（例えば擬群など）からではなく、微分方程式の対称性を調べるためのソフス・リー^{[1]の幾何学的アプローチに由来する。擬群の現代理論は、1900年代初頭に}エリー・カルタンによって発展した。^{[2] [3]}

擬群は、与えられたユークリッド空間またはより一般的には固定された位相空間（それぞれ滑らかな多様体 ）の開集合U上に定義された同相写像（それぞれ微分同相写像 ）の集合にいくつかの条件を課す。2つの同相写像h  : U → Vとg  : V → W はUからWへの同相写像に合成されるため、擬群は合成と反転に関して閉じていることが求められる。しかし、群の公理とは異なり、擬群を定義する公理は純粋に代数的なものではなく、さらなる要件は同相写像の制限とパッチの可能性に関連している（層のセクションの接着公理に似ている）。

より正確には、位相空間S上の擬群とは、 Sの開集合間の同相写像の集合Γであり、以下の性質を満たす：^{[4] [5]}

1. Γ内の要素gの領域はS を覆います(「カバー」)。
2. Γ内の元gをその定義域に含まれる任意の開集合に制限することも、Γ内にあります(「制限」)。
3. Γの 2 つの要素の合成g ∘ h は、定義されている場合、Γ (「合成」) に含まれます。
4. gの元の逆はΓ (「逆」)にあります。
5. Γに属するという性質は局所的である、すなわち、g  : U → VがSの開集合間の同相写像であり、U が開集合U _iで覆われ、 gが各iに対してΓに属するU _iに制限される場合、gもΓに属する(「局所的」)。

結果として、Sの任意の開部分集合の恒等同相写像はΓに存在します。

同様に、滑らかな多様体X上の擬群は、類似の性質を満たすXの開集合間の微分同相写像の集合Γとして定義される（ここでは同相写像を微分同相写像に置き換える）。^[6]

Xの 2 つの点は、Γの元が一方を他方に送る場合、同じ軌道上にあると言われます。擬似群の軌道は明らかにXの分割を形成します。擬似群は、軌道が 1 つしかない場合、 推移的と呼ばれます。

広範囲にわたる例のクラスは、与えられた幾何学的構造を保存する擬群によって与えられます。たとえば、( X、g )がリーマン多様体である場合、その局所等長写像の擬群があります。 ( X、ω )がシンプレクティック多様体である場合、その局所シンプレクティック同相写像の擬群があります。などです。これらの擬群は、これらの構造の局所対称性の集合として考えるべきものです。

追加の構造を持つ多様体は、固定された局所モデルの対称性の擬似群を使用して定義できることが多い。より正確には、擬似群Γが与えられた場合、位相空間S上のΓ -アトラスは、座標の変更（つまり、遷移マップ）がΓに属するようなS上の標準アトラスから構成される。同等の Γ -アトラスのクラスは、 S上のΓ -構造とも呼ばれる。

特に、Γ がR ⁿの局所的に定義されたすべての微分同相写像の擬群である場合、滑らかなアトラスと滑らかな構造の標準的な概念が回復されます。より一般的には、次のオブジェクトを位相空間S上のΓ構造として定義できます。

• 平坦リーマン構造、標準ユークリッド計量を持つR ⁿの等長写像のΓ擬群に対して。
• シンプレクティック構造、Γに対して、 R ^{2 n}のシンプレクティック同相写像の擬群と標準シンプレクティック形式;
• 解析構造、Γに対してR ⁿの（実）解析微分同相写像の擬群。
• リーマン面、Γは複素変数の可逆な 正則関数の擬群です。

より一般的には、任意の積分可能なG構造と任意の( G , X )多様体は、適切な擬似群Γに対して、Γ構造の特殊なケースです。

一般に、擬群は無限次元 リー群の可能な理論として研究された。局所リー群の概念、すなわちユークリッド空間Eの原点の近傍で定義される関数の擬群は、関連する変換が有限個のパラメータに依存する場合、多様体による当時の定義よりも、リーの元々のリー群の概念に実際に近い。カルタンの業績の 1 つは、局所リー群は常に現在の意味での大域群を生み出すという点 (リー代数が群を決定するというリーの第 3 定理の類似物)を含め、関連する点を明確にしたことであった。形式群は、無限小レベルでのリー群の指定に対するさらに別のアプローチである。しかし、局所位相群には必ずしも大域群に対応するものがない ことが知られている。

無限次元擬群の例は、Eのすべての微分同相写像の擬群から始まり、数多くあります。関心は主に微分同相写像の部分擬群にあり、したがってベクトル場のリー代数類似体を持つオブジェクトにあります。リーとカルタンによって提案されたこれらのオブジェクトを研究する方法は、コンピュータ代数の進歩により、より実用的になりました。

1950年代には、カルタンの理論はShiing-Shen Chernによって再定式化され、擬群の一般変形理論がKunihiko Kodaira ^[7]とD.C. Spencer ^[8]によって開発された。1960年代には、過剰決定に関する基本的な偏微分方程式の問題にホモロジー代数が適用されたが、これによって理論の代数が潜在的に非常に重いことが明らかになった。同じ10年間に、無限次元リー理論の理論物理学への関心が、電流代数の形で初めて現れた。

直感的には、リー擬似群は偏微分方程式のシステムから「生じる」擬似群であるはずです。文献には類似しているが同等ではない概念が多数あります。^{[9] [10] [11] [12] [13]}「正しい」概念は、どのアプリケーションを念頭に置いているかによって異なります。ただし、これらすべてのさまざまなアプローチには、リー群であることが求められるΓの（有限または無限次元の）ジェットバンドルが含まれます。特に、リー擬似群は、そのkジェットの空間から「再構築」できる場合、有限位数kの擬似群と呼ばれます。

• 聖ゴラブ (1939)。 「変性疑似グループ」のユーバー デン ベグリフ". Mathematische Annalen . 116 : 768–780. doi :10.1007/BF01597390. S2CID  124962440.

• Alekseevskii, DV (2001) [1994]、「擬似群」、数学百科事典、EMS Press