投影（数学）

数学において、投影とは、集合(または他の数学的構造)を部分集合(または部分構造)にべき等に 写像することです。この場合、べき等とは、2 回の投影が 1 回の投影と同じであることを意味します。投影の部分空間への制限も、べき等性が失われる場合でも投影と呼ばれます。投影の日常的な例としては、平面 (紙) への影の投影があります。点の投影は紙への影であり、紙への点の投影 (影) はその点そのものです (べき等性)。3 次元球の影は円盤です。もともと、投影の概念は、影の例のように、 3 次元ユークリッド空間をその中の平面に投影することを表すためにユークリッド幾何学で導入されました。この種の主な投影は次の 2 つです。

• 点から平面または中心投影への投影: C が投影の中心と呼ばれる点である場合、 Cとは異なる点Pの、 C を含まない平面への投影は、直線CPと平面の交点です。直線CP が平面に平行であるような点P は、投影による像を持ちませんが、平面の無限遠点に投影されると言われることがよくあります (この用語の形式化については、射影幾何学を参照してください)。点C自体の投影は定義されていません。
• 方向Dに平行な平面または平行投影への投影。点Pの像は、平面と、 P を通るDに平行な直線との交点です。任意の次元に一般化された正確な定義については、アフィン空間 § 投影を参照してください。^[要出典]

数学における投影の概念は非常に古く、その起源は現実世界の物体が地面に落とす影の現象にある可能性が高い。この基本的な考え方は、最初は幾何学の文脈で、後に数学の他の分野で洗練され抽象化された。時が経つにつれて、この概念のさまざまなバージョンが開発されてきたが、今日では、十分に抽象的な設定で、これらのバリエーションを統一することができる。^{[引用が必要]}

地図作成において、地図投影とは地球の表面の一部を平面上に描いた地図であり、常にそうであるとは限らないが、場合によっては上記の意味での投影の制限となる。3D投影は遠近法の理論の基礎でもある。^[要出典]

2 種類の投影を統合し、投影の中心とは異なる任意の点の中心投影によって画像を定義する必要性が、射影幾何学の起源です。

一般に、定義域と余定義域が同じ集合(または数学的構造)であるマッピングは、マッピングがべき等である場合、つまり、射影がそれ自身との合成に等しい場合、射影です。射影は、右逆を持つマッピングを指すこともあります。両方の概念は、次のように密接に関連しています。pを集合Aからそれ自身へのべき等マッピング (したがってp ∘ p = p ) とし、B = p ( A )をpの像とします。A から B へのマップとして見たマップ p を π で表し、 BからAへの注入を i (したがって p = i ∘ π ) で表すと、 π ∘ i = Id Bとなります(したがってπには右_逆があります)。逆に、π に右逆iがある場合、π ∘ i = Id _{B は}i ∘ π ∘ i ∘ π = i ∘ Id _B ∘ π = i ∘ πを意味します。つまり、p = i ∘ πは冪等です。^{[引用が必要]}

投影の元の概念は、さまざまな数学的な状況に拡張または一般化されており、常にではありませんが、多くの場合、幾何学に関連しています。たとえば、

• 集合論では:
  • j^番目 の射影写像proj _jに代表される操作で、直積X ₁ × ⋯ × X _j × ⋯ × X _nの元x = ( x ₁ , ..., x _j , ..., x _n )を値proj _j ( x ) = x _jに変換します。^[1]この写像は常に射影的であり、各空間X _kが位相を持つ場合、この写像は連続 かつ開写像でもあります。^[2]
  • 与えられた同値関係のもとで要素をその同値類に写像する写像は、正準射影として知られている。^[3]
  • 評価マップは、関数f を固定されたxの値f ( x )に送ります。関数Y ^Xの空間は直積と同一視でき、評価マップは直積からの射影マップです。^[要出典]${\textstyle \prod _{i\in X}Y}$
• リレーショナルデータベースとクエリ言語では、射影はと記述される単項演算であり 、 は属性名の集合である。このような射影の結果は、R内のすべてのタプルが集合 に制限されたときに得られる集合として定義される。^{[4] [5] [6] [検証が必要]} R はデータベース関係である。^{[引用が必要]}${\displaystyle \Pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R)}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$
• 球面幾何学では、球面を平面に投影する方法がプトレマイオス (~150) の『球面の平面図』で使われた。 [ 7 ]^{この方法は}立体投影と呼ばれ、球に接する平面と、接点の正反対にある極C を使用する。球面上のC以外の任意の点P は、投影された点で平面と交わる直線CPを決定する。^{[8]この対応により、}無限遠点がCに対応するために含まれる場合、球面は平面の1 点コンパクト化になる。それ以外の場合、平面には投影されない。一般的な例は複素平面で、コンパクト化はリーマン球面に対応する。あるいは、半球は心射投影を使用して平面に投影されることが多い。^[要出典]
• 線型代数において、2度適用しても変化しない線型変換: p ( u ) = p ( p ( u ))。言い換えれば、べき等演算子。たとえば、3次元の点( x , y , z )から点( x , y , 0)への写像は射影である。このタイプの射影は、写像の領域に対してn 、余領域に対してk ≤ nの任意の次元数に自然に一般化される。直交射影、射影 (線型代数)を参照。直交射影の場合、空間は積として分解を許容し、射影演算子はその意味でも射影である。^{[9] [10] [検証が必要]}
• 微分位相幾何学では、任意のファイバー束は定義の一部として射影写像を含む。少なくとも局所的には、この写像は積位相の意味で射影写像のように見えるため、開いており、かつ全射である。^[要出典]
• 位相幾何学において、リトラクションとは連続写像 r : X → Xであり、その像上の恒等写像に制限される。 ^[11]これは同様の冪等性条件r ² = rを満たし、射影写像の一般化と見なすことができる。リトラクションの像は元の空間のリトラクトと呼ばれる。恒等写像に同型なリトラクションは変形リトラクションと呼ばれる。この用語はカテゴリ理論でも分割エピモーフィズムを指すのに使われる。 ^[要出典]
• あるベクトルから別のベクトルへのスカラー投影（または解像度）。
• 圏論では、上記の集合の直積の概念は任意の圏に一般化できる。いくつかのオブジェクトの積は、各因子への標準的な射影 射を持つ。特殊なケースとしては、集合の直積からの射影、位相空間の積位相（常に全射かつ開射）、群の直積からの射影などがある。これらの射影はしばしばエピモーフィズムや全射であることが多いが、必ずしもそうである必要はない。^{[12] [検証が必要]}

• Thomas Craig (1882) 『投影に関する論文』、ミシガン大学歴史数学コレクションより。