外科理論

X、Yが境界を持つ多様体である場合、積多様体の境界は

${\displaystyle \partial (X\times Y)=(\partial X\times Y)\cup (X\times \partial Y).}$

手術を正当化する基本的な観察は、空間が$${\displaystyle S^{p}\times S^{q-1}}$$境界として理解できる$${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$$または境界として$\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$記号で表すと、

${\displaystyle \partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)=S^{p}\times S^{q-1}=\partial \left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right)}$、

どこ${\displaystyle D^{q}}$はq次元ディスク、すなわち、 の点の集合である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$与えられた固定点（円盤の中心）から距離が1以下である点。例えば、${\displaystyle D^{1}}$は単位区間と同相であるが、${\displaystyle D^{2}}$それは、円とその内部にある点群を合わせたものです。

さて、次元の多様体Mが与えられた${\displaystyle n=p+q}$そして埋め込み${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$別のn次元多様体を定義する${\displaystyle M'}$である

${\displaystyle M':=\left(M\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi ))\right)\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

以来${\displaystyle \operatorname {im} (\phi )=\phi (S^{p}\times D^{q})}$そして、先ほどの基本的な観察から得られた方程式から、接着は正当化される。

${\displaystyle \phi \left(\partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)\right)=\phi \left(S^{p}\times S^{q-1}\right).}$

多様体M ′は外科手術で切り取られて生成されるとある。$\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$そして接着する$${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$$または、pの数を指定したい場合はp手術によって行う。厳密に言えば、M ′ は角のある多様体だが、それらを滑らかにする標準的な方法がある。Mで置き換えられた部分多様体はMと同じ次元であった（余次元は 0 であった）ことに注意する。

手術はハンドル取り付けと密接に関連しているが、同じではない。${\displaystyle (n+1)}$境界を持つ多様体${\displaystyle (L,\部分 L)}$そして埋め込み$\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to \partial L}$、 どこ${\displaystyle n=p+q}$別の定義${\displaystyle (n+1)}$境界L ′を持つ多様体

${\displaystyle L':=L\;\cup _{\phi }\left(D^{p+1}\times D^{q}\right).}$

多様体L ′は「${\displaystyle (p+1)}$-ハンドル」で${\displaystyle \partial L'}$から入手${\displaystyle \partial L}$p手術によって

${\displaystyle \partial L'=(\partial L\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi )))\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times D^{q}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

Mに対する手術は、新しい多様体M ′を生成するだけでなく、MとM ′の間のコボルディズムWも生成する。手術の痕跡はコボルディズムである。${\displaystyle (W;M,M')}$、 と

${\displaystyle W:=(M\times I)\;\cup _{\phi \times \{1\}}\left(D^{p+1}\times D^{q}\right)}$

の${\displaystyle (n+1)}$境界を持つ次元多様体${\displaystyle \partial W=M\cup M'}$製品から得られた${\displaystyle M\times I}$添付することで${\displaystyle (p+1)}$-ハンドル$${\displaystyle D^{p+1}\times D^{q}}$$。

手術は、多様体MをM ′から再取得できるという意味で対称的である。${\displaystyle (q-1)}$-手術痕は、方向付けまで含めて、元の手術痕と一致する。

ほとんどの応用例では、多様体Mには、参照空間への写像や追加の束データなど、追加の幾何学的構造が付随しています。そして、手術プロセスによってM ′ に同じ種類の追加構造を付与したいと考えます。例えば、手術理論における標準的なツールとして、正規写像に対する手術があります。このプロセスでは、正規写像を同じ境界クラス内の別の正規写像に変換します。

直感的に言えば、手術のプロセスは、細胞を位相空間に取り付ける多様体アナログであり、埋め込みは${\displaystyle \phi }$添付マップの代わりになります。${\displaystyle (p+1)}$n 次元の理由から、 n次元多様体への n 次元セルの変換は多様体構造を破壊するため、別のセルとの交差によって厚みを増す必要がある。

ホモトピーまでは、埋め込みに対する手術のプロセス${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$は、${\displaystyle (p+1)}$-セルによってトレースのホモトピー型が与えられ、q -セルを分離してNを得る。分離プロセスの必要性は、ポアンカレ双対性の効果として理解できる。

空間にセルを付加することで、その空間のホモトピー群の要素を消去できるのと同様に、多様体M上のp手術は、要素を消去するためによく用いられる。${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$ただし、2つの点が重要です。まず、要素${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$埋め込みによって表現可能である必要がある${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$（これは、自明な法束で対応する球を埋め込むことを意味します）。たとえば、向きを反転するループに対して手術を行うことはできません。次に、分離プロセスの影響を考慮する必要があります。なぜなら、それは検討中のホモトピー群にも影響を与える可能性があるからです。大まかに言えば、この2番目の点は、pがMの次元の少なく​​とも半分のオーダーである場合にのみ重要です。 

ウィリアム・ブラウダー、セルゲイ・ノビコフ、デニス・サリバン、CTCウォールらが開発した古典的なアプローチでは、 1次の正規マップに対して手術が行われます。手術を用いると、「正規マップは${\displaystyle f\colon M\to X}$「次数が 1 で、ホモトピー同値と一致するか？」は、（4 次元より大きい次元では）群環のL 群の何らかの要素に関する代数的記述に翻訳できる。${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$より正確には、手術による閉塞が${\displaystyle \sigma (f)\in L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$はゼロであり、nはMの次元である。

例えば、次元n = 4kが 4 の倍数である場合を考えてみましょう。${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$知られているように、${\displaystyle L_{4k}(\mathbb {Z} )}$整数と同型である${\displaystyle \mathbb {Z} }$この同型性の下では、 fの手術による障害は、署名の差に比例する。${\displaystyle \sigma (X)-\sigma (M)}$XとMの。したがって、次数 1 の正規写像は、定義域と値域の符号が一致する場合に限り、ホモトピー同値とコボルダントである。

前述の「存在」の問題に戻ると、空間X が滑らかな多様体のホモトピー型を持つのは、手術障害が消滅する次数 1 の正規写像を受け取る場合に限ることがわかります。これは多段階の障害プロセスにつながります。正規写像について語るためには、X はポアンカレ複体になる適切なバージョンのポアンカレ双対性を満たす必要があります。X がポアンカレ複体であると仮定すると、ポントリャーギン・トム構成により、次数 1 のXへの正規写像が存在するのは、 Xのスピヴァク正規ファイブレーションが安定ベクトル束に還元される場合に限ることがわかります。次数 1 のXへの正規写像が存在する場合、それらの境界クラス (正規不変量と呼ばれる) は、ホモトピークラスの集合によって分類されます。${\displaystyle [X,G/O]}$これらの正規不変量のそれぞれに手術障害が存在します。Xが滑らかな多様体のホモトピー型を持つのは、これらの障害のいずれかがゼロである場合に限ります。言い換えれば、手術障害写像の下でゼロ像を持つ正規不変量が選択できるということです。

${\displaystyle [X,G/O]\to L_{n}\left(\mathbb {Z} \left[\pi _{1}(X)\right]\right).}$

構造集合の概念は、存在と一意性の両方の問題に対する統一的な枠組みである。大まかに言えば、空間Xの構造集合は、ある多様体からXへのホモトピー同値M → Xからなり、2 つの写像は境界型関係の下で同一視される。空間Xの構造集合が空でないための必要条件 (一般には十分条件ではない) は、X がn次元ポアンカレ複体であること、すなわちホモロジー群とコホモロジー群が同型によって関連付けられていることである。${\displaystyle H^{*}(X)\cong H_{n-*}(X)}$n次元多様体の、ある整数nについて。多様体の正確な定義とカテゴリ (滑らかな、PLまたは位相的) に応じて、構造セットにはさまざまなバージョンがあります。s-コボルディズム定理により、多様体間の特定のボルディズムは (それぞれのカテゴリで) シリンダーと同型であるため、構造セットの概念は微分同相写像まで分類することを可能にします。

構造集合と手術障害マップは、手術厳密シーケンスで統合されます。このシーケンスにより、手術障害マップ（およびその相対バージョン）が理解されれば、ポアンカレ複体の構造集合を決定できます。重要なケースでは、手術厳密シーケンスを用いて、滑らかな構造集合または位相構造集合を計算できます。例としては、エキゾチック球の分類、負曲率多様体および双曲型基本群を持つ多様体に対するボレル予想の証明などが挙げられます。

位相的カテゴリーにおいて、手術完全系列はスペクトルのファイブレーション系列によって誘導される長完全系列である。これは、系列に含まれるすべての集合が実際にはアーベル群であることを意味する。スペクトルレベルでは、手術障害マップは、ファイバーが対応する多様体のブロック構造空間であるアセンブリマップである。