モース理論

数学、特に微分位相幾何学において、モース理論は、多様体上の微分可能関数を調べることによって多様体の位相を解析することを可能にします。マーストン・モースの基本的な洞察によれば、多様体上の典型的な微分可能関数は位相をかなり直接的に反映します。モース理論は、多様体上のCW 構造を見つけて分解を処理し、それらの相同性に関する重要な情報を得ることを可能にします。

モース以前には、アーサー・ケイリーとジェームズ・クラーク・マクスウェルが地形学の分野でモース理論のアイデアのいくつかを展開していた。モースはもともと彼の理論を測地線（経路空間上のエネルギー関数の臨界点）に適用した。これらの技術は、ラウル・ボットの周期性定理の証明に使用された。

複素多様体に対するモース理論の類似物はピカール・レフシェッツ理論です。

例として、山岳地形面（より一般的には多様体）を考えてみましょう。 が各点の標高を与える関数である場合、の点の逆像は等高線（より一般的にはレベルセット）です。 等高線の各連結成分は、点、単純な閉曲線 、または 2 つの点 を持つ閉曲線 のいずれかです。等高線には、より高次の点（3 重点など）が含まれる場合もありますが、これらは不安定であり、地形をわずかに変形するだけで除去できます。 等高線内の 2 つの点は、周囲の地形が一方の方向に上向きにカーブし、もう一方の方向に下向きにカーブしている鞍点またはパスで発生します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

この地形を水で満たすと想像してください。水が標高 に達すると、水面下は、標高またはそれ以下の点になります。水位が上昇するにつれて、この表面のトポロジがどのように変化するかを考えてみましょう。が臨界点の高さを通過するとき (の勾配は ) を除いて、トポロジは変化しません(より一般的には、接空間間の線形写像として機能するヤコビ行列は最大階数を持ちません)。言い換えると、水が (1) 盆地を満たし始めるとき、(2) 鞍部 (峠) を覆うとき、または (3) 山頂を水没させるときを除いて、のトポロジは変化しません。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle M^{a}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,f^{-1}(-\infty ,a]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle M^{a}}$

これら 3 種類の臨界点、つまり、ベイスン、パス、ピーク (つまり、最小値、鞍部、最大値) には、インデックスと呼ばれる数値が関連付けられます。インデックスは、点から が減少する独立した方向の数です。より正確には、 の非退化臨界点のインデックスは、のヘッセ行列が負の定数値となる、 におけるへの接空間の最大部分空間の次元です。ベイスン、パス、ピークのインデックスは、それぞれ と です。${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0,1,}$${\displaystyle 2,}$

より一般的な表面を考えてみましょう。図のように方向付けられたトーラスを、再び平面からその高さまで点を取ったとします。水位が上昇すると水中表面のトポロジーがどのように変化するかを再び分析できます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M^{a}}$${\displaystyle a}$

トーラスの底から始めて、インデックス と の 4 つの臨界点をそれぞれ、盆地、2 つの鞍部、およびピークに対応するものとします。がより小さい場合、は空集合です。がのレベルを通過した後、はディスクになり、これは空集合に「接続」された点 (0 セル) とホモトピー等価です。 次に、 がのレベルを超え、は円筒になり、 は 1 セルが接続されたディスクとホモトピー等価です (左の図)。 がのレベルを通過した後、はディスクが削除されたトーラスになり、これは1 セルが接続された円筒とホモトピー等価です(右の図)。 最後に、が の臨界レベルより大きい場合、 はトーラス、つまりディスク (2 セル) が削除されて再接続されたトーラスです。 ${\displaystyle p,q,r,}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 0,1,1,}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(p)=0,}$${\displaystyle M^{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle 0<a<f(q),}$${\displaystyle M^{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q,}$${\displaystyle f(q)<a<f(r),}$${\displaystyle M^{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle f(r)<a<f(s),}$${\displaystyle M^{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle M^{a}}$

これは、次の規則を示しています。 のトポロジーは、が臨界点の高さを通過する場合を除いて変化しません。 この時点で、 - セルが に付加されます( は点のインデックス)。 これは、2 つの臨界点が同じ高さにある場合に何が起こるかには対処していません。 これは、 をわずかに摂動させることで解決できます。ユークリッド空間に埋め込まれたランドスケープまたは多様体の場合、この摂動は単にわずかに傾き、座標系を回転させるだけかもしれません。 ${\displaystyle M^{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle M^{a}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle f.}$

臨界点が非退化になるように注意する必要があります。何が問題を引き起こすかを確認するには、 を とし、 とします。するとはの臨界点ですが、 のトポロジーはがを通過しても変化しません。問題は、2 次導関数が になることです。つまり、のヘッセ行列が消え、臨界点が退化しています。を にわずかに変形すると、退化した臨界点が削除されるか ( )、2 つの非退化臨界点に分解される ( )ため、この状況は不安定です。 ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=x^{3}.}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle M^{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle f''(0)=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=x^{3}+\epsilon x}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \epsilon <0}$

微分可能多様体上の実数値の滑らかな関数に対して、 の 微分が消える点はの臨界点と呼ばれ、 の下でのその像は臨界値と呼ばれる。臨界点において2次偏導関数の行列（ヘッセ行列）が非特異である場合、 はと呼ばれる。${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$非退化臨界点。ヘッセ行列が特異な場合は、${\displaystyle p}$退化した臨界点。

から への関数は、 の場合に原点に臨界点を持ち、の場合(つまり、が形式)は非退化であり、 の場合(つまり、が形式) は退化しています。退化した臨界点のそれほど自明ではない例として、モンキーサドルの原点が挙げられます。 $${\displaystyle f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots }$$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle b=0,}$${\displaystyle c\neq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a+cx^{2}+\cdots }$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a+dx^{3}+\cdots }$

の非退化臨界点の指数は、ヘッセ行列が負定値となるにおけるへの接空間の最大部分空間の次元です。これは、指数が が減少する方向の数であるという直感的な概念に対応します。シルベスターの法則で示されるように、臨界点の退化と指数は、使用される局所座標系の選択とは無関係です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$

を の非退化臨界点とすると、 の近傍に、すべての に対して、 全体にわたってとなるチャート が 存在する。ここで はにおけるの指数に等しい。モースの補題の系として、非退化臨界点は孤立していることがわかる。(複素領域への拡張については、複素モースの補題を参照。一般化については、モース-パレの補題を参照)。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle f:M\to R.}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x_{i}(p)=0}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle f(x)=f(p)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\gamma }^{2}+x_{\gamma +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$$${\displaystyle U.}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$

多様体上の滑らかな実数値関数は、退化した臨界点を持たない場合、モース関数です。モース理論の基本的な結果によると、ほとんどすべての関数はモース関数です。技術的には、モース関数は、位相におけるすべての滑らかな関数の開いた密なサブセットを形成します。これは、「典型的な関数はモースである」または「一般的な関数はモースである」と表現されることがあります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle C^{2}}$

前述のように、私たちが興味を持っているのは、が変化すると のトポロジーがいつ変化するかという問題です。この質問に対する答えの半分は、次の定理によって与えられます。 ${\displaystyle M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]}$${\displaystyle a}$

定理。が上の滑らかな実数値関数で、がコンパクトで、と の間に臨界値がないとする。 すると はに微分同相で、 に変形が収縮する。${\displaystyle f}$${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle a<b,}$ ${\displaystyle f^{-1}[a,b]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b.}$${\displaystyle M^{a}}$${\displaystyle M^{b},}$${\displaystyle M^{b}}$ ${\displaystyle M^{a}.}$

が臨界点を通過する ときにのトポロジーがどのように変化するかを知ることも興味深いことです。次の定理がその質問に答えます。${\displaystyle M^{a}}$${\displaystyle a}$

定理。 は上の滑らかな実数値関数であり、は指数のの非退化臨界点であり、 が コンパクトであり、 以外に臨界点を含まないとします。この場合、 は- セルが付属した とホモトピー同値です。${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \gamma ,}$${\displaystyle f(p)=q.}$${\displaystyle f^{-1}[q-\varepsilon ,q+\varepsilon ]}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle M^{q+\varepsilon }}$${\displaystyle M^{q-\varepsilon }}$${\displaystyle \gamma }$

これらの結果は、前のセクションで述べた「ルール」を一般化し、形式化します。

前の 2 つの結果と、任意の微分可能多様体上にモース関数が存在するという事実を使用すると、任意の微分可能多様体は、インデックスの各臨界点に対して -セルを持つ CW 複体であることを証明できます。 これを行うには、各臨界レベルに 1 つの臨界点を持つように配置できるという技術的な事実が必要です。これは通常、勾配のようなベクトル場を使用して臨界点を再配置することで証明されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n.}$

モース理論は、多様体のホモロジーに関するいくつかの強力な結果を証明するために使用できます。のインデックスの臨界点の数は、 「クライミング」から得られる上の CW 構造のセルの数に等しくなります。位相空間のホモロジー群のランクの交代和が、ホモロジーが計算されるチェーン群のランクの交代和に等しいという事実を使用すると、セル チェーン グループ (セル ホモロジーを参照) を使用すると、オイラー特性がの合計に等しい ことは明らかです。 ここで、 はインデックスの臨界点の数です。また、セル ホモロジーにより、CW 複合体の 番目のホモロジー群のランクは、の -セルの数以下です。したがって、 番目のホモロジー群のランク^、つまりベッティ数 は、上のモース関数の^{インデックス}の臨界点の数以下です。これらの事実を強化すると、次の式が得られます。${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle \chi (M)}$$${\displaystyle \sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,=\chi (M)}$$${\displaystyle C^{\gamma }}$${\displaystyle \gamma .}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle b_{\gamma }(M)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle M.}$モース不等式: $${\displaystyle C^{\gamma }-C^{\gamma -1}\pm \cdots +(-1)^{\gamma }C^{0}\geq b_{\gamma }(M)-b_{\gamma -1}(M)\pm \cdots +(-1)^{\gamma }b_{0}(M).}$$

特に、誰も が $${\displaystyle \gamma \in \{0,\ldots ,n=\dim M\},}$$$${\displaystyle C^{\gamma }\geq b_{\gamma }(M).}$$

これは多様体位相を研究するための強力なツールとなる。閉多様体上にちょうどk 個の臨界点を持つモース関数が存在すると仮定する。関数の存在は をどのように制限するだろうか？ このケースは1952 年にGeorges Reebによって研究された。Reeb球面定理はが球に同相であると述べている。このケースは少数の低次元でのみ可能であり、MはEells-Kuiper 多様体に同相である。1982 年にEdward Witten は摂動演算子の de Rham 複体を考慮することにより、モース不等式に対する解析的アプローチを開発した^{[1] [2]}${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S^{n}.}$${\displaystyle k=3}$${\displaystyle d_{t}=e^{-tf}de^{tf}.}$

モース理論は、閉2次元多様体を微分同相まで分類するのに使われてきた。が向き付けられている場合、 はその種数によって分類され、ハンドル付き球面と微分同相である。したがって、が2次元球面と微分同相である場合、 が2次元トーラスの連結和と微分同相である。が向き付けられていない場合、 は数によって分類され、実射影空間の連結和と微分同相である。特に、2つの閉2次元多様体が同相である場合、かつそれらが微分同相である場合に限ります。^{[3] [4]}${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g=0,}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle g>0,}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle g}$${\displaystyle N}$${\displaystyle g>0}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}.}$

モースホモロジーは、滑らかな多様体のホモロジーを理解するための特に簡単な方法です。これは、モース関数とリーマン計量の一般的な選択を使用して定義されます。基本定理は、結果として得られるホモロジーは多様体の不変量（つまり、関数と計量に依存しない）であり、多様体の特異ホモロジーに同型であるということです。これは、モース数と特異ベッティ数が一致することを意味し、モース不等式の即時証明を与えます。シンプレクティック幾何学におけるモースホモロジーの無限次元類似物は、フレアーホモロジーとして知られています。

モース関数の概念は、臨界点の非退化多様体を持つ関数を考えるために一般化することができる。モース・ボット関数は、多様体上の滑らかな関数であり、その臨界集合は閉じた部分多様体であり、そのヘッセ行列は法線方向に非退化です。(同様に、臨界点におけるヘッセ行列の核は、臨界部分多様体の接空間に等しくなります。) モース関数は、臨界多様体が 0 次元である特殊なケースです (したがって、臨界点におけるヘッセ行列はすべての方向で非退化であり、つまり核を持ちません)。

指数は、最も自然には、 臨界多様体の特定の点における不安定多様体の次元であり、に 臨界多様体の次元を加えたものとみなされる。モース・ボット関数が臨界軌跡上の小さな関数によって摂動された場合、摂動されていない関数の臨界多様体上の摂動された関数のすべての臨界点の指数は、との間に位置する。$${\displaystyle \left(i_{-},i_{+}\right),}$$${\displaystyle i_{-}}$${\displaystyle i_{+}}$${\displaystyle i_{-}}$${\displaystyle i_{-}}$${\displaystyle i_{+}.}$

モース・ボット関数は、一般的なモース関数の扱いが難しいため便利です。視覚化でき、簡単に計算できる関数は、通常、対称性を持ちます。それらは、正次元の臨界多様体につながることがよくあります。ラウル・ボットは、ボット周期性定理の最初の証明で、モース・ボット理論を使用しました。

ラウンド関数はモース・ボット関数の例であり、臨界集合は円（の不連続な和集合）です。

モースホモロジーはモース-ボット関数に対しても定式化できる。モース-ボットホモロジーの微分はスペクトル列によって計算される。フレデリック・ブルジョワは、シンプレクティック場理論のモース-ボット版に関する研究の過程でアプローチを概説したが、この研究は解析上の大きな困難さのため出版されなかった。

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