孤立点

数学において、点 x は、部分集合S (位相空間X内)の孤立点と呼ばれるのは、 x がSの元であり、 Sの他の点を含まないxの近傍が存在する場合です。これは、単集合{ x }が位相空間S ( Xの部分空間とみなされる) 内の開集合であるということに相当します。別の同等の定式化は、 Sの元x がSの孤立点である場合と、それがSの極限点でない場合に限ります。

空間X が距離空間、たとえばユークリッド空間である場合、 Sの元x がSの孤立点であるとは、 xの周りにSの有限個の元のみを含む開球が存在する場合です。孤立点のみで構成される点集合は、離散集合または離散点集合と呼ばれます(離散空間も参照)。

ユークリッド空間の任意の離散部分集合Sは可算でなければならない。なぜなら、その各点の孤立性と、有理数が実数において稠密であるという事実から、 Sの点は有理座標を持つ点の集合に単射的に写像できるが、そのような点の集合は可算個しかないからである。しかし、すべての可算集合が離散的であるとは限らず、通常のユークリッド計量による有理数はその標準的な例である。

孤立点のない集合は、それ自体が稠密である(ある点のすべての近傍に、その集合の他の点が含まれる)と言われています。孤立点のない閉集合は、完全集合と呼ばれます(その集合のすべての極限点が含まれ、孤立点は含まれません)。

孤立点の数は位相不変量です。つまり、2 つの位相空間 X、Yが同相である場合、それぞれの孤立点の数は等しくなります。

次の 3 つの例の位相空間は、標準位相を持つ 実数直線の部分空間として考えられます。

• 集合の場合、点 0 は孤立点です。${\displaystyle S=\{0\}\cup [1,2],}$
• 集合に対して、各点⁠ ⁠は孤立点ですが、Sには0にできるだけ近い他の点が存在するため、 0は孤立点ではありません。${\displaystyle S=\{0\}\cup \{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots \},}$${\displaystyle {\tfrac {1}{k}}}$
• 自然数の集合は離散集合です。${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$

位相を持つ位相空間では、要素a はの閉包に属しているにもかかわらず（したがって、ある意味ではaに「近い」） 、孤立点です。このような状況は、ハウスドルフ空間ではあり得ません。 ${\displaystyle X=\{a,b\}}$${\displaystyle \tau =\{\emptyset ,\{a\},X\},}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \{a\}}$

モースの補題は、特定の関数の非退化臨界点は孤立していることを述べています。

実数区間(0,1)内の点xの集合Fを考えます。この集合Fでは、 2進表現のすべての桁x _{i が}次の条件を満たします。

• どちらかまたは${\displaystyle x_{i}=0}$${\displaystyle x_{i}=1.}$
• ${\displaystyle x_{i}=1}$有限個のインデックスiに対してのみ。
• mが最大の指数を表し、${\displaystyle x_{m}=1,}$${\displaystyle x_{m-1}=0.}$
• かつ、次の2つの条件のうち1つが成立する場合:または${\displaystyle x_{i}=1}$${\displaystyle i<m,}$${\displaystyle x_{i-1}=1}$${\displaystyle x_{i+1}=1.}$

非公式には、これらの条件は、最後の ...010... を除いて、1 に等しい の 2 進表現のすべての桁が ...0110... のペアに属することを意味します。${\displaystyle x}$

さて、Fは孤立点のみからなる明示的な集合であるが、その閉包は無数集合であるという直感に反する性質を持つ。^[1]

同じ特性を持つ別の集合F は、次のようにして得ることができます。 Cを中央 3 分の 1カントール集合、を の成分区間、F を各I _kからの 1 点からなる集合とします。各I _kにはFからの 1 点のみが含まれるため、Fのすべての点は孤立点です。ただし、p がカントール集合内の任意の点である場合、pのすべての近傍には少なくとも 1 つのI _kが含まれ、したがってFの少なくとも 1 つの点が含まれます。したがって、カントール集合の各点はFの閉包内にあるため、F は無数閉包を持ちます。 ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\ldots ,I_{k},\ldots }$${\displaystyle [0,1]-C}$

• アクノド
• 付着点
• 蓄積ポイント
• 点群

• Weisstein、Eric W.「孤立点」。MathWorld。