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Carl Gustav Jacob Jacobi [ a ] ( / j ɑː ˈ k oʊ b i ˌ dʒ ə ˈ k oʊ b i / ; [ 3 ]ドイツ語: [ jaˈkoːbi ] ; 1804 年 12 月 10 日 - 1851 年 2 月 18 日) は、楕円関数、力学、微分方程式、行列式、数論に根本的な貢献をしたドイツの数学者です。
ヤコビは1804年12月10日、ポツダムでアシュケナージ系ユダヤ人の両親のもとに生まれた。銀行家のシモン・ヤコビの4人兄弟の2番目だった。兄のモーリッツも後にエンジニア兼物理学者として名を馳せることになる。ヤコビは当初、叔父のレーマンから家庭教育を受け、古典語と数学の基礎を学んだ。1816年、12歳になったヤコビはポツダム・ギムナジウムに入学。そこでは、古典語、歴史、文献学、数学、科学など、標準的な科目がすべて教えられていた。叔父から受けた優れた教育と、ヤコビ自身の並外れた才能のおかげで、ヤコビはわずか半年で、若さにもかかわらず最上級学年に進級した。しかし、大学は16歳未満の学生を受け入れていなかったため、彼は1821年まで上級クラスにとどまらざるを得なかった。彼はこの期間を利用して知識を深め、ラテン語、ギリシャ語、文献学、歴史、数学などあらゆる科目に興味を示した。この時期に彼はまた、根号を用いて5次方程式を解こうと試みるなど、研究への最初の挑戦も行った。[ 4 ] [ 5 ]
1821年、ヤコビはベルリン大学に入学し、当初は文献学と数学への情熱の間で注意を分散させていた。文献学では、アウグスト・ベックのゼミに参加し、その才能で教授の注目を集めた。ヤコビは当時、ベルリン大学で教えられている数学のレベルが初歩的すぎると感じ、数学の授業にはあまり出席しなかった。代わりに、オイラー、ラグランジュ、ラプラスのより高度な著作を個人的に研究し続けた。1823年までに、ヤコビは相反する興味の間で決断を下す必要があることを理解し、数学に全力を注ぐことを選択した。[ 6 ]同年、彼は中等学校の教員資格を取得し、ベルリンのヨアヒムスタール・ギムナジウムの職を提示された。ヤコビは代わりに大学の職を目指して研究を続けることにした。1825年、彼はエンノ・ディルクセンが率いる委員会の前で、有理分数の部分分数分解に関する論文で哲学博士号を取得した。彼はすぐに教授資格を取得し、同時にキリスト教に改宗した。大学で教える資格を得た21歳のヤコビは、1825/26年にベルリン大学で曲線と曲面の理論について講義を行った。 [ 6 ] [ 7 ]
1826年、ヤコビは私講師となり、翌年には特別教授、そしてついに1829年にはケーニヒスベルク大学の数学の終身教授となり、1842年までその職を務めた。1843年に過労で体調を崩した。その後、数ヶ月間イタリアを訪れて健康を取り戻した。帰国後、ベルリンに移り住み、ごく短い期間を除いて、亡くなるまで王室年金受給者として暮らした。[ 2 ] 1848年の革命中、ヤコビは政治に関与し、自由主義クラブを代表して議会選挙に立候補したが落選した。このため、革命鎮圧後、王室からの年金が打ち切られたが、彼の名声と評判が高かったため、アレクサンダー・フォン・フンボルトの個人的な介入によりすぐに再開された。
ヤコビは1851年に天然痘で亡くなった。彼の墓はベルリンのクロイツベルク地区にある墓地、フリードホーフIデア・ドレイファルティヒカイツ・キルヒェンゲマインデ（バルザー通り61番地）に保存されている。彼の墓は天文学者ヨハン・エンケの墓の近くにある。月のクレーター「ヤコビ」は彼にちなんで名付けられた。
ヤコビの出生名はジャック・シモンで、フランス風の名前である（彼の父親はシモン・ヤコビ）。[ 8 ]後に彼の名前はカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビとドイツ語化され、ラテン語化された形でカロルス・グスタフス・ヤコブス・ヤコビとして出版された。彼はCGJヤコビと呼ばれることもある。
ヤコビの最も偉大な業績の一つは、楕円関数とその楕円シータ関数との関係に関する理論である。これは、彼の偉大な論文『Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum』（1829年）および後のクレレのジャーナルに掲載された論文で展開された。シータ関数は、周期流および準周期流の逆問題における役割のため、数理物理学において非常に重要である。振り子、オイラーのコマ、重力場における対称ラグランジュのコマ、ケプラー問題（中心重力場における惑星の運動）といったよく知られたケースでは、運動方程式はヤコビの楕円関数で積分可能である。
彼はまた、微分方程式の研究や古典力学、特にハミルトン・ヤコビ理論において、根本的な貢献を果たした。
ヤコビの特に優れた能力は主に代数展開にあり、1826 年以降、クレレのジャーナルやその他の媒体に掲載された彼の多数の論文が示すように、彼はこの種の重要な貢献を数学の多くの分野で行いました。[ 2 ]彼は研究テーマを探すときは「常に反転せよ」（ドイツ語原文：「man muss immer umkehren」 ）と学生に言ったと伝えられており、これは既知の結果を反転することで、例えば楕円積分を反転して楕円関数やシータ関数の性質に焦点を当てるなど、新しい研究分野が開かれるという彼の信念を反映しています。 [ 9 ]
ヤコビは1835年の論文で、周期関数（楕円関数を含む）を分類する以下の基本的な結果を証明した。
単変数の一価関数が多重周期関数である場合、そのような関数は2つ以上の周期を持つことはなく、周期の比は実数にはなり得ない。
彼は、関数方程式やヤコビの三重積公式など、シータ関数の多くの基本的な性質を発見したほか、 q級数や超幾何級数に関する多くの結果も発見した。
1854年にワイエルシュトラスが超楕円アベル写像のヤコビ反転問題を解くには、超楕円シータ関数、そして後に任意の種数の代数曲線に対する一般リーマンシータ関数の導入が必要だった。種数に関連付けられた複素トーラス代数曲線、商によって得られる周期の格子による変換は、ヤコビ多様体と呼ばれます。この反転法、およびワイエルシュトラスとリーマンによるその後の任意の代数曲線への拡張は、楕円積分とヤコビまたはワイエルシュトラスの楕円関数との関係の高次種数への一般化と見なすことができます。
ヤコビは、楕円関数を数論に初めて応用した人物であり、例えばフェルマーの2平方定理やラグランジュの4平方定理を証明し、6平方や8平方についても同様の結果を示した。
彼の数論におけるその他の業績はガウスの研究を引き継いだものであり、二次相互法則の新たな証明、ヤコビ記号の導入、高次相互法則への貢献、連分数の研究、ヤコビ和の発明などが挙げられる。
彼はまた、行列式の理論の初期の創始者の一人でもありました。[ 10 ]特に、n 個の独立変数のn個の与えられた関数のn 2個の偏微分から構成されるヤコビ行列式を発明しました。これは多重積分における変数変換や多くの解析的研究において重要な役割を果たします。[ 2 ] 1841 年に、彼はルジャンドルの偏微分∂ 記法を再導入し、これが標準となりました。
彼は、現在シューア多項式として知られる対称多項式を最初に導入・研究した人物の一人であり、これらの多項式に対して、ワイル指標公式の特殊な場合であるいわゆる双交代公式を与え、ヤコビ・トルーディ恒等式を導出した。また、グラスマン多様体のプリュッカー関係の基礎となる行列式のデナノ・ヤコビ公式も発見した。
ベクトル場、リー理論、ハミルトン力学、作用素環論を学ぶ学生は、リー括弧演算における結合法則の類似物であるヤコビ恒等式によく出会う。
惑星理論やその他の特定の力学的問題も、時折彼の関心を引いた。天体力学に貢献する中で、彼は恒星座標系のためのヤコビ積分（1836年）を導入した。彼の最後の乗数理論は、アルフレッド・クレブシュ編集の『力学講義』 （1866年）で扱われている。[ 2 ]
彼は多くの原稿を残しており、その一部はクレレのジャーナルに断続的に掲載されている。彼の他の著作には、『Commentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem』（1832年）、『Canon arithmeticus』（1839年）、『Opuscula mathematica』（1846年～1857年）などがある。彼の全集（1881年～1891年）はベルリン・アカデミーから出版された。[ 2 ]
