3次平面曲線

数学において、3次平面曲線は、 3次方程式によって定義される平面代数曲線 Cである。

⁠ ⁠${\displaystyle F(x,y,z)=0}$

射影平面の同次座標 に適用される。または、そのような方程式でz = 1と設定することによって決定されるアフィン空間の非同次バージョン。ここで、 Fは3次単項式の非ゼロ線形結合である。${\displaystyle (x:y:z)}$

⁠ ⁠${\displaystyle x^{3},y^{3},z^{3},x^{2}y,x^{2}z,y^{2}x,y^{2}z,z ^{2}x,z^{2}y,xyz}$

これらは 10 個あるため、 3 次曲線は任意の体K上で次元 9 の射影空間を形成します。各点P は、C がP を通過することを要求すると、Fに単一の線型条件を課します。したがって、任意の 9 点を通る 3 次曲線を見つけることができます。この曲線は退化していて一意ではない可能性がありますが、点が一般的な位置にある場合は一意で非退化になります。2 点が直線を決定し、5 点が円錐曲線を決定する方法と比較してください。2 つの 3 次曲線が指定された 9 点の集合を通過する場合、実際には3 次曲線の束も通過し、点は追加のプロパティを満たします。ケーリー–バカラックの定理を参照してください。

3次曲線は特異点を持つことがあり、その場合、その曲線は射影直線でパラメータ化されます。それ以外の場合、特異でない3次曲線は、複素数などの代数的に閉じた体上に9つの変曲点を持つことが知られています。これは、再び3次曲線を定義するヘッセ行列の同次バージョンを取り、それをCと交差させることで示されます。その後、交点はベズーの定理によってカウントされます。ただし、これらの点のうち実数は3つだけであるため、曲線を描いても実射影平面に他の点を見ることはできません。特異でない3次曲線の9つの変曲点には、そのうちの2つを通過するすべての直線にちょうど3つの変曲点が含まれるという特性があります。

3次曲線の実点はアイザック・ニュートンによって研究されました。特異でない射影3次曲線の実点は、1つまたは2つの「楕円」に収まります。これらの楕円の1つは、すべての実射影直線と交差するため、 3次曲線をユークリッド平面に描いたときに境界が付けられることはありません。この楕円は、3つの実変曲点を含む1つまたは3つの無限枝として表示されます。もう1つの楕円は、存在する場合は、実変曲点を含まず、楕円または2つの無限枝として表示されます。円錐曲線の場合と同様に、直線はこの楕円を最大で2つの点で切断します。

特異でない平面 3 次曲線は、点が定義されている任意の体K上で楕円曲線を定義します。楕円曲線は現在、通常、ワイエルシュトラスの楕円関数の何らかの変種で研究され、3 次曲線の平方根を抽出することによって作成された有理関数体の二次拡張を定義します。これは、ワイエルシュトラス形式で無限遠点として機能するK有理点があることに依存します。Kが有理数体である場合など、そのような点を持たない 3 次曲線は多数あります。

既約平面 3 次曲線の特異点は、1 つの二重点、または 1 つの尖点、というように非常に限られています。既約平面 3 次曲線は、円錐曲線と直線、または 3 つの直線のいずれかであり、それに応じて 2 つの二重点または1 つのタクノード(円錐曲線と直線の場合)、または 3 つの直線の場合、最大 3 つの二重点または 1 つの三重点 (並行直線) を持ちます。

△ ABC が、 △ ABCに対して、辺の長さが の三角形であるとします。多くの名前付き立方体は、よく知られた点を通ります。以下に示す例では、三線座標と重心座標の 2 種類の同次座標を使用しています 。 ${\displaystyle a=|BC|,}$ ${\displaystyle b=|CA|,}$ ${\displaystyle c=|AB|.}$

三次方程式で三線方程式から重心方程式に変換するには、次のように代入します。

${\displaystyle x\to bcx,\quad y\to cay,\quad z\to abz;}$

重心系から三線系に変換するには、

${\displaystyle x\to ax,\quad y\to by,\quad z\to cz.}$

三次方程式の多くは次のような形をしている。

${\displaystyle f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.}$

以下の例では、このような方程式は次のように「巡回和表記法」でより簡潔に書かれています。

${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0}$。

以下に挙げる三次曲線は、 △ ABCの辺上にない点Xの等角共役線(X*で示される)によって定義できます。X *の構成は次のように行います。L _{A を、}角Aの内角二等分線に関する直線XAの反射とし、L B と L C を同様に定義します。_すると、3_本の反射直線はX*で一致します。三線座標では、${\displaystyle X=x:y:z,}$${\displaystyle X^{*}={\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}.}$

三線方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0}$

重心方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

ノイバーグ三次方程式（ジョセフ・ジャン・バティスト・ノイバーグにちなんで名付けられた）は、点Xの軌跡であり、X* は直線EX上にあり、Eはオイラーの無限大点（三角形の中心百科事典のX (30)）である。また、この三次方程式は、三角形△ X _A X _B X _Cが△ ABCに対して透視的であるXの軌跡であり、△ X _A X _B X _Cはそれぞれ 直線BC、CA、ABにおけるXの反射である。

ノイベルク三次曲線は、 内心、外心、垂心、両方のフェルマー点、両方の等力点、オイラー無限大点、その他の三角形の中心、外心、 △ ABCの辺線におけるA、B、Cの反射、および△ ABCの辺に立てられた 6 つの正三角形の頂点を通ります。

ノイベルグ立方体のグラフィカルな表現と特性の詳細なリストについては、Berhard Gibert の Cubics in the Triangle Plane の K001 を参照してください。

三線方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0}$

重心方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

トムソン三次曲線は、点Xの軌跡であり、X*は線GX上にあり、Gは重心です。

トムソンの三次曲線は、内心、重心、外心、垂心、対称点、その他の三角形の中心、頂点A、B、C、外心、辺BC、CA、ABの中点、 △ ABCの高さの中点を通ります。三次曲線上にあるが三次曲線の側線上にない各点Pについて、 Pの等角共役点も三次曲線上にあります。

グラフとプロパティについては、三角形平面の三次関数の K002 を参照してください。

三線方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0}$

重心方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

ダルブー三次方程式は、点X*が直線LX上にあるような点Xの軌跡です。ここで、Lはロンシャン点です。また、この三次方程式は、 Xのペダル三角形が、ある点 (ルーカス三次方程式上にある) のセビアン三角形であるような点Xの軌跡です。また、この三次方程式は、 Xのペダル三角形とXの反セビアン三角形が透視投影であるような点Xの軌跡です。透視投影はトムソン三次方程式上にあります。

ダルブー三次曲線は、内心、外心、垂心、ロンシャン点、その他の三角形の中心、頂点A、B、C、外心、および外接円上のA、B、Cの対蹠点を通ります。三次曲線上にあるが三次曲線の側線上にない各点Pについて、 Pの等角共役点も三次曲線上にあります。

グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の立方体の K004 を参照してください。

三線方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0}$

重心方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

ナポレオン・フォイエルバッハの3次方程式は、点X*が直線NX上にある軌跡です。ここで、Nは9点の中心です（三角形の中心百科事典ではN = X（5））。

ナポレオン・フォイエルバッハの3次曲線は、内心、外心、垂心、第1および第2ナポレオン点、その他の三角形の中心、頂点A、B、C、外心、重心の高度への投影、 △ ABCの辺上に立てられた6つの正三角形の中心を通ります。

グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の立方体の K005 を参照してください。

三線方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0}$

重心方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0}$

ルーカス三次曲線は、 Xのセビアン三角形が何らかの点のペダル三角形である ような点Xの軌跡です。その点はダルブー三次曲線上にあります。

ルーカス三次曲線は、重心、垂心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ド・ロンシャン点、その他の三角形の中心、反補三角形の頂点、およびシュタイナー円周楕円の焦点を通ります。

グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の立方体の K007 を参照してください。

三線方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0}$

重心方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0}$

△ A'B'C' を第 1 ブロカール三角形とします。任意の点Xについて、直線XA′、XB′、XC′ と、それぞれ辺線BC、CA、ABとの交点をX _A、X _B、 X _Cとします。第 1 ブロカール 3 次曲線は、点X _A、X _B、X _Cが同一直線上にあるXの軌跡です。

1 番目のブロカール 3 次曲線は、重心、対称点、シュタイナー点、その他の三角形の中心、および 1 番目と 3 番目のブロカール三角形の頂点を通ります。

グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の Cubics の K017 を参照してください。

三線方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0}$

重心方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0}$

2 番目のブロカール 3 次曲線は、 XとX*を通る外円錐曲線の直線XX*の極が外心と対称中点 (つまり、ブロカール軸) の線上にある点Xの軌跡です。この 3 次曲線は、重心、対称中点、両方のフェルマー点、両方の等力点、パリー点、その他の三角形の中心、および 2 番目と 4 番目のブロカール三角形の頂点を通ります。

グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の Cubics の K018 を参照してください。

三線方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0}$

重心方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

1 次等面積三次曲線は、点Xの軌跡で、 Xのセビアン三角形の面積がX*のセビアン三角形の面積に等しい。また、この三次曲線は、 X* が直線S*X上にあるときのXの軌跡で、ここでSはシュタイナー点である。(三角形の中心百科事典のS = X (99) )。

最初の等面積立方体は、内心、シュタイナー点、その他の三角形の中心、第 1 および第 2 ブロカール点、および外心を通ります。

グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の立方体の K021 を参照してください。

三線方程式:${\displaystyle (bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)}$

重心方程式:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0}$

任意の点（三線）について、 およびとします。2 番目に面積が等しい 3 次曲線は、Xの軌跡であり、 X _Yのセビアン三角形の面積は、 X _Zのセビアン三角形の面積に等しくなります。 ${\displaystyle X=x:y:z}$${\displaystyle X_{Y}=y:z:x}$${\displaystyle X_{Z}=z:x:y.}$

2 番目に面積が等しい立方体は、内心、重心、対称中点、およびEncyclopedia of Triangle CentersでX (31)、X (105)、X (238)、X (292)、X (365)、X (672)、X (1453)、X (1931)、X (2053) などのインデックスが付けられた点を通ります。

グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の三次関数の K155 を参照してください。

• ケーリー・バカラック定理、2つの3次平面曲線の交差に関する定理
• ねじれ立方体、三次空間曲線
• 楕円曲線
• アグネーシの魔女
• 三角形立方体のカタログ

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• 3次平面曲線のカタログ（アーカイブ版）
• 立方体の点
• 三角形平面上の立方体
• 三角形平面における特殊等立方体 (pdf)、Jean-Pierre Ehrmann および Bernard Gibert 著
• 「実数および複素数 3 次曲線 - ジョン・ミルナー、ストーニーブルック大学 [2016]」。YouTube。大学院数学。2018 年 6 月 27 日。2016年7月、エディンバラのICMSで行われた、デュサ・マクダフの70歳の誕生日を祝う会議での講演