バナッハ多様体

数学において、バナッハ多様体はバナッハ空間をモデルにした多様体です。つまり、各点がバナッハ空間の開集合に同相な近傍を持つ位相空間です (より複雑で正式な定義は後述します)。バナッハ多様体は、多様体を無限次元に拡張する 1 つの可能性です。

さらに一般化してフレシェ多様体を作成すると、バナッハ空間がフレシェ空間に置き換えられます。一方、ヒルベルト多様体はバナッハ多様体の特殊なケースであり、多様体はヒルベルト空間上に局所的にモデル化されます。

を集合とする。上のクラスのアトラスは、次のような ペア（チャートと呼ばれる）の集合である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{r},}$ ${\displaystyle r\geq 0,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right),}$ ${\displaystyle i\in I,}$

1. それぞれはのサブセットであり、 の和集合は の全体です。${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X}$
2. それぞれはからあるバナッハ空間の開集合への全単射であり、任意の添字に対しては開集合である。${\displaystyle \varphi_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\left(U_{i}\right)}$${\displaystyle E_{i},}$${\displaystyle i{\text{ と }}j,}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$${\displaystyle E_{i};}$
3. クロスオーバーマップは、任意のに対して-回連続的に微分可能な関数です。つまり、番目のフレシェ微分が存在し、の部分集合上の-ノルム位相と上の演算子ノルム位相に関して連続関数です。$${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _ {j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle i,j\in I;}$${\displaystyle r}$ $${\displaystyle \mathrm {d} ^{r}\left(\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}\right):\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \mathrm {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right)}$$${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right).}$

すると、それぞれが開であり、それぞれが同相であるような、上に一意の位相が存在することが示せます。この位相空間はハウスドルフ空間であると仮定されることが多いですが、正式な定義の観点からは必ずしもそうである必要はありません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle \varphi_{i}}$

すべてのバナッハ空間が同じ空間に等しい場合、アトラスは-アトラスと呼ばれます。しかし、バナッハ空間が同じ空間であること、または位相ベクトル空間として同型であることは、先験的に必要ではありません。しかし、2 つのチャートと が、および が空でない交差 を持つようなものである場合、交差写像 の 導関数を簡単に調べると、および は位相ベクトル空間として同型でなければならないことが わかります。さらに、を含み、与えられたバナッハ空間に同型であるチャートが存在する点の集合は、開 と閉 の両方です。したがって、一般性を失うことなく、アトラスの各連結成分上で が、ある固定された に対する -アトラスであると仮定できます。${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)}$${\displaystyle \left(U_{j},\varphi _{j}\right)}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle U_{j}}$$${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _ {j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle E_{j}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E.}$

新しいチャートは、クロスオーバーマップが 任意の- 倍連続微分可能関数である場合、与えられたアトラスと互換性があると呼ばれます。2つのアトラスは、一方のアトラスのすべてのチャートがもう一方のアトラスと互換性がある場合に互換性があると呼ばれます。互換性は、すべての可能なアトラスのクラス上の同値関係を定義します。${\displaystyle (U,\varphi )}$${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\varphi _{i}\right):i\in I\right\}}$$${\displaystyle \varphi _{i}\circ \varphi ^{-1}:\varphi \left(U\cap U_{i}\right)\to \varphi _{i}\left(U\cap U_{私}\右)}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle X.}$

上の-多様体構造は、クラスの上の地図帳の同値類の選択として定義されます。すべてのバナッハ空間が位相ベクトル空間として同型である場合（ が連結されている場合は同型であることが保証されます）、それらがすべて に等しい同値な地図帳が見つかります。バナッハ空間は-多様体と呼ばれるか、 が でモデル化されていると言えます。${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{r}.}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E.}$

すべてのバナッハ空間は、バナッハ多様体として標準的に識別できます。 がバナッハ空間である場合、 は、単一のグローバルに定義されたチャート (恒等写像) を含むアトラスを持つバナッハ多様体です。 ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$${\displaystyle X}$

同様に、 が何らかのバナッハ空間の開部分集合である場合、 はバナッハ多様体です。(下記の分類定理を参照してください。) ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

次元の有限次元多様体が に大域的に同相である、あるいは の開集合であるということは、決して正しくありません。しかし、無限次元の設定では、同相まで「行儀の良い」バナッハ多様体を非常にうまく分類することができます。1969 年のDavid Henderson ^[1]の定理によれば、すべての無限次元で可分な計量バナッハ多様体は、無限次元で可分なヒルベルト空間 の開集合として埋め込むことができます(線型同型まで、そのような空間は 1 つしか存在せず、通常は と同一視されます)。実際、Henderson の結果はより強力で、同じ結論が、可分な無限次元フレシェ空間に基づいてモデル化された任意の計量多様体に対して成り立ちます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \ell^{2}}$

埋め込み同相写像は、グローバルチャートとして使用できます。したがって、無限次元、可分、計量の場合、「唯一の」バナッハ多様体はヒルベルト空間の開集合です。 ${\displaystyle X.}$

• バナッハ束 – 繊維がバナッハ空間を形成するベクトル束フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• フレシェ空間における差別化
• フィンスラー多様体 – リーマン多様体の一般化
• フレシェ多様体 - 多様体がユークリッド空間上にモデル化されるのとほぼ同じ方法でフレシェ空間上にモデル化された位相空間フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 大域解析- バナッハ多様体やその他の無限次元多様体を使用する
• ヒルベルト多様体 – ヒルベルト空間をモデルにした多様体

• アブラハム、ラルフ、マースデン、JE、ラティウ、チューダー (1988)。『多様体、テンソル解析、および応用』ニューヨーク: シュプリンガー。ISBN 0-387-96790-7。
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• Anderson, RD; Schori, R. (1969). 「無限次元多様体の因子」(PDF) .アメリカ数学会誌. 142 . アメリカ数学会 (AMS): 315–330. doi :10.1090/s0002-9947-1969-0246327-5. ISSN  0002-9947.
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• ラング、セルジュ(1972)。『微分多様体』マサチューセッツ州レディング、ロンドン、オンタリオ州ドン・ミルズ: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.
• Zeidler, Eberhard (1997).非線形関数解析とその応用. 第4巻. Springer-Verlag New York Inc.