リーマン沈み込み

数学の一分野である微分幾何学において、リーマン沈み込みとは、計量を尊重するあるリーマン多様体から別のリーマン多様体への沈み込みであり、接空間への直交射影であることを意味します。

( M , g )と( N , h )を2つのリーマン多様体と（射影的）沈み込み、つまりファイバー多様体とします。水平分布は、射影と計量の両方に依存する接線束の部分束です。 ${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle K:=\mathrm {ker} (df)^{\perp }}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

このとき、すべての に対してベクトル空間同型が等長的、すなわち長さ保存的である場合に限り、 f はリーマン沈み込みと呼ばれます。 ^[1]${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle (df)_{x}:K_{x}\rightarrow T_{f(x)}N}$

リーマン沈み込みの例は、リー群が リーマン多様体に等長的に、自由に、適切に作用するときに生じます。商計量を備えた商空間への射影は、リーマン沈み込みです。たとえば、を単位複素数群で成分ごとに乗算すると、ホップファイバリング が生成されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \pi :M\rightarrow N}$ ${\displaystyle N=M/G}$${\displaystyle S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}}$

リーマン沈み込みのターゲット空間の断面曲率は、バレット・オニールにちなんで名付けられたオニールの公式によって全空間の曲率から計算できる。

${\displaystyle K_{N}(X,Y)=K_{M}({\チルダ {X}},{\チルダ {Y}})+{\tfrac {3}{4}}|[{\チルダ{X}},{\チルダ {Y}}]^{V}|^{2}}$

ここで、は 上の正規直交ベクトル場であり、それらの水平方向の持ち上げは までであり、はベクトル場のリー括弧であり、 はベクトル場の垂直分布への射影です。 ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\チルダ {X}},{\チルダ {Y}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle [*,*]}$${\displaystyle Z^{V}}$${\displaystyle Z}$

特に、 の断面曲率の下限は、の断面曲率の下限と少なくとも同じ大きさです。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

• 繊維束
• サブメトリ
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• マニホールド

• ギルキー、ピーター B.、リーヒ、ジョン V.、パーク、ジョンヒョン (1998)、「スピノル、スペクトル幾何学、およびリーマン沈み込み」、ソウル国立大学グローバル解析研究センター。
• バレット・オニール。沈み込みの基本方程式。ミシガン数学誌 13 (1966)、459–469。doi :10.1307/ mmj /1028999604