多様体の分類

数学、特に幾何学と位相幾何学において、多様体の分類は基本的な問題であり、これについては多くのことが分かっているが、多くの未解決の問題が残っている。

• 低次元多様体は幾何学的構造によって分類され、高次元多様体は代数的、手術理論によって分類されます。

「低次元」とは 4 次元までを意味し、「高次元」とは 5 次元以上を意味します。次元 4 の場合は、「低次元」の動作がスムーズに (ただし位相的にはそうではない) 現れるため、ある意味境界例です。「低」次元と「高」次元に関する説明を参照してください。

• 多様体の異なるカテゴリは異なる分類を生み出します。これらは「構造」の概念によって関連付けられており、より一般的なカテゴリにはより明確な理論があります。
• 正の曲率は制約され、負の曲率は一般的です。
• 高次元多様体の抽象的な分類は効果的ではありません。2 つの多様体 (たとえば、 CW 複体として表現される) が与えられた場合、それらが同型であるかどうかを判断するアルゴリズムは存在しません。

正式には、多様体を分類するということは、同型性までオブジェクトを分類することです。「多様体」にはさまざまな概念があり、それに対応する「多様体間の写像」の概念も多数あります。それぞれが異なるカテゴリと異なる分類問題を生み出します。

これらのカテゴリは忘却関手によって関連付けられます。たとえば、微分可能多様体は位相多様体でもあり、微分可能写像は連続でもあるため、関手が存在します。 ${\displaystyle {\mbox{Diff}}\to {\mbox{Top}}}$

これらの関数は一般に、オブジェクト上で 1 対 1 でもなく、全射でもありません。これらの失敗は、次のように「構造」という用語で一般的に言及されます。 の像にある位相多様体は「微分可能な構造を許容する」と言われ、与えられた位相多様体上のファイバーは「与えられた位相多様体上の異なる微分可能な構造」です。 ${\displaystyle {\mbox{Diff}}\to {\mbox{Top}}}$

したがって、2 つのカテゴリが与えられた場合、2 つの自然な質問は次のようになります。

• 特定のタイプのどの多様体が追加の構造を許容しますか?
• 追加の構造が許容される場合、許容される構造の数はいくつですか?

より正確に言えば、追加構造のセットの構造は何ですか?

より一般的なカテゴリでは、この構造セットにはさらに構造があります。Diff では単なるセットですが、Top ではグループであり、関数的にもグループです。

これらの構造の多くはG 構造であり、問​​題は構造群の縮小です。最もよく知られている例は向き付け可能性です。向き付け可能な多様体もあれば、そうでないものもあります。向き付け可能な多様体は 2 つの向きを許容します。

分類を行う一般的な方法は 2 つあります。列挙によって明示的に行う方法と、不変条件に基づいて暗黙的に行う方法です。

たとえば、有向面の場合、面の分類では、それらをトーラスの連結和として列挙し、それらを分類する不変量は種数またはオイラー特性です。 ${\displaystyle n\geq 0}$

多様体には、次のような豊富な不変量があります。

• 点集合トポロジー
  • コンパクトさ
  • つながり
• 古典的な代数的位相幾何学
  • オイラー特性
  • 基本グループ
  • コホモロジー環
• 幾何学的トポロジー
  • 正規不変量（向き付け可能性、特性クラス、特性数）
  • 単純ホモトピー（ライデマイスター捩れ）
  • 手術理論

異常（コ）ホモロジーなどの 現代代数位相幾何学（コボルディズム理論を超える）は、多様体の分類ではほとんど使用されません。これらの不変量はホモトピー不変であり、したがってホモトピー型を超えるより細かい分類には役立たないからです。

コボルディズム群（点のボルディズム群）は計算されますが、空間のボルディズム群（など）は一般に計算されません。 ${\displaystyle MO_{*}(M)}$

点集合の分類は基本的なものです。一般的には、点集合の仮定を固定し、そのクラスの多様体を研究します。最も頻繁に分類される多様体のクラスは、閉じた連結多様体です。

多様体は均質（境界から離れたところ）であるため、次元と境界と内部関係以外には局所的な点集合不変量がなく、最もよく使われるグローバルな点集合特性はコンパクト性と連結性です。これらの組み合わせの慣例的な名前は次のとおりです。

• コンパクト多様体とは、境界を持つ可能性があり、必ずしも連結ではない（ただし、有限個の成分を持つ必要がある）コンパクト多様体です。
• 閉じた多様体は境界のないコンパクトな多様体であり、必ずしも連結されているわけではありません。
• 開多様体とは、境界がなく（必ずしも接続されているとは限らない）、コンパクトな成分を持たない多様体です。

たとえば、はコンパクト多様体、は閉多様体、 は開多様体ですが、 はこれらのいずれでもありません。 ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle [0,1)}$

オイラー特性はホモロジー不変量であるため、CW構造が与えられれば効果的に計算できるため、2次元多様体はホモロジー的に分類されます。

特性類と特性数は、対応する一般化されたホモロジー不変量ですが、高次元の多様体を分類しません（不変量の完全なセットではありません）。たとえば、有向 3 次元多様体は並列化可能であるため（低次元位相におけるスティーンロッドの定理）、すべての特性類は消えます。高次元では、特性類は一般に消えず、有用ではあるものの完全ではないデータを提供します。

4 次元以上の多様体は効果的に分類できません。CW複体またはハンドルボディとして表現された2 つのn多様体 ( ) が与えられた場合、それらが同型 (同相、微分同相) であるかどうかを判断するアルゴリズムはありません。これは、群の単語問題、より正確には自明性問題 (群の有限表現が与えられた場合、それは自明群であるか?) が解決不可能なためです。群の任意の有限表現は 2 複体として実現でき、4 次元多様体 (またはそれ以上) の 2 スケルトンとして実現できます。したがって、与えられた高次元多様体の基本群を計算することすらできず、分類はなおさらです。 ${\displaystyle n\geq 4}$

この無効性は、手術理論が同相写像まで多様体を分類しない根本的な理由です。代わりに、任意の固定多様体Mに対して、同相写像とホモトピー同値が存在する場合に同値と見なされる、多様体Nとホモトピー同値、そのような 2 つのペア、および とのペアを分類します。 ${\displaystyle (N,f)}$${\displaystyle f\colon N\to M}$${\displaystyle (N,f)}$${\displaystyle (N',f')}$${\displaystyle h\colon N\to N'}$${\displaystyle f'h\sim f\colon N\to M}$

リーマン幾何学における多くの古典的な定理は、正の曲率を持つ多様体は制約されていることを示しており、最も劇的なのは1/4 挟まれた球面定理です。逆に、負の曲率は一般的です。たとえば、次元の任意の多様体は、負のリッチ曲率を持つ計量を許容します。 ${\displaystyle n\geq 3}$

この現象は、曲面の場合にすでに明らかです。正の曲率を持つ単一の向き付け可能な（および単一の向き付け不可能な）閉じた曲面（球面と射影平面）があり、曲率がゼロの場合も同様です（トーラスとクラインの壺）。また、より高い種数の曲面はすべて、負の曲率測定基準のみを許容します。

3次元多様体についても同様です。8つの幾何学のうち、双曲的幾何学以外はすべて非常に制約されています。

• 次元 0 は単純で、次元 1 は単純です。
• 低次元多様体 (次元 2 および 3) は幾何学を許容します。
• 中次元多様体（微分可能次元 4）は異常な現象を示します。
• 高次元多様体（微分的には5次元以上、位相的には4次元以上）は、手術理論によって分類されます。

したがって、次元 4 の微分可能多様体は最も複雑です。低次元のように幾何化できず、高次元や位相のように手術で分類できず、異常な現象、最も顕著なのはR ⁴上の無限に多い異常な微分可能構造を示します。特に、微分可能 4 次元多様体は、一般化されたポアンカレ予想の唯一残された未解決ケースです。

高次元多様体に対して低次元の視点から見ると、「どの高次元多様体が幾何化可能か？」という疑問が生じます。これは、幾何化可能のさまざまな概念（3 次元やシンプレクティック多様体などのように、幾何化可能な部分に分割する）についてです。4 次元以上では、すべての多様体が幾何化可能というわけではありませんが、興味深いクラスです。

逆に、低次元多様体に対して高次元の視点から「手術は低次元多様体に対して何を予測するのか？」と問うことができます。つまり、「手術が低次元で機能する場合、低次元多様体はどのように見えるのか？」ということです。次に、低次元多様体の実際の理論を高次元多様体の低次元類似体と比較し、低次元多様体が「予想どおり」に動作するかどうかを確認します。つまり、どのような点で高次元多様体のように動作するのか（ただし、理由が異なるか、または証明が異なるため）、またどのような点で異常なのかを確認します。

点という唯一の連結された 0 次元多様体があり、連結されていない 0 次元多様体は、濃度によって分類される単なる離散集合です。それらには幾何学がなく、それらの研究は組合せ論です。

連結した境界のないコンパクトな 1 次元多様体は、円に同相（または滑らかな場合は微分同相）です。2番目の可算な非コンパクトな 1 次元多様体は、実数直線に同相または微分同相です。2 番目の可算性の仮定を捨てると、長直線と、実数直線の半直線と長直線の半直線が点で交わる空間という 2 つの多様体が追加されます。^[1]

1 次元多様体のマップの研究は、重要な分野です。たとえば、

• 1次元多様体の微分同相群を詳細に理解するのは非常に難しい^[2]
• 円から 3 次元球面 (またはより一般的には任意の 3 次元多様体) への写像は、結び目理論の一部として研究されます。

均一化定理により、連結された2次元の閉じた多様体（曲面）はすべて一定の曲率計量を持つことができます。^[3]このような曲率は3つあります（正、ゼロ、負）。これは古典的な結果であり、前述のように簡単です（完全な均一化定理はより微妙です）。曲面の研究は複素解析や代数幾何学と深く関係しており、すべての向き付け可能な曲面はリーマン面または複素代数曲線と見なすことができます。曲面の分類は古典的ですが、曲面の写像はアクティブな分野です。以下を参照してください。

あらゆる閉じた 3 次元多様体は、幾何化予想によって幾何化可能な部分に分割することができ、そのような幾何学は 8 つあります。これは最近の結果であり、非常に困難です。証明 (ポアンカレ予想の解決) は解析的であり、位相的ではありません。

4 次元多様体は最も珍しいものです。4 次元多様体は (低次元のように) 幾何学的に表現できず、操作は位相的には機能しますが、微分的には機能しません。

位相的には、4 次元多様体は手術によって分類されるため、微分可能分類の質問は「微分可能構造」という観点から表現されます。「どの (位相的) 4 次元多様体が微分可能構造を許容するか、そして、そのような 4 次元多様体には微分可能構造がいくつあるか」

4次元多様体は、多くの珍しい微分可能構造を許容することが多く、最も顕著なのは、R ⁴上の非可算な無限個の異常な微分可能構造です。同様に、微分可能4次元多様体は、一般化されたポアンカレ予想の唯一残された未解決の場合です。

5次元以上（位相的には4次元）では、多様体は手術理論によって分類されます。

次元が 5 である理由は、ホイットニー トリックが次元 5 以上では中間次元で機能するからです。一般的な位置( ) により、2 つのホイットニー ディスクは一般的に次元 5 以上では交差しません。次元 4 では、2 つのホイットニー ディスクの交差をCasson ハンドル を介して解決できます。これは位相的には機能しますが、微分的には機能しません。次元の詳細については、幾何学的位相: 次元を参照してください。 ${\displaystyle 2+2<5}$

より微妙なことに、中間の次元の余次元が2 より大きいため、次元 5 がカットオフになります。余次元が 2 の場合、結び目理論に遭遇しますが、余次元が 2 より大きい場合、関数の計算を介して埋め込み理論が扱いやすくなります。これについては、以下でさらに説明します。

圏論の観点から見ると、多様体の分類は圏を理解するための一つの要素、つまりオブジェクトを分類することです。もう一つの問題は、多様体の写像を様々な同値性まで分類することであり、この分野には多くの結果と未解決の問題があります。

マップの場合、「低次元」の適切な概念は、いくつかの目的では「低次元多様体の自己マップ」であり、他の目的では「低共次元」です。

• 1次元: 円の同相写像
• 2次元:写像類群とトレリ群

多様体の分類と同様に、高共次元（2 以上を意味する）では埋め込みは手術によって分類されますが、低共次元または相対次元では埋め込みは固定かつ幾何学的であり、中間（共次元 2）では難しいエキゾチックな理論（結び目理論）があります。

• 共次元が 2 より大きい場合、埋め込みは手術理論によって分類されます。
• 余次元 2 では、特に 1 次元多様体の 3 次元多様体への埋め込みには結び目理論が存在します。
• 余次元 1 では、余次元 1 の埋め込みによって多様体が分離され、これらは扱いやすくなります。
• 余次元 0 では、余次元 0 (適切な) 浸漬は被覆空間であり、代数的に分類され、より自然には浸漬として考えられます。
• 相対次元では、コンパクト領域を持つ沈み込みはファイバー束であり（共次元 0 = 相対次元 0 の場合と同様に）、代数的に分類されます。

特に位相的に興味深いマップのクラスには、埋め込み、浸漬、および沈没が含まれます。

幾何学的に興味深いのは、等長投影と等長投影浸漬です。

埋め込みと浸漬の基本的な結果は次のとおりです。

• ホイットニー埋め込み定理
• ホイットニーの浸漬定理
• ナッシュ埋め込み定理
• スメール＝ヒルシュの定理

これらの地図を研究するための主なツールは次のとおりです。

• グロモフのh原理
• 関数の計算

マップはさまざまな同値性に分類できます。

• ホモトピー
• コボルディズム
• 一致
• 同位体

コボルディズムまでの微分同相写像はマティアス・クレック^{[4]によって分類されている。}

• ホロノミー群のバーガー分類。

• Kreck, Matthias (2000)。「多様体の​​分類ガイド」。プリンストン大学出版局 eBook パッケージ 2014。外科理論の調査 (AM - 145)。第 1 巻。プリンストン大学出版局。pp. 121–134。doi :10.1515/ 9781400865192-009。ISBN 978-1-4008-6519-2。