フレシェ空間

関数解析および関連する数学分野において、モーリス・フレシェにちなんで名付けられたフレシェ空間は、特殊な位相ベクトル空間である。これらはバナッハ空間（ノルムによって誘導される距離に関して完備なノルム付きベクトル空間）の一般化である。すべてのバナッハ空間とヒルベルト空間はフレシェ空間である。無限回微分可能な関数の空間はフレシェ空間の典型的な例であり、その多くは一般的にバナッハ空間ではない。

フレシェの空間${\displaystyle X}$は、 として完全である局所凸距離化可能な位相ベクトル空間(TVS)として定義される。^{[ 1 ]}つまり、 のすべてのコーシー列は である。${\displaystyle X}$ある一点に収束する${\displaystyle X}$（詳細は脚注を参照）。^{[注1 ]}

重要な注意点：すべての著者がフレシェ空間が局所凸であることを要求しているわけではありません（後述）。

すべてのフレシェ空間の位相は、何らかの並進不変な完全計量によって誘導される。逆に、局所凸空間の位相が${\displaystyle X}$並進不変な完全計量によって誘導される場合${\displaystyle X}$フレシェの空間である。

フレシェは最初に「バナッハ空間」という用語を使用し、バナッハは次に、局所凸性の要件なしに、完備な距離化可能な位相ベクトル空間を意味する「フレシェ空間」という用語を造語しました（このような空間は今日ではしばしば「 F空間」と呼ばれます）。^{[ 1 ]} 局所凸性の要件は後にニコラ・ブルバキによって追加されました。^{[ 1 ]} かなりの数の著者（例えばシェーファー）は、「F空間」を（局所凸な）フレシェ空間を意味するために使用していますが、他の著者は「フレシェ空間」が局所凸であることを要求していません。さらに、一部の著者は「F空間」と「フレシェ空間」を互換的に使用しています。数学文献を読む際には、読者は書籍や記事の「F空間」と「フレシェ空間」の定義が局所凸性を要求するかどうかを常に確認することをお勧めします。^{[ 1 ]}

フレシェ空間は、2つの同等な方法で定義できます。1つ目は並進不変な計量を用いる方法、2つ目は可算個の半ノルム族を用いる方法です。

セミノルムを思い出してください${\displaystyle \|\cdot \|}$ベクトル空間からの関数${\displaystyle X}$3つの性質を満たす実数に対して。${\displaystyle x,y\in X}$そしてすべてのスカラー${\displaystyle c,}$$${\displaystyle \|x\|\geq 0}$$$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$$${\displaystyle \|c\cdot x\|=|c|\|x\|}$$

もし${\displaystyle \|x\|=0\iff x=0}$、 それから${\displaystyle \|\cdot \|}$これは実際にはノルムです。しかし、セミノルムは、以下のようにフレシェ空間を構築できるという点で有用です。

フレシェ空間を構築するには、通常、ベクトル空間から始める。${\displaystyle X}$そして、可算個の半ノルムの族を定義する。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}}$の上${\displaystyle X}$以下の2つの特性を持つ：

• もし${\displaystyle x\in X}$そして${\displaystyle \|x\|_{k}=0}$すべての人々のために${\displaystyle k\geq 0,}$それから${\displaystyle x=0}$;
• もし${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$はシーケンスです${\displaystyle X}$これは各セミノルムに関してコーシーである。${\displaystyle \|\cdot \|_{k},}$すると存在する${\displaystyle x\in X}$そのため${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$収束して${\displaystyle x}$各半規範に関して${\displaystyle \|\cdot \|_{k}.}$

すると、これらのセミノルムによって誘導されるトポロジーは（上述のように）${\displaystyle X}$フレシェ空間へ。最初の性質はそれがハウスドルフ空間であることを保証し、2番目の性質はそれが完備であることを保証します。 同じ位相を誘導する並進不変な完備計量${\displaystyle X}$次のように定義できます $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}{\frac {\|xy\|_{k}}{1+\|xy\|_{k}}}\qquad x,y\in X.}$$

機能${\displaystyle u\mapsto {\frac {u}{1+u}}}$地図${\displaystyle [0,\infty )}$単調に${\displaystyle [0,1),}$したがって、上記の定義は以下を保証します。${\displaystyle d(x,y)}$は、存在する場合に限り「小さい」${\displaystyle K}$「大きい」${\displaystyle \|xy\|_{k}}$「小さい」${\displaystyle k=0,\ldots ,K.}$

フレシェ空間が連続ノルムを許容する場合、それを定義するために使用されるすべてのセミノルムは、それぞれにこの連続ノルムを追加することによってノルムに置き換えることができます。バナッハ空間、${\displaystyle C^{\infty }([a,b]),}$${\displaystyle C^{\infty }(X,V)}$と${\displaystyle X}$コンパクトで、${\displaystyle H}$すべては規範を認めるが、${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$そして${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$しないでください。

フレシェ空間の閉部分空間はフレシェ空間である。フレシェ空間を閉部分空間で割った商空間もフレシェ空間である。有限個のフレシェ空間の直和もフレシェ空間である。

可算個のフレシェ空間の積は、常に再びフレシェ空間になります。しかし、任意のフレシェ空間の積がフレシェ空間になるのは、それらのうち可算個を除くすべてが自明（つまり、次元が0）である場合に限ります。したがって、非可算個の非自明なフレシェ空間の積はフレシェ空間にはなり得ません（実際、そのような積は、その原点が可算近傍基底を持たないため、距離化すらできません）。例えば、${\displaystyle I\neq \varnothing }$は任意の集合であり、${\displaystyle X}$は任意の非自明なフレシェ空間（例えば、${\displaystyle X=\mathbb {R} }$例えば）、すると製品は${\displaystyle X^{I}=\prod _{i\in I}X}$がフレシェ空間であるのは、${\displaystyle I}$可算集合である。

ベールのカテゴリー定理に基づく関数解析の重要なツールのいくつかは、フレシェ空間でも成り立ちます。例としては、閉グラフ定理と開写像定理があります。開写像定理は、もし${\displaystyle \tau {\text{ and }}\tau _{2}}$トポロジーは${\displaystyle X}$両方を作る${\displaystyle (X,\tau )}$そして${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$完全計量可能な TVS (フレシェ空間など)に分割し、一方の位相が他方よりも細かいか粗い場合は、それらは等しくなければならない (つまり、${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}}$) ^{[ 4 ]}

フレシェ空間から別の位相ベクトル空間（TVS）への有界線形作用素はすべて連続である。^{[ 5 ]}

フレシェ空間が存在する${\displaystyle X}$有界部分集合を持つ${\displaystyle B}$また、密なベクトル部分空間${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle B}$クロージャに含まれていない（${\displaystyle X}$）任意の有界部分集合の${\displaystyle M.}$^{[ 6 ]}

すべてのフレシェ空間はステレオタイプ空間である。ステレオタイプ空間の理論では、フレシェ空間はブラウナー空間の双対対象である。すべての距離化可能なモンテル空間は可分である。^{[ 7 ]}可分フレシェ空間がモンテル空間であるのは、その連続双対空間における各弱*収束列が強収束する場合に限る。^{[ 7 ]}

強力なデュアルスペース${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$フレシェ空間（より一般的には、任意の距離化可能な局所凸空間^{[ 8 ]}）${\displaystyle X}$はDF 空間である。^{[ 9 ]} DF 空間の強双対はフレシェ空間である。^{[ 10 ]}反射的フレシェ空間 の強双対はボルノロジー空間^{[ 8 ]}であり、プタク空間である。すべてのフレシェ空間はプタク空間である。距離化可能な局所凸空間の強双対 (すなわち、強双対空間の強双対空間) はフレシェ空間である。^{[ 11 ]}

もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$フレシェ空間であるならば、空間${\displaystyle L(X,Y)}$すべての連続線形マップから構成される${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$これは、いかなる意味でもフレシェ空間ではありません。これはバナッハ空間の理論とフレシェ空間の理論の大きな違いであり、フレシェ空間上で定義された関数の連続微分可能性について、ガトー微分という異なる定義が必要となります。

仮定する${\displaystyle U}$はフレシェ空間の開部分集合である。${\displaystyle X,}$${\displaystyle P:U\to Y}$はフレシェ空間で値をとる関数である。${\displaystyle Y,}$${\displaystyle x\in U}$そして${\displaystyle h\in X.}$地図${\displaystyle P}$微分可能${\displaystyle x}$の方向に${\displaystyle h}$制限がある場合$${\displaystyle D(P)(x)(h)=\lim _{t\to 0}\,{\frac {1}{t}}\left(P(x+th)-P(x)\right)}$$ 存在する。地図${\displaystyle P}$は連続的に微分可能であると言われている${\displaystyle U}$地図が $${\displaystyle D(P):U\times X\to Y}$$ は連続である。フレシェ空間の積は再びフレシェ空間となるので、微分を試みる。${\displaystyle D(P)}$そして、の高階導関数を定義する${\displaystyle P}$このように。

微分演算子${\displaystyle P:C^{\infty }([0,1])\to C^{\infty }([0,1])}$定義される${\displaystyle P(f)=f'}$それ自体は無限に微分可能である。1階微分は次のように与えられる。 $${\displaystyle D(P)(f)(h)=h'}$$ 任意の２つの要素について${\displaystyle f,h\in C^{\infty }([0,1]).}$ これはフレシェ空間の大きな利点である。${\displaystyle C^{\infty }([0,1])}$バナッハ空間上で${\displaystyle C^{k}([0,1])}$有限の場合${\displaystyle k.}$

もし${\displaystyle P:U\to Y}$が連続的に微分可能な関数である場合、微分方程式$${\displaystyle x'(t)=P(x(t)),\quad x(0)=x_{0}\in U}$$ 解が全く存在しない場合もあり、たとえ解が存在するとしても、その解が一意であるとは限らない。これはバナッハ空間における状況とは全く対照的である。

一般に、逆関数定理はフレシェ空間では成り立たないが、ナッシュ・モーザー定理は部分的な代替となる。

フレシェ多様体は、フレシェ空間に「局所的に似ている」空間として定義できる（通常の多様体がユークリッド空間に局所的に似ている空間として定義されるのと同様）。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$）、そしてこれらの多様体にもリー群の概念を拡張することができる。これは、与えられた（通常の）コンパクト多様体に対して、${\displaystyle C^{\infty }}$多様体${\displaystyle M,}$すべてのセット${\displaystyle C^{\infty }}$微分同相写像${\displaystyle f:M\to M}$この意味で一般化されたリー群を形成し、このリー群は対称性を捉える。${\displaystyle M.}$この設定においても、リー代数とリー群 の間の関係の一部は依然として有効である。

フレシェリー群のもう一つの重要な例は、コンパクトリー群のループ群である。${\displaystyle G,}$滑らかな（${\displaystyle C^{\infty }}$) マッピング${\displaystyle \gamma :S^{1}\to G,}$各ポイントごとに乗算${\displaystyle \left(\gamma _{1}\gamma _{2}\right)(t)=\gamma _{1}(t)\gamma _{2}(t).}$^{[ 16 ] [ 17 ]}

空間が局所的に凸であるという条件をなくすと、F空間、すなわち完全な並進不変計量を持つベクトル空間が得られます。

LF空間はフレシェ空間の可算帰納的極限である。

• ブラウナースペース
• フレシェ格子– 位相ベクトル格子 
• 次数付きフレシェ空間– 逆関数定理の一般化 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• フレシェ空間の射影― 射影性の特性 
• フレシェ空間の最適化 – 逆関数定理の一般化 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 

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