局所同相写像

数学、より具体的には位相幾何学において、局所同相写像は、直感的に局所的な（必ずしも大域的ではない）構造を保存する位相空間間の関数です。 が局所同相写像である場合、 は上のエタール空間であると言われます。局所同相写像は、層 の研究で使用されます。局所同相写像の典型的な例は、被覆写像です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

位相空間がに局所的に同相であるとは、 のすべての点が の開集合に同相な近傍を持つ場合である。 例えば、次元の多様体はに局所的に同相である。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

からへの局所同相が存在する場合、 はに局所同相であるが、その逆は必ずしも真ではない。例えば、2次元球面 は多様体であるため、平面 に局所同相であるが、 への局所同相は存在しない。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}.}$

2つの位相空間間の関数は、任意^の点に開近傍があり、その像が で開いており、制限が同相写像（それぞれの部分空間位相がおよび で使用されている）である場合、局所同相写像 [1] と呼ばれます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f(U)}$

局所同相写像と同相写像

すべての同相写像は局所同相写像です。しかし、局所同相写像は、それが全単射 である場合に限り同相写像です。局所同相写像は同相写像である必要はありません。たとえば、によって定義される関数(したがって、幾何学的には、この写像は実数直線を円 の周りに巻き付けます) は、局所同相写像ですが同相写像ではありません。によって定義される写像で、円をそれ自身の周りに 回巻き付ける(つまり、巻き数を持つ) ものは、すべての非ゼロ に対して局所同相写像ですが、全単射の場合のみ(つまり、または の場合のみ)、同相写像です。 ${\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}$${\displaystyle t\mapsto e^{it}}$${\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}}$${\displaystyle f(z)=z^{n},}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=-1}$

前の 2 つの例を一般化すると、すべての被覆写像は局所同相写像です。特に、空間の普遍被覆は 局所同相写像です。特定の状況では、その逆が真です。たとえば、 が2 つのハウスドルフ空間間の適切な局所同相写像であり、も局所コンパクト である場合、 は被覆写像です。 ${\displaystyle p:C\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p}$

局所同相写像と関数の合成

2 つの局所同相の合成は局所同相です。明示的に、と が局所同相である場合、合成も局所同相です。局所同相を領域の任意の開部分集合に制限すると、再び局所同相になります。明示的に、 が局所同相である場合、 の任意の開部分集合に制限すると、再び局所同相になります。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

が連続で、かつ と が両方とも局所同相である場合、も局所同相です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$${\displaystyle f}$

包含マップ

が任意の部分空間である場合（通常どおり、はによって誘導される部分空間位相を備えている）、包含写像は常に位相的埋め込みです。しかし、 が で開いている場合のみ、それは局所同相写像です。 で部分集合が開いていることは、包含写像が局所同相写像であるためには不可欠です。なぜなら、 の開かない部分集合の包含写像は局所同相写像を決して生み出さないからです（開写像にならないため）。 ${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:U\to X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

関数を部分集合に制限することは、その包含写像を明示的に合成することと同じです。2 つの局所同相写像の合成は局所同相写像なので、とが局所同相写像であれば、も局所同相写像です。したがって、局所同相写像を開部分集合に制限することは局所同相写像です。 ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle i:U\to X;}$${\displaystyle f{\big \vert }_{U}=f\circ i.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle i:U\to X}$${\displaystyle f{\big \vert }_{U}=f\circ i.}$

ドメインの不変性

定義域の不変性は、がの開部分集合からの連続的な単射写像である場合、 はにおいて開写像であり、は同相写像であることを保証します。したがって、開部分集合からの連続写像は、それが局所的に単射な写像である場合に限り、局所同相写像となります(つまり、 内のすべての点には、への制限が単射となるような近傍があります)。 ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to f(U)}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle f}$${\displaystyle N}$

解析における局所同相写像

複素解析では、複素解析関数(ここで は複素平面の開部分集合) が局所同相写像となるのは、導関数がすべての に対してゼロでないときだけです。の周りの開円板上の 関数は、 のとき局所同相写像ではありません。 その場合、は「分岐」点です(直感的には、シートはそこで集まります)。 ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f^{\prime }(z)}$${\displaystyle z\in U.}$${\displaystyle f(x)=z^{n}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n\geq 2.}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n}$

逆関数定理を用いると、連続的に微分可能な関数( は の開部分集合) が局所同相写像であるとは、その導関数が任意の(との 局所同相写像によって示されるように、その逆は偽である) ことを示すことができる。微分可能多様体間の写像についても、同様の条件を定式化することができる。 ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle D_{x}f}$${\displaystyle x\in U.}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

局所同相写像とファイバー

は、がベール空間で が正規空間である、2 つのハウスドルフ第 2 可算空間の間の連続開射影であるとします。 のすべてのファイバーが の離散部分空間である場合 (これは が局所同相になるための必要条件です)、 はの稠密開部分集合上の - 値局所同相です。 このステートメントの結論を明確にするために、が局所同相であるような の(唯一の) 最大の開部分集合とします。 ^{[注 1]のすべての}ファイバーが の離散部分空間である 場合、この開集合は必然的に の稠密部分集合です。特に、の 場合、のファイバーが離散的であるという仮定がなければ、 という結論は偽になる可能性があります(例については、この脚注^{[注 2]を参照してください)。 1 つの系として、}離散ファイバーを持つ完全に距離化可能な第 2 可算空間の間のすべての連続開射影は、「ほとんどどこでも」局所同相です ( がその定義域の稠密開部分集合であるという位相的な意味で)。例えば、多項式によって定義される写像は離散ファイバーを持つ連続開全射なので、この結果は最大開部分集合がで稠密であることを保証します。さらに努力すれば（例えば逆関数定理を使って）、 であることが示され、この集合が で稠密であることが確認できます。この例は、が の領域の適切な稠密部分集合になる可能性があることも示しています。すべての非定数多項式のすべてのファイバーは有限（したがって離散的、さらにはコンパクトな部分空間）であるため、この例は、それによって誘導される写像が開写像である場合はいつでも、そのような多項式に一般化されます。^{[注 3]}${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle O=O_{f}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f{\big \vert }_{O}:O\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle O}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X\neq \varnothing }$${\displaystyle O\neq \varnothing ;}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle O_{f}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty )}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle O_{f}}$${\displaystyle \mathbb {R} ;}$${\displaystyle O_{f}=\mathbb {R} \setminus \{0\},}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle O_{f}}$${\displaystyle f}$

局所同相写像とハウスドルフ性

はハウスドルフ空間であるが はそうではない局所同相写像が存在します。たとえば、実数の 2 つのコピーの非交わる和集合に関する同値関係が、最初のコピーのすべての負の実数を、2 番目のコピーの対応する負の実数と同一視する商空間を考えます。 の 2 つのコピーは同一視されず、非交わる近傍もないため、 はハウスドルフではありません。自然写像が局所同相写像であることは容易に確認できます。ファイバーは、 の場合に 2 つの要素を持ち、 の場合に 1 つの要素を持ちます。同様に、がハウスドルフであり ではない 局所同相写像を構築することもできます。つまり、上記と同じ同値関係を持つからへの自然写像を選択します。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim ,}$ ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}(\{y\})}$${\displaystyle y\geq 0}$${\displaystyle y<0.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} }$${\displaystyle Y=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim }$${\displaystyle \sim }$

写像が局所同相写像となるのは、それが連続、開、局所単射である場合に限ります。特に、すべての局所同相写像は連続かつ開写像です。したがって、全単射な局所同相写像は同相写像です。

関数が局所同相写像であるかどうかは、その余域によって決まる。局所同相写像は必然的に余域の開部分集合であり、局所同相写像でもある（つまり、 は、その像への射影写像として考えた場合、引き続き局所同相写像であり、 は部分空間位相がから継承されている）。しかし、一般に は局所同相写像であっても局所同相写像ではない可能性がある（たとえばによって定義される写像の場合）。写像が局所同相写像であるのは、 が局所同相写像であり、が の開部分集合である場合に限ります。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to f(X)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:X\to f(X)}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to f(X)}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle f(x)=(x,0),}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f:X\to f(X)}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y.}$

局所同相写像のあらゆる繊維はその領域の離散部分空間である${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X.}$

局所同相写像は「局所的な」位相特性を両方向に伝達します。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle X}$ローカルに接続されているのは、次の場合のみです。${\displaystyle f(X)}$
• ${\displaystyle X}$が局所パス連結である場合、かつその場合のみ、${\displaystyle f(X)}$
• ${\displaystyle X}$が局所コンパクトである場合、かつその場合のみである。${\displaystyle f(X)}$
• ${\displaystyle X}$が第一可算なのは、 の場合のみです。${\displaystyle f(X)}$

上で指摘したように、ハウスドルフ特性はこの意味では局所的ではなく、局所同相写像によって保存される必要はありません。

余域 を持つ局所同相写像は、集合の層と自然に一対一に対応します。この対応は、実際にはカテゴリの同値です。さらに、余域を持つすべての連続写像は、余域を持つ一意に定義された局所同相写像を自然に生じます。このすべては、層に関する記事で詳しく説明されています。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y;}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

局所同相写像の考え方は、位相空間とは異なる幾何学的設定で定式化できます。微分可能多様体の場合は局所微分同相写像が得られ、スキームの場合は形式的エタール写像とエタール写像が得られ、トポースの場合はエタール幾何写像が得られます。

• 微分同相写像 – 微分可能多様体の同型写像
• 同相写像 – 与えられた空間のすべての位相的性質を保存する写像
• 同型性 – 数学では可逆準同型性
• 領域の不変性 – ユークリッド空間の同相部分集合に関する位相幾何学の定理
• 局所微分同相写像
• ローカルハウスドルフスペース
• 非ハウスドルフ多様体 – 多様体の一般化Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章 [ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• マンクレス、ジェームズ・R (2000)。トポロジー（第2版）。アッパーサドルリバー、ニュージャージー：プレンティスホール社。ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240。