ナッシュ埋め込み定理

ジョン・フォーブス・ナッシュ・ジュニアにちなんで名付けられたナッシュ埋め込み定理（または埋め込み定理）は、すべてのリーマン多様体はユークリッド空間に等長的に埋め込むことができると述べています。等長とは、すべての経路の長さが保存されることを意味します。たとえば、紙のページを曲げることはできますが、伸ばしたり破いたりすることはしないと、そのページはユークリッド空間に等長的に埋め込まれます。これは、ページがどのように曲げられても、そのページに描かれた曲線の弧の長さは同じであるためです。

最初の定理は連続的に微分可能な( C ¹ ) 埋め込みに対するもので、2 番目の定理はクラスC ^k、3 ≤ k ≤ ∞ の解析的または滑らかな埋め込みに対するものです。これら 2 つの定理は互いに大きく異なります。最初の定理の証明は非常に簡単ですが、直感に反する結論を導きます。一方、2 番目の定理の証明は技術的で直感に反しますが、それほど意外な結果は導きませ​​ん。

C ¹定理は 1954 年に発表され、C ^k定理は 1956 年に発表されました。実解析定理は 1966 年にナッシュによって初めて扱われ、彼の議論は Greene と Jacobowitz (1971) によって大幅に簡略化されました。(この結果の局所バージョンは 1920 年代に Élie Cartan と Maurice Janet によって証明されました。)実解析の場合、ナッシュ逆関数の議論における平滑化演算子 (以下を参照) はコーシー推定値に置き換えることができます。ナッシュのC ^kの場合の証明は、後にh 原理とナッシュ-モーザー暗黙関数定理に外挿されました。2 番目のナッシュ埋め込み定理のより簡単な証明は、非線形偏微分方程式のセットを楕円系に縮小し、それに収縮写像定理を適用できるようにした Günther (1989) によって得られました。^[1]

m次元リーマン多様体( M , g )が与えられたとき、等長埋め込みは連続的に微分可能な位相埋め込み f : M → ℝ ⁿであり、ユークリッド計量の引き戻しがgに等しい。解析的には、これは (滑らかな座標チャート xに対して) ⁠のシステムとして見ることができる。1/2⁠ n 個の未知（実数値）関数 に対するm ( m + 1) 個の 1 階偏微分方程式:

${\displaystyle g_{ij}(x)=\sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{j}}}.}$

nが⁠より小さい場合1/2⁠ m ( m + 1)の場合、未知数よりも方程式の数が多くなります。この観点から、次の定理によって与えられる等長埋め込みの存在は驚くべきものと考えられます。

ナッシュ・カイパー定理。^[2] ( M , g )をm次元リーマン多様体とし、 f​​ : M → ℝ ^{n を}ユークリッド空間ℝ ⁿへの短い滑らかな埋め込み（または浸漬）とする。ここでn ≥ m + 1 。この写像は等長である必要はない。すると、 gの連続的に微分可能な等長埋め込み（または浸漬） M → ℝ ⁿの列が存在し、これらはfに一様収束する。

この定理はもともとジョン・ナッシュによって、より強い仮定n ≥ m + 2のもとで証明された。彼の方法はニコラス・カイパーによって修正され、上記の定理が導かれた。^{[3] [4]}

ナッシュ・カイパー定理によって生成される等長埋め込みは、しばしば直観に反し、病的であると見なされる。^[5]これらは滑らかに微分可能でないことが多い。例えば、デイヴィッド・ヒルベルトの有名な定理は、双曲面はℝ ³に滑らかに等長的に浸漬できないと主張している。負のスカラー曲率を持つ任意のアインシュタイン多様体は、超曲面として滑らかに等長的に浸漬できない。^[6]また、シー・シェン・チャーンとカイパーの定理では、非正の断面曲率を持つ任意の閉じたm次元多様体は、ℝ ^{2 m – 1}に滑らかに等長的に浸漬できないとさえ言われている。^{[7]さらに、滑らかな等長埋め込みの中には、ナッシュ・カイパー定理における}fのほぼ無制限の選択によって違反される剛性現象を示すものがある。例えば、球面の滑らかな等長超曲面浸漬の像は、それ自体が球面である必要があります。^{[8]対照的に、ナッシュ-カイパー定理は、（例えば）球面を小さな}楕円体として位相的に埋め込むことに任意に近い、球面の連続的に微分可能な等長超曲面浸漬の存在を保証します。

任意の閉じた向き付けられた 2 次元多様体は、ℝ ³に滑らかに埋め込むことができます。このような埋め込みは、任意の小さな定数でスケーリングして、表面上の任意のリーマン計量に対して短くすることができます。ナッシュ-カイパー定理から、外接球の半径が任意に小さい任意のリーマン面の連続微分可能な等長埋め込みが存在することがわかります。対照的に、負に曲がった閉じた表面は、ℝ ³に滑らかに等長に埋め込むことすらできません。^[9]さらに、任意の閉じたリーマン面の任意の滑らかな（またはC ²の）等長埋め込みに対して、埋め込まれた計量の表面積と曲率の観点から、外接球の半径に定量的な（正の）下限があります。^[10]

高次元では、ホイットニーの埋め込み定理からわかるように、ナッシュ・カイパー定理は、任意のm次元の閉じたリーマン多様体は、 2 m次元ユークリッド空間内の任意の小さな近傍への連続微分可能な等長埋め込みを許容することを示しています。ホイットニーの定理は非コンパクト多様体にも適用されますが、そのような埋め込みは、単純に小さな定数でスケーリングして短くすることはできません。ナッシュは、すべてのm次元リーマン多様体は、 ℝ ^{2 m + 1}への連続微分可能な等長埋め込みを許容することを証明しました。^[11]

ナッシュの研究当時、彼の定理は数学的に珍しいものと考えられていた。その結果自体は大きな応用は見つかっていない。しかし、ナッシュの証明方法は、カミロ・デ・レリスとラースロー・セーケイヒディによって、流体力学の数学的研究からのオイラー方程式の、指定された運動エネルギーを持つ低正則解を構成するために採用された。解析的に言えば、オイラー方程式は、未知関数の1次導関数の2次非線形性を介して、等長埋め込み方程式と形式的な類似性を持っている。^[12]ナッシュの証明のアイデアは、ミハイル・グロモフによって、対応するh-原理を伴う凸積分の原理に抽象化された。^{[13]これは}、シュテファン・ミュラーとウラジミール・シュヴェラックによって、変分法における極小微分可能性の最小化を構成するヒルベルトの第19の問題に適用された。^[14]

ナッシュの原著論文に出てくる技術的な記述は次の通りである。Mが与えられたm次元リーマン多様体（解析的 または クラスC ^k、 3 ≤ k ≤ ∞）である場合、数n（Mがコンパクト多様体の場合はn ≤ m (3 m +11)/2 、Mが非コンパクト多様体の場合はn ≤ m ( m +1)(3 m +11)/2 ）と等長埋め込みƒ: M → R ⁿ（これも解析的 または クラスC ^k）が存在する。^[15]つまり、 ƒ はC ^k多様体の埋め込みであり、 Mのすべての点pに対して、導関数dƒ _pは接空間T _p MからR ⁿへの線型写像であり、これはT _p M上の与えられた内積およびR ⁿの標準ドット積と次の意味で互換性がある。

${\displaystyle \langle u,v\rangle =df_{p}(u)\cdot df_{p}(v)}$

T _p Mのすべてのベクトルu、vについて。nが⁠より大きい場合、1/2⁠ m ( m + 1) 、これは偏微分方程式(PDE)の不完全決定系です。

ナッシュの埋め込み定理は、多様体全体がR ⁿに埋め込まれているという意味で、大域定理です。局所的な埋め込み定理ははるかに単純で、多様体の座標近傍における高度な微積分の暗黙関数定理を使用して証明できます。大域的な埋め込み定理の証明は、等長埋め込みに対するナッシュの暗黙関数定理に依存しています。この定理は、他の多くの著者によって抽象的なコンテキストに一般化されており、ナッシュ-モーザー定理として知られています。ナッシュの暗黙関数定理の証明の基本的な考え方は、解を構築するためにニュートン法を使用することです。標準的なニュートン法は、システムに適用すると収束しません。ナッシュは、畳み込みによって定義された平滑化演算子を使用して、ニュートン反復を収束させます。これが、ポストコンディショニングを備えたニュートン法です。この手法が解を提供するという事実は、それ自体が存在定理であり、独立した関心事です。他の文脈では、標準的なニュートン法の収束は、レオニード・カントロヴィッチによって以前に証明されていました。