大まかに言えば、位相面上のk次元の穴の数は
代数 的位相幾何学では 、 ベッティ数は n 次元 単体複体 の連結性に基づいて 位相空間を 区別するために使用されます 。最も合理的な有限次元 空間( コンパクト多様体 、有限 単体複体 、 CW 複体 など ) では、ベッティ数の列はある時点から 0 になり (ベッティ数は空間の次元を超えると消えます)、すべて有限です。
n 番目の ベッティ数は n 番目の ホモロジー群 の 階数 を表し、 H n と表記されます。これは、面を 2 つの部分または 0 サイクル、1 サイクルなどに分割する 前に実行できるカットの最大数を示します。 [1] たとえば、 の場合 、 の場合 、 の場合 、 の場合 、 などとなります。無限群の階数のみが考慮されることに注意してください。たとえば、 の場合 、 は 位数 2 の 有限巡回群 であるため、 となります 。ホモロジー群のこれらの有限成分は、その 捩れ部分群 であり、 捩れ係数 で表されます。
H
ん
（ バツ ） ≅ 0
{\displaystyle H_{n}(X)\cong 0}
b
ん
（ バツ ） = 0
{\displaystyle b_{n}(X)=0}
H
ん
（ バツ ） ≅
ず
{\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} }
b
ん
（ バツ ） = 1
{\displaystyle b_{n}(X)=1}
H
ん
（ バツ ） ≅
ず
⊕
ず
{\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }
b
ん
（ バツ ） = 2
{\displaystyle b_{n}(X)=2}
H
ん
（ バツ ） ≅
ず
⊕
ず
⊕
ず
{\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }
b
ん
（ バツ ） = 3
{\displaystyle b_{n}(X)=3}
H
ん
（ バツ ） ≅
ず
け
⊕
ず
/
（ 2 ）
{\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} ^{k}\oplus \mathbb {Z} /(2)}
ず
/
（ 2 ）
{\displaystyle \mathbb {Z} /(2)}
b
ん
（ バツ ） = け
{\displaystyle b_{n}(X)=k}
「ベッティ数」という用語は、 エンリコ・ベッティ にちなんで アンリ・ポアンカレによって造られました。現代の定式化は エミー・ネーター によるものです。ベッティ数は現在、 単体ホモロジー 、 コンピューターサイエンス 、 デジタル画像 などの分野で使用されています 。
幾何学的解釈 トーラスの場合、最初のベッティ数は b 1 = 2であり、これは直感的に円形の「穴」の数と考えることができる。 非公式には、 k 番目のベッティ数は、位相面上の k 次元の 穴 の数を指します。「 k 次元の 穴 」とは、 ( k +1) 次元オブジェクトの境界ではない k 次元のサイクルのことです。
最初のいくつかのベッティ数は、0次元、1次元、2次元 単体複体 に対して次のように定義されます。
b 0 は 連結成分の数である。 b 1 は 1 次元または「円形」の穴の数です。 b 2 は 、2 次元の「空隙」または「空洞」の数です。 したがって、たとえば、トーラスには 1 つの接続された表面コンポーネントがあるため b 0 = 1、2 つの「円形」の穴 (1 つは赤道方向、もう 1 つは 子午線方向 ) があるため b 1 = 2、表面内に囲まれた 1 つの空洞があるため b 2 = 1 となります。
b k の別の解釈は、オブジェクトが接続されたまま削除できる k 次元曲線の最大数です 。たとえば、トーラスは 2 つの 1 次元曲線 (赤道曲線と子午線曲線) を削除した後も接続されたままなので、 b 1 = 2です。 [2]
2 次元のベッティ数は、世界を 0、1、2、3 次元で見ることができるため、理解しやすくなります。
非負 整数 k に対して、 空間 Xの k 番目のベッティ数 b k ( X ) は、 X の k 番目 の ホモロジー群である アーベル群 H k ( X ) の 階数 （線形独立な生成元の数） として定義されます 。 k 番目のホモロジー群は 、 は単体複体 の境界写像であり、 H k の階数は k 番目のベッティ数です。 同様に、この 場合のホモロジー群は Q 上のベクトル空間であるため、 これを H k ( X ; Q )の ベクトル空間次元 として定義することもできます 。 非常に単純な ねじれのないケースでの
普遍係数定理は、これらの定義が同じであることを示しています。
H
け
= カー
δ
け
/
私は
δ
け + 1
{\displaystyle H_{k}=\ker \delta _{k}/\operatorname {Im} \delta _{k+1}}
δ
け
{\displaystyle \delta_{k}}
より一般的には、 体 F が与えられたとき、 F に係数を持つ k番目のベッティ数 b k ( X , F )を H k ( X , F )のベクトル空間次元として 定義できます 。
ポアンカレ多項式 曲面のポアンカレ 多項式は、そのベッティ数の 生成関数 として定義されます 。たとえば、トーラスのベッティ数は 1、2、1 であるため、そのポアンカレ多項式は です 。同じ定義は、有限生成ホモロジーを持つ任意の位相空間に適用されます。
1 + 2 x +
x
2
{\displaystyle 1+2x+x^{2}}
有限生成ホモロジーを持つ位相空間が与えられた場合、ポアンカレ多項式は、 の係数が である 多項式を介して、そのベッティ数の生成関数として定義されます 。
x
ん
{\displaystyle x^{n}}
b
ん
{\displaystyle b_{n}}
例
グラフのベッティ数 頂点の集合が V 、辺の集合が E 、連結成分の集合が Cである 位相グラフ G を 考えます。 グラフホモロジー のページで説明したように 、そのホモロジー群は次のように与えられます。
H
け
（ グ ） =
{
ず
|
Ｃ
|
け = 0
ず
|
え
|
+
|
Ｃ
|
−
|
五
|
け = 1
{ 0 }
さもないと
{\displaystyle H_{k}(G)={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{|C|}&k=0\\\mathbb {Z} ^{|E|+|C|-|V|}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
これは、エッジの数に関する
数学的帰納法 によって簡単に証明できます。新しいエッジは、1 サイクルの数を増やすか、接続されたコンポーネントの数を減らします。
したがって、「ゼロ番目」のベッティ数 b 0 ( G )は| C |に等しく、これは単純に連結成分の数である。 [3]
最初のベッティ数 b 1 ( G )は| E | + | C | - | V |に等しい。これは サイクロマティック数 とも呼ばれ、ベッティの論文の前に グスタフ・キルヒホフ によって導入された用語で ある。 [4] ソフトウェア工学 への応用については サイクロマティック複雑度 を参照 。
その他のベッティ数はすべて 0 です。
単体複体のベッティ数 0 単体 (a、b、c、d)、1 単体 (E、F、G、H、I) を持つ 単体複合体 を考えます。2 単体は J のみで、これは図の網掛け部分です。この図には連結成分が 1 つ ( b 0 )、穴が 1 つ (網掛け部分ではない部分) ( b 1 ) あり、「空隙」や「空洞」はありません ( b 2 )。
これは、 のランクが 1、 のランクが 1、 のランクが 0 であることを意味します。
H
0
{\displaystyle H_{0}}
H
1
{\displaystyle H_{1}}
H
2
{\displaystyle H_{2}}
この図のベッティ数列は 1, 1, 0, 0, ... であり、ポアンカレ多項式は です 。
1 + x
{\displaystyle 1+x\,}
射影平面のベッティ数 射影平面 P のホモロジー群は 以下の通りである: [5]
H
け
（ ポ ） =
{
ず
け = 0
ず
2
け = 1
{ 0 }
さもないと
{\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
ここで、 Z 2 は位数 2 の 巡回群 です 。0 番目のベッティ数は再び 1 です。ただし、1 番目のベッティ数は 0 です。これは、 H 1 ( P ) が有限群であるためです。つまり、無限成分はありません。群の有限成分は、 P の ねじれ係数 と呼ばれます。(有理) ベッティ数 b k ( X ) は、ホモロジー群の ねじれを 考慮に入れませんが、非常に便利な基本的な位相不変量です。最も直感的な言葉で言えば、異なる次元の 穴 の数を数えることができます 。
プロパティ
オイラー特性 有限CW複素数 K に対しては
χ
(
K
)
=
∑
i
=
0
∞
(
−
1
)
i
b
i
(
K
,
F
)
,
{\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,F),\,}
ここで、 は K と任意の体 F の オイラー特性 を表します 。
χ
(
K
)
{\displaystyle \chi (K)}
デカルト積 任意の
2つの空間 X と Yについて、
P
X
×
Y
=
P
X
P
Y
,
{\displaystyle P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},}
ここで、 は X の ポアンカレ多項式 （より一般的には、 無限次元空間の ヒルベルト・ポアンカレ級数）、すなわち X のベッティ数の 生成関数 を表します 。
P
X
{\displaystyle P_{X}}
P
X
(
z
)
=
b
0
(
X
)
+
b
1
(
X
)
z
+
b
2
(
X
)
z
2
+
⋯
,
{\displaystyle P_{X}(z)=b_{0}(X)+b_{1}(X)z+b_{2}(X)z^{2}+\cdots ,\,\!}
キュネスの定理 を参照 。
対称 X が n 次元多様体の場合、 任意の に対して と が入れ替わる対称性があります 。
k
{\displaystyle k}
n
−
k
{\displaystyle n-k}
k
{\displaystyle k}
b
k
(
X
)
=
b
n
−
k
(
X
)
,
{\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X),}
条件付き（ 閉じた 有向 多様 体）； ポアンカレ双対性 を参照。
異なる係数 体 Fへの依存性は、その 特性 を通じてのみ存在します 。ホモロジー群が 捩れなし で ある場合、ベッティ数は Fに依存しません。 p が素数である場合 、 特性 p に対するp 捩れとベッティ数 の関係は 、 普遍係数定理( Tor 関数 に基づくが 、単純な場合)
によって詳細に与えられます。
その他の例 円のベッティ数列は 1、1、0、0、0、... です。
ポアンカレ多項式は
1
+
x
{\displaystyle 1+x\,}
。 3トーラス のベッティ数列は 1、3、3、1、0、0、0、... です。
ポアンカレ多項式は
(
1
+
x
)
3
=
1
+
3
x
+
3
x
2
+
x
3
{\displaystyle (1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\,}
。 同様に、 n トーラス の 場合、
ポアンカレ多項式は
(
1
+
x
)
n
{\displaystyle (1+x)^{n}\,}
(キュネスの定理 により )、ベッティ数は 二項係数 です。 本質的に無限次元である空間には、非ゼロのベッティ数の無限列が存在する可能性がある。一例として、1, 0, 1, 0, 1, ... という列を持つ無限次元 複素射影空間 が挙げられ、これは 周期長が 2である周期的である。この場合、ポアンカレ関数は多項式ではなく、無限級数である。
1
+
x
2
+
x
4
+
⋯
{\displaystyle 1+x^{2}+x^{4}+\dotsb }
、 これは等比級数なので、有理関数として表すことができる。
1
1
−
x
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}.}
より一般的には、周期的なシーケンスは、上記を一般化すると、等比級数の和として表現できます。たとえば、 生成関数は
a
,
b
,
c
,
a
,
b
,
c
,
…
,
{\displaystyle a,b,c,a,b,c,\dots ,}
(
a
+
b
x
+
c
x
2
)
/
(
1
−
x
3
)
{\displaystyle \left(a+bx+cx^{2}\right)/\left(1-x^{3}\right)\,}
より一般的には、 線型再帰列はまさに 有理関数 によって生成される列です 。したがって、ベッティ数の列が線型再帰列である場合に限り、ポアンカレ級数は有理関数として表現可能です。
コンパクト単純リー群 のポアンカレ多項式は次の 通りです。
P
S
U
(
n
+
1
)
(
x
)
=
(
1
+
x
3
)
(
1
+
x
5
)
⋯
(
1
+
x
2
n
+
1
)
P
S
O
(
2
n
+
1
)
(
x
)
=
(
1
+
x
3
)
(
1
+
x
7
)
⋯
(
1
+
x
4
n
−
1
)
P
S
p
(
n
)
(
x
)
=
(
1
+
x
3
)
(
1
+
x
7
)
⋯
(
1
+
x
4
n
−
1
)
P
S
O
(
2
n
)
(
x
)
=
(
1
+
x
2
n
−
1
)
(
1
+
x
3
)
(
1
+
x
7
)
⋯
(
1
+
x
4
n
−
5
)
P
G
2
(
x
)
=
(
1
+
x
3
)
(
1
+
x
11
)
P
F
4
(
x
)
=
(
1
+
x
3
)
(
1
+
x
11
)
(
1
+
x
15
)
(
1
+
x
23
)
P
E
6
(
x
)
=
(
1
+
x
3
)
(
1
+
x
9
)
(
1
+
x
11
)
(
1
+
x
15
)
(
1
+
x
17
)
(
1
+
x
23
)
P
E
7
(
x
)
=
(
1
+
x
3
)
(
1
+
x
11
)
(
1
+
x
15
)
(
1
+
x
19
)
(
1
+
x
23
)
(
1
+
x
27
)
(
1
+
x
35
)
P
E
8
(
x
)
=
(
1
+
x
3
)
(
1
+
x
15
)
(
1
+
x
23
)
(
1
+
x
27
)
(
1
+
x
35
)
(
1
+
x
39
)
(
1
+
x
47
)
(
1
+
x
59
)
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{SU(n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{5}\right)\cdots \left(1+x^{2n+1}\right)\\P_{SO(2n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{Sp(n)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{SO(2n)}(x)&=\left(1+x^{2n-1}\right)\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-5}\right)\\P_{G_{2}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\\P_{F_{4}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{6}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{9}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{17}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{7}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{19}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\\P_{E_{8}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\left(1+x^{39}\right)\left(1+x^{47}\right)\left(1+x^{59}\right)\end{aligned}}}
が閉多様体 である 幾何学的な状況では 、ベッティ数の重要性は別の方向から生じる可能性があります。つまり、ベッティ数は、厳密な 微分形式 を法 とする閉微分形式 のベクトル空間の次元を予測するからです。上記の定義との関連は、3 つの基本的な結果、 ド・ラームの定理 と ポアンカレ双対性 (該当する場合)、および ホモロジー理論 の 普遍係数定理を 介しています。
X
{\displaystyle X}
別の解釈として、ベッティ数は 調和形式の空間の次元を与えるというものがあります。これには、 ホッジラプラシアン に関する ホッジ理論 の結果の一部を使用する必要があります 。
この設定では、 モース理論は、 与えられた 指数の モース 関数の 臨界点 の数の対応する交代和に関して、ベッティ数の交代和の不等式の集合を与える 。
N
i
{\displaystyle N_{i}}
b
i
(
X
)
−
b
i
−
1
(
X
)
+
⋯
≤
N
i
−
N
i
−
1
+
⋯
.
{\displaystyle b_{i}(X)-b_{i-1}(X)+\cdots \leq N_{i}-N_{i-1}+\cdots .}
エドワード・ウィッテンは、 モース関数を使って ド・ラーム複体 の 外微分 を修正することで、これらの不等式を説明しました。 [6]
参照
参考文献
^ Barile、Weisstein、Margherita、Eric。「ベッティ数」。MathWorld--A Wolfram Web Resource より。 ^ Ghostarchive および Wayback Machine にアーカイブされています: Albin, Pierre (2019). 「代数的位相幾何学の歴史」. YouTube . ^ ペル・ハーゲ（1996年）。『島のネットワーク：オセアニアにおけるコミュニケーション、親族関係、分類構造』ケンブリッジ大学出版局。p. 49。ISBN 978-0-521-55232-5 。 ^ ピーター・ロバート・コティウガ (2010)。ラウル・ボットの数学的遺産を祝う。アメリカ数学会、p. 20。ISBN 978-0-8218-8381-5 。 ^ Ghostarchive および Wayback Machine にアーカイブされています: Wildberger, Norman J. (2012). 「デルタ複合体、ベッティ数、およびねじれ」 。YouTube 。 ^ ウィッテン、エドワード （1982）、「超対称性とモース理論」、 微分幾何学ジャーナル 、 17 （4）：661–692、 doi ： 10.4310/jdg/1214437492
ワーナー、フランク・ウィルソン（1983）、 微分可能多様体とリー群の基礎 、ニューヨーク：シュプリンガー、 ISBN 0-387-90894-3 。 ロー、ジョン（1998）、 楕円演算子、位相幾何学、漸近法 、数学研究ノートシリーズ、第395巻（第2版）、フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール、 ISBN 0-582-32502-1 。
