直交群

数学において、 $n$ 次元の直交群（n じだいのおきょうぐん）は、 $O($ $n$ $)$ と表記され、 $n$ 次元のユークリッド空間において不動点が保存される距離保存変換の群であり、群演算は合成変換によって与えられる。直交群は、一般線型群との類推から、一般直交群と呼ばれることもある。同値に、これは $n$ $\times$ $n$ 直交行列の群であり、群演算は行列乗算によって与えられる（直交行列とは、逆行列が転置行列に等しい実数行列である）。直交群は代数群であり、リー群である。これはコンパクトである。

$n$ 次元の直交群には、2 つの連結成分があります。単位元を含む成分は正規部分群で、特殊直交群と呼ばれ、 $SO(n)と表記されます。これは、$ 行列式1のすべての直交行列から構成されます。この群は回転群とも呼ばれ、次元 2 および 3 では、その要素が点 (次元 2) または直線 (次元 3) の周りの通常の回転であるという事実を一般化しています。低次元では、これらの群は広く研究されています。SO $(2)$ 、 $SO(3)、$ および $SO(4)$ $を参照してください。もう 1 つの成分は、行列式-1$ のすべての直交行列から構成されます。この成分は、その要素の任意の 2 つの積が行列式 1 であるため、群を形成しません。したがって、この成分の要素ではありません。

拡張により、任意の体 $F$ に対して、その逆行列が転置行列に等しいような $F$ の要素を持つ $n \times n行列は、$ $F$ 上の直交行列と呼ばれる。 $n$ $\times$ $n$ 直交行列は、一般線型群 $GL($ $n$ $,$ $F$ $)$ の部分群 $O($ $n$ $,$ $F$ $)$ を形成する。つまり、 $\operatorname {O} (n,F)=\left\{Q\in \operatorname {GL} (n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}Q=QQ^{\mathsf {T}}=I\right\}.$

より一般的には、体上のベクトル空間上の非退化対称双線型形式または二次形式^[1]が与えられたとき、形式の直交群は形式を保存する可逆線型写像の群である。前述の直交群は、ある基底において双線型形式がドット積、または同等に、二次形式が座標の二乗の和である特殊なケースである。

形式を保存する条件は行列の等式として表現できるため、すべての直交群は代数群です。

名前

「直交群」という名前は、その要素の次の特徴に由来しています。 $n$ 次元のユークリッドベクトル空間 $E$ $が与えられた場合、直交群O($ $n$ $)$ の要素は、均一なスケーリング(相似性)を除き、直交ベクトルを直交ベクトルに写す $E$ から $E$ への線型写像です。

ユークリッド幾何学では

直交群 $O(n)は$ 一般線型群 $GL(n, R)$ の部分群であり、ユークリッドノルム $を$ 保存するすべての自己準同型写像、すなわち、 $\|g(x)\|=\|x\|.$

$E(n)を$ $n$ 次元のユークリッド空間 $S$ のユークリッド等長変換群とする。この群は特定の空間の選択に依存しない。同じ次元のユークリッド空間はすべて同型だからである。点 $x$ $\in$ $S$ の安定化部分群は、 $g$ $($ $x$ $) =$ $x$ となるような元 $g$ $\in E($ $n$ $)の部分群である。この安定化群は$ $O($ $n$ $)$ である (より正確には同型である) 。これは、点を原点として選択すると、ユークリッド空間とそれに関連するユークリッドベクトル空間との間に同型性が誘導されるからである。

$E($ $n$ $)$ から $O($ $n$ $)$ への自然な群準同型 $p が$ 存在し、これは次のように定義される。

p(g)(y-x)=g(y)-g(x),

ここで、通常通り、2 点の減算は、2 番目の点を 1 番目の点にマップする変換ベクトルを表します。これは明確に定義された準同型です。簡単な検証により、2 組の点の差が同じであれば、 $g$ によるそれらの像についても同じことが当てはまることが示されるためです(詳細については、アフィン空間 § 減算とワイルの公理を参照してください)。

$p$ の核は並進のベクトル空間です。したがって、並進は $E($ $n$ $)$ の正規部分群を形成し、2 点の安定点は並進の作用の下で共役であり、すべての安定点は $O($ $n$ $)$ と同型です。

さらに、ユークリッド群は $O($ $n$ $)$ と並進群の半直積である。したがって、ユークリッド群の研究は本質的に $O($ $n$ $)$ の研究に還元される。

特殊直交群

ユークリッドベクトル空間の正規直交基底を選ぶことで、直交群は（行列の乗算の下で）直交行列の群と同一視することができ、直交行列は次のような行列である。

QQ^{\mathsf {T}}=I.

$この式から、 Q$ の行列式の二乗は $1 に$ 等しいので、 $Qの行列式は$ $1$ か $-1 の$ いずれかになります。行列式が $1である直交行列は、$ $SO($ $n$ $)$ と表記される特殊直交群と呼ばれる部分群を形成します。これは、空間の向きを保存する $O($ $n$ $)$ のすべての直接等長変換で構成されます。

$SO(n)は$ $O(n)$ の正規部分群であり、行列式の核であり、その像が乗法群 ${-1, +1}である群準同型である。これは、直交群が$ $SO($ $n$ $)と恒等写像および$ 反射で形成される任意の部分群との内部半直積であることを意味する。

2つの要素を持つ群 ${\pm I}$ （ここで $I$ は単位行列）は、 $O($ $n$ $)$ の正規部分群であり、特性部分群でもあります。また、 $n$ が偶数の場合は、 $SO($ $n$ $)$ の特性部分群でもあります $。n$ が奇数の場合は、 $O($ $n$ $)は$ $SO($ $n$ $)$ と ${\pm$ $I$ $}$ の内部直積です。

$SO(2)$ 群は $アーベル群である（一方、SO(n)はn>2のときはアーベル群ではない）。その有限部分群は、任意の正の整数k$ に対して、k $回回転の$ $巡回群$ Ckで $ある$ $。$ これらの群 $は$ すべて、 $O(2)$ と $SO(2)$ の正規部分群である。

標準形

$O(n)$ の任意の要素には直交基底があり、その行列は次の形式をとる。

{\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},

ここで、行列 $R 1, ..., R k は$ 2行2列の回転行列であり、次の形式の行列である。

{\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}},

$a 2 + b 2 = 1$ となります。

これは、複素共役である固有値を再グループ化し、直交行列の固有値の絶対値がすべて $1$ に等しいことを考慮に入れることによって、スペクトル定理から得られます。

対角線上に偶数個の $-1$ がある場合に限り、要素は $SO(n)に属します。固有値$ $-1$ のペアは $π$ 回転で識別でき、固有値 $+1$ のペアは $0$ 回転で識別できます。

$n = 3$ の特殊なケースはオイラーの回転定理として知られており、 $SO(3)$ のすべての（非単位元）要素は、一意の軸と角度のペアの周りの回転であると主張しています。

反射

反射は $O(n)$ の元であり、その標準形は

{\begin{bmatrix}-1&0\\0&I\end{bmatrix}},

ここで、 $I は$ $(n - 1) \times (n - 1)$ 単位行列であり、ゼロは行または列がゼロの行列を表します。言い換えると、反射は、超平面に対する鏡像の空間を変換する変換です。

2 次元では、すべての回転は 2 つの反射の積に分解できます。より正確には、角度 $θ$ の回転は、軸が $θ / 2$ の角度を形成する 2 つの反射の積です。

$O($ $n$ $)$ の任意の元を生成するには、常に $n$ 回までの基本反射の積で十分です。これは、上記の標準形と次元2の場合から直接得られます。

カルタン・ディウドネの定理は、この結果を、特性数が 2 と異なる体上の非退化二次形式の直交群に一般化したものです。

原点を通る反射（写像 $v \mapsto - v ）は、$ $n$ 回未満の反射の積ではない $O(n)$ の要素の例です。

球面の対称群

直交群 $O(n)$ は、原点を中心とした場合の $($ $n$ $- 1)$ 球面( $n$ $= 3の場合は$ 球面のみ) と球対称性を持つすべてのオブジェクトの対称群です。

円の対称群は $O(2)$ である。方向保存部分群 $SO(2)は、$ 実リー群として、絶対値が1である複素数の乗法群である $U$ $(1)$ としても知られる円群と同型である。この同型は、絶対値が $1$ である複素数 $exp($ $φ$ $i$ $) = cos($ $φ$ $) +$ $i$ $sin($ $φ$ $)$ を特殊直交行列に送る。

{\begin{bmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )\end{bmatrix}}.

高次元では、 $O(n)は$ より複雑な構造を持ちます（特に、可換性はなくなります）。n $球面$ と $O($ $n$ $)$ の位相構造は強く相関しており、この相関は両方の位相空間の研究に広く使用されています。

グループ構造

群 $O(n)$ と $SO(n)は、$ 次元 $n$ $($ $n$ $-1)/2$ の実コンパクトリー群である。群 $O($ $n$ $)$ には2つの連結成分があり、 $SO($ $n$ $)は$ 恒等成分、つまり恒等行列を含む連結成分である。

代数群として

直交群 $O(n)は、$ $A$ $T$ $A$ $=$ $I$ となる行列 $A$ の群と同一視できます。この方程式の要素は両方とも対称行列であるため、直交行列の要素が満たす必要のある $n$ $($ $n$ $+ 1) / 2 個$ の方程式が得られますが、これらの方程式は非直交行列の要素によってすべて満たされるわけではありません。

これは $O(n)が$ ^代数集合^であることを証明している。さらに、その^次元が

{\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}-{\frac {n(n+1)}{2}},

これは、 $O(n) が$ 完全な共通部分であることを意味します。これは、そのすべての既約成分が同じ次元を持ち、埋め込み成分がないことを意味します。実際、 $O(n)$ には2 つの既約成分があり、それらは行列式の符号 (つまり、 $det(A) = 1$ または $det(A) = -1$ ) によって区別されます。どちらも同じ次元 $n$ $($ $n$ $- 1) / 2の$ 非特異代数多様体です。 $det($ $A$ $) = 1$ の成分は $SO($ $n$ $)$ です。

最大トーラス群とワイル群

コンパクトリー群Gの最大トーラスは $、$ あるkに対して $Tk$ $に$ 同型な部分群の中の最大部分群であり、 $T$ $= SO(2)$ は標準的な1次元トーラスである。^[2]

$O(2 n)$ および $SO(2 n)$ において、あらゆる最大トーラスに対して、そのトーラスが次の形式のブロック対角行列から構成される基底が存在する。

{\begin{bmatrix}R_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&R_{n}\end{bmatrix}},

ここで各 $R j は$ $SO(2)$ に属します。O $(2 n + 1)$ と $SO(2 n + 1)$ では、最大トーラスは同じ形を持ち、ゼロの行と列で囲まれ、対角線上に $1が$ あります。

$SO(2$ $n$ $+ 1)$ のワイル群は、正規基本アーベル 2 部分群と対称群の半直積であり、 ${\pm1}$ $n$ $の各 {\pm1 }$ 因子の非自明な元は、反転によって $T$ $\times {1$ }の対応する円因子に作用し、対称群 $S$ $n は$ $因子を置換することによって{\pm1}$ $n$ と $T$ $\times {1$ }の両方に作用します。ワイル群の要素は、 $O(2$ $n$ $) \times {\pm1}$ の行列で表されます。S $n$ 因子は、2 x 2 ブロックと対角の最後の $1 を持つブロック置換行列で表されます。$ ${\pm1}$ $n成分は$ $、$ 2 x 2 ブロックのブロック対角行列で表されます。 $\{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}$

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},

最後の要素 $\pm1 を$ 選択して行列式を $1 に$ します。

$SO(2 n)$ のワイル群は $SO(2$ $n$ $+ 1)$ のワイル群の部分群である。ここで $H$ $n$ $-1$ $< {\pm1}$ $n は$ によって与えられる積準同型 ${\pm1}$ $n$ $\to {\pm1}の$ 核である。つまり、 $H$ $n$ $-1$ $< {\pm1}$ $n は$ 偶数個のマイナス符号を持つ部分群である。SO $(2$ $n$ $)のワイル群は$ $、SO(2$ $n$ $+ 1 )$ のワイル群の代表の標準の注入 $SO(2$ $n$ $) \to SO(2$ $n$ $+$ $1$ $)$ による逆像によって SO(2 $n$ ) で表されます。ブロックの数が奇数の行列には、行列式を正にする最後の $-1$ 座標が残っていないため、 $SO(2$ $n$ $)$ で表すことはできません。 $H_{n-1}\rtimes S_{n}<\{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}$ $\left(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\right)\mapsto \varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{n}$ ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

トポロジー

低次元トポロジー

低次元（実）直交群はよく知られた空間である。

$O(1) = S 0$ 、2点離散空間
$SO(1) = {1}$
$SO(2)は$ $S$ $1$ である
$SO(3)は$ $R P 3$ である^[3]
$SO(4)$ は $SU (2)$ $\times$ $SU(2)=$ $S3$ $\times$ $S3$ によって二重に覆われて $いる$ 。

基本グループ

代数位相幾何学では、 $n > 2に対して$ $SO($ $n$ $,$ $R$ $)$ の基本群は位 $数$ 2の巡回群であり^[4]、スピン群 $Spin($ $n$ $)$ はその普遍被覆である。n $= 2$ に対しては基本群は無限巡回群であり、普遍被覆は実数直線に対応する（群 $Spin(2)$ は唯一の連結2重被覆である）。

ホモトピー群

一般に、実直交群のホモトピー群 $π k (O) は$ 球面のホモトピー群と関連しているため、計算が困難です。ただし、包含列の直接の極限として定義される安定直交群 (無限直交群とも呼ばれる) のホモトピー群を計算することはできます。

\operatorname {O} (0)\subset \operatorname {O} (1)\subset \operatorname {O} (2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }\operatorname {O} (k)

包含はすべて閉じているので、共繊維化であり、これは和集合として解釈することもできる。一方、 $S n は$ $O($ $n$ $+ 1)$ の同次空間であり、次の繊維束が存在する。

\operatorname {O} (n)\to \operatorname {O} (n+1)\to S^{n},

これは、「直交群 $O(n + 1) は$ 単位球面 $S$ $n$ に推移的に作用し、点 (単位ベクトルと考えられる) の安定化群は、1 次元低い直交群である垂直補集合の直交群である」と理解できます。したがって、自然な包含 $O($ $n$ $) \to O($ $n$ $+ 1)$ は $($ $n$ $- 1)$ 接続されているため、ホモトピー群は安定化し、 $n$ $>$ $k$ $+ 1$ に対して $π$ $k$ $(O($ $n$ $+ 1)) = π$ $k$ $(O($ $n$ $))$ となります。したがって、安定空間のホモトピー群は、不安定空間の下位ホモトピー群に等しくなります。

ボット周期性から $Ω 8 O ≅ O$ が得られるので、 $O$ のホモトピー群は8 倍周期的であり、 $π k + 8 (O) = π k (O)$ となり、下位 8 つのホモトピー群をリストするだけで済みます。

{\begin{aligned}\pi _{0}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{1}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(O)&=0\\\pi _{3}(O)&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}(O)&=0\\\pi _{5}(O)&=0\\\pi _{6}(O)&=0\\\pi _{7}(O)&=\mathbf {Z} \end{aligned}}

KO理論との関係

クラッチ構成により、安定空間 $O$ のホモトピー群は、次元シフトが 1 である球面上の安定ベクトル束（同型を除く）と同一視されます: $π k (O) = π k + 1 (BO) 。$ $KO = BO \times Z = Ω -1 O \times Z$ と設定すると（ $π 0$ を周期性に適合させるため）、次式が得られます:

{\begin{aligned}\pi _{0}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{3}(KO)&=0\\\pi _{4}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}(KO)&=0\\\pi _{6}(KO)&=0\\\pi _{7}(KO)&=0\end{aligned}}

ホモトピー群の計算と解釈

低次元群

最初のいくつかのホモトピー群は、低次元群の具体的な記述を使用して計算できます。

$π 0 (O) = π 0 (O(1)) = Z / 2 Z$ 、方向保存/反転から（このクラスは $O(2)$ まで存続し、したがって安定する）
$π 1 (O) = π 1 (SO(3)) = Z / 2 Z$ であり、スピンはSO $(3) = R P 3 = S 3 / (Z / 2 Z)$ から来ます。
$π 2 (O) = π 2 (SO(3)) = 0$ 、これは $π 2 (SO(4))$ に投影されます。したがって、後者は消滅します。

リー群

リー群に関する一般的な事実から、 $π 2 (G) は$ 常にゼロであり、 $π 3 (G)$ は自由 (自由アーベル) です。

ベクトル束

$π 0 (K O)は$ $S$ $0$ 上のベクトル束であり、2 つの点から構成されます。したがって、各点上で束は自明であり、束の非自明性は 2 つの点上のベクトル空間の次元の差であるため、 $π$ $0$ $($ $K$ $O) =$ $Z$ が次元です。

ループスペース

ボット周期性におけるループ空間の具体的な記述を使用すると、 $O$ の高次のホモトピーを、より解析しやすい低次のホモトピーの観点から解釈することができます。π _{0 を}使用すると、 $O$ と $O /U$ には2 つの成分があり、 $K O = B O \times Z$ と $K Sp = B Sp \times Z$ には可算な数の成分があり、残りは接続されています。

ホモトピー群の解釈

簡単に言うと: ^[5]

$π 0 (K O) = Zは$ 次元に関するものである
$π 1 (K O) = Z / 2 Zは$ 方向に関するものである
$π 2 (K O) = Z / 2 Zは$ スピンに関するものである
$π 4 (K O) = Z は$ 位相量子場理論に関するものです。

$R を$ 4 つの分割代数 $R$ 、 $C$ 、 $H$ 、 $O$ のいずれかとし、 $L R を$ 射影直線 $R$ $P$ $1$ 上の同語直線束とし、 $[$ $L$ $R$ $] を$ K 理論におけるその類とする。 $R$ $P$ $1$ $=$ $S$ $1$ 、 $C$ $P$ $1$ $=$ $S$ $2$ 、 $H$ $P$ $1$ $=$ $S$ $4$ 、 $O$ $P$ $1$ $=$ $S$ $8$ であることに注目すると、これらは対応する球面上のベクトル束を生成し、

$π 1 (K O)は$ $[$ $L$ $R$ $]$ によって生成される。
$π 2 (K O)は$ $[$ $L$ $C$ $]$ によって生成される。
$π 4 (K O)は$ $[$ $L$ $H$ $]$ によって生成される。
$π 8 (K O)は$ $[$ $L$ $O$ $]$ によって生成される。

シンプレクティック幾何学の観点からは、 $π 0 (K O) ≅ π 8 (K O) = Z$ は、安定なラグランジアングラスマン多様体の基本群 $π 1 (U/O)として$ $U/O ≅ Ω$ $7$ $($ $K$ $O)$ を考えると、 $π$ $1$ $(U/O) = π$ $1+7$ $($ $K$ $O)$ としてマズロフ指数として解釈できます。

ホワイトヘッドタワー

直交群はホワイトヘッドタワーを固定します。

\cdots \rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n)

これは、昇順のホモトピー群を順次削除（除去）することで得られます。これは、除去するホモトピー群のEilenberg–MacLane 空間から始まる短い正確なシーケンスを構築することで行われます。塔の最初のいくつかのエントリは、スピングループとストリンググループであり、ファイブブレーングループが先行します。削除されるホモトピー群は、OからSO を取得する $π$ ₀ ( O ) 、SOからSpin を取得する $π$ ₁ ( O ) 、SpinからString を取得する $π$ ₃ ( O ) 、次に、より高次のブレーンを取得する $π$ ₇ ( O ) などです。

実数上の不定二次形式

実数上では、非退化二次形式はシルベスターの慣性法則によって分類されます。これは、次元 $n$ のベクトル空間上で、そのような形式は $p$ 個の平方の和と $q$ 個の平方の和の差として表すことができ、 $p + q = n$ であると主張しています。言い換えると、二次形式の行列が $p 個の要素が$ $1$ に等しく、q $個の要素が$ $-1$ に等しい対角行列であるという基底があります。慣性と呼ばれるペア $($ $p$ $、$ $q$ $)$ は、対角行列の計算方法に依存しないという意味で、二次形式の不変量です。

二次形式の直交群は慣性のみに依存するため、一般に $O(p, q)と表記されます。さらに、二次形式とその反二次形式は同じ直交群を持つため、$ $O(p, q) = O(q, p)$ となります。

標準直交群は $O(n)=O(n,0)=O(0, n)です。したがって、このセクションの残りの部分では、$ $p$ も $q$ もゼロではないと仮定します。

$O($ $p , q ) における行列式 1 の行列の部分群は、 SO( p , q ) と表記されます。O($ $p$ $,$ $q$ $)$ 群 $には、 2 つ$ の $最大$ $部分$ $空間$ $（$ 二次形式が正定値または負定値である）のいずれかで要素が方向を維持するかどうかに応じて、4 つの連結成分があります。両方の部分空間で要素が方向を維持する恒等式の成分は、 $SO$ $+$ $($ $p$ $,$ $q$ $)$ と表記されます。

$O(3, 1)$ 群は相対性理論の基本となるローレンツ群です。ここで $3$ は空間座標に対応し、 $1 は$ 時間座標に対応します。

複素二次形式

複素数体 $C$ 上で、 $n$ 変数のすべての非退化二次形式は $x$ $1$ $2$ $+ ... +$ $x$ $n$ $2$ に等しい。したがって、同型を除いて、次元 $n$ の非退化複素二次空間は1 つだけであり、関連する直交群は 1 つあり、通常 $O($ $n$ $,$ $C$ $)と表記されます。これは$ 複素直交行列の群であり、複素行列とそれらの転置の積が単位行列になります。

実際の場合と同様に、 $O(n, C)$ には2つの連結成分があります。恒等行列の成分は $O($ $n$ $,$ $C$ $)の行列式$ $1のすべての行列で構成され、$ $SO($ $n$ $,$ $C$ $)$ と表記されます。

群 $O(n, C)$ と $SO(n, C)は、$ $C$ 上の次元 $n (n - 1) / 2の複素リー群です ($ $R$ 上の次元はその 2 倍です)。 $n$ $\geq 2$ の場合、これらの群は非コンパクトです。実際のケースと同様に、 $SO($ $n$ $,$ $C$ $)$ は単連結ではありません。 $n$ $> 2$ の場合、 $SO($ $n$ $,$ $C$ $)$ の基本群は位数 2 の巡回群ですが、 $SO(2,$ $C$ $)$ の基本群は $Z$ です。

有限体上

2つとは異なる特性

2 とは異なる特性を持つ体上で、2 つの二次形式は、それらの行列が合同である場合、つまり基底の変更によって最初の形式の行列が 2 番目の形式の行列に変換される場合、同値です。2 つの同値の二次形式は、明らかに同じ直交群を持ちます。

2 とは異なる特性を持つ有限体上の非退化二次形式は、合同類に完全に分類され、この分類から、奇数次元には 1 つの直交群しか存在せず、偶数次元には 2 つの直交群しか存在しないという結果になります。

より正確には、ウィットの分解定理は、（2とは異なる特性において）非退化二次形式 $Q$ を備えたすべてのベクトル空間は、2つの直交部分空間の直和として分解できることを主張している。

V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,

ここで、各 $L i$ は双曲平面（つまり、 $Qの$ $L i$ への制限の行列がの形になるような基底が存在する）、および $Qの$ $W$ への制限は異方性（つまり、 $W$ 内のゼロでないすべての $wに対して$ $Q$ $($ $w$ $) \neq 0$ ）である。 $\textstyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

シュヴァレー・ワーニングの定理は、有限体上で、 $W$ の次元は最大で 2 であると主張します。

$V$ の次元が奇数の場合、 $W$ の次元は1 に等しく、その行列はまたはと合同です。ここで、 $𝜑 は$ 非正方スカラーです。その結果、 $O(2$ $n$ $+ 1,$ $q$ $)$ と表記される直交群は 1 つだけ存在します。ここで、 $q$ は有限体の元の数 (奇数の素数の累乗) です。^[6] $\textstyle {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$ $\textstyle {\begin{bmatrix}\varphi \end{bmatrix}},$

$W$ の次元が 2 で、基底体において $-1が正方形でない場合 (つまり、その要素数$ $qが 4 を法として 3 に合同である場合)、$ $Qの$ $W$ への制限の行列は $I$ または $- I$ のいずれかに合同です。ここで、 $I は2\times2 単位行列です。$ $W$ の次元が 2 で、基底体において $-1が正方形である場合 (つまり、$ $q が4 を法として 1 に合同である場合)、$ $Qの$ $W$ への制限の行列は $φ が$ 任意の非正方形スカラーに合同です。 $\textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&\varphi \end{bmatrix}},$

$これは、 V$ の次元が偶数の場合、 $W$ の次元が0か2かに応じて、2つの直交群しかないことを意味します。それらはそれぞれ $O + (2 n, q)$ と $O - (2 n, q)$ と表されます。^[6]

直交群 $Oε$ $($ $2,$ $q$ $)は位数$ $2($ $q$ $-$ $ε$ $)$ の二面体群であり、 $ε$ $=\pm$ である。

証拠

$O ε (2, q)$ の直交群を調べるために、二次形式の行列はであると仮定することができます。これは、二次形式が与えられた場合、その行列が対角化可能な基底が存在するためです。行列が直交群に属するのは、 $AQA$ $T$ $= Q$ 、つまり、 $a$ $2$ $-$ $ωb$ $2$ $= 1$ 、 $ac$ $-$ $ωbd$ $= 0$ 、および $c$ $2$ $-$ $ωd$ $2$ $= -$ $ω$ の場合です。 $a$ と $b は$ 両方ともゼロにはならないため (最初の式のため)、2 番目の式は $F$ $q$ に $εが存在し、$ $c$ $=$ $εωb$ および $d$ $=$ $εa$ であることを意味します。3 番目の式でこれらの値を報告し、最初の式を使用すると、 $ε$ $2$ $= 1$ となり、直交群は行列で構成されます。 $Q={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\omega \end{bmatrix}},$ $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

{\begin{bmatrix}a&b\\\varepsilon \omega b&\varepsilon a\end{bmatrix}},

ここで、 $a 2 - ωb 2 = 1$ かつ $ε = \pm1$ である。さらに、行列の行列式は $ε$ である。

$直交群をさらに研究するには、 ω$ の平方根 $α を$ 導入すると便利です。この平方根は、直交群が $O$ $+$ $(2,$ $q$ $)の場合は$ $F$ $q$ に属し、それ以外の場合は $F$ $q$ $2$ に属します。 $x$ $=$ $a$ $+$ $αb$ 、 $y$ $=$ $a$ $-$ $αb$ と設定すると、

xy=1,\qquad a={\frac {x+y}{2}}\qquad b={\frac {x-y}{2\alpha }}.

とが直交群の行列式1の2つの行列である場合、 $A_{1}={\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\\omega b_{1}&a_{1}\end{bmatrix}}$ $A_{2}={\begin{bmatrix}a_{2}&b_{2}\\\omega b_{2}&a_{2}\end{bmatrix}}$

A_{1}A_{2}={\begin{bmatrix}a_{1}a_{2}+\omega b_{1}b_{2}&a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}\\\omega b_{1}a_{2}+\omega a_{1}b_{2}&\omega b_{1}b_{2}+a_{1}a_{1}\end{bmatrix}}.

$これはa$ $=$ $a$ $1$ $a$ $2$ $+$ $ωb$ $1$ $b$ $2$ 、 $b$ $=$ $a$ $1$ $b$ $2$ $+$ $b$ $1$ $a$ $2$ の直交行列です。したがって ${\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},$

a+\alpha b=(a_{1}+\alpha b_{1})(a_{2}+\alpha b_{2}).

したがって、写像 $(a, b) \mapsto a + αb$ は、行列式が 1 の直交行列の群の $F q 2$ の乗法群への準同型写像であることがわかります。

$O + (2 n, q)$ の場合、その像は $F q$ の乗法群であり、これは位数 $q$ の巡回群である。

$O - (2 n, q)$ の場合、上記の $x$ と $y は$ 共役であり、したがってフロベニウスの自己同型によって互いの像になります。これは、 $x$ $q$ $+1$ $= 1を意味します。このようなすべての$ $x$ に対して、対応する直交行列を再構成できます。したがって、写像は、行列式 1 の直交行列から単位元の ( q + 1) 根の群への群同型に $なり$ $ます$ $。この群は、$ $g$ $q$ $-1$ の累乗からなる $q$ $+ 1$ 位数の巡回群です。ここで、 $gは$ $F$ $q$ $2$ の原始元です。 $y=x^{-1}=x^{q},$ $(a,b)\mapsto a+\alpha b$

証明を完了するには、直交行列全体の群がアーベル行列ではなく、 ${1, -1}$ 群と行列式が 1 の直交行列全体の群との半直積であることを証明するだけで十分です。

この証明を実際のケースと比較すると、興味深いことがわかるかもしれません。

ここでは 2 つのグループ同型が関係しています。

{\begin{aligned}\mathbf {Z} /(q+1)\mathbf {Z} &\to T\\k&\mapsto g^{(q-1)k},\end{aligned}}

ここで $gは$ $F q 2$ の原始元であり、 $Tは$ $F q 2$ のノルム1の元の乗法群である。

{\begin{aligned}\mathbf {T} &\to \operatorname {SO} ^{+}(2,\mathbf {F} _{q})\\x&\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},\end{aligned}}

と $a={\frac {x+x^{-1}}{2}}$ $b={\frac {x-x^{-1}}{2\alpha }}.$

実際の場合、対応する同型は次のようになります。

{\begin{aligned}\mathbf {R} /2\pi \mathbf {R} &\to C\\\theta &\mapsto e^{i\theta },\end{aligned}}

ここで、 $C は$ ノルム 1 の複素数円です。

{\begin{aligned}\mathbf {C} &\to \operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )\\x&\mapsto {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},\end{aligned}}

と $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}.$

特性が2でない場合、直交群の順序は^[7]

\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|=2q^{n^{2}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right),

\left|\operatorname {O} ^{+}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}-1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right),

\left|\operatorname {O} ^{-}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right).

$特性2では、 |$ $O(2$ $n$ $+ 1,$ $q$ $)$ $|$ の因数 $2$ を除去する必要があることを除いて、式は同じです。

ディクソン不変量

直交群の場合、ディクソン不変量は直交群から商群 $Z / 2 Z$ （2を法とする整数）への準同型であり、要素が偶数回の反射の積である場合に値 $0$ を取り、そうでない場合は値1を取る。^[8]

代数的には、ディクソン不変量は $D (f) = rank(I - f) modulo 2$ と定義できます。ここで、 $I$ は恒等式です (Taylor 1992、定理 11.43)。標数2 でない体では、行列式と同等です。つまり、行列式はディクソン不変量の $-1$ 乗です。標数 2 の体では、行列式は常に 1 なので、ディクソン不変量は行列式よりも多くの情報を提供します。

特殊直交群はディクソン不変量^[8]の核であり、通常 $O($ $n$ $,$ $F$ $)$ の指数は2である。^[9] $F$ の標数が2でない場合、行列式が $1の$ ときは常にディクソン不変量は $0$ である。したがって標数が2でない場合、 $SO($ $n$ $,$ $F$ $)$ は一般に、行列式が $1である$ $O($ $n$ $,$ $F$ $)$ の元として定義される。O $($ $n$ $,$ $F$ $)$ の各元は行列式 $\pm1$ を持つ。したがって標数2では、行列式は常に $1で$ ある。

ディクソン不変量は、クリフォード群とピン群に対しても同様の方法で定義できます (すべての次元で)。

特性2の直交群

特性 2 の体上の直交群は、しばしば特殊な動作を示します。このセクションでは、そのいくつかを示します。(以前はこれらの群はハイポアーベル群として知られていましたが、この用語は現在は使用されていません。)

任意の体上の任意の直交群は、ベクトル空間が 2 つの元を持つ体上で 4 次元であり、ウィット指数が 2 である唯一の例を除いて、反射によって生成されます。 ^[10]特性 2 の反射は、少し異なる定義を持ちます。特性 2 では、ベクトル $u$ に直交する反射は、ベクトル $vを$ $v + B (v 、 u)/ Q (u) \cdot u$ に変換します。ここで、 $B$ は双線型形式^{[明確化が必要]}であり、 $Q は$ 直交幾何学に関連付けられた二次形式です。これを、 $v を$ $v$ $- 2\cdot$ $B$ $($ $v$ $、$ $u$ $)/$ $Q$ $($ $u$ $) \cdot$ $u$ に変換する奇特性または特性 0 のハウスホルダー反射と比較してください。
直交群の中心は、I = − I なので、通常、特性2の位数は2では $なく 1 です$ 。
標数 2 の奇数次元 $2 n + 1$ では、完全体上の直交群は、次元 $2$ $n$ のシンプレクティック群と同じです。実際、対称形式は標数 2 で交代しており、次元が奇数であるため、次元 1 の核を持つ必要があり、この核による商は、直交群によって作用される次元 $2$ $n$ のシンプレクティック空間です。
特性 2 の偶数次元では、直交群はシンプレクティック群の部分群です。これは、二次形式の対称双線形形式も交代形式であるためです。

スピノルノルム

スピノルノルムは、体 $F$ 上の直交群から商群 $F \times / (F \times) 2$ （体 $F$ の平方元による乗法群）への準同型であり、ノルム $n$ のベクトルを $F$ $\times$ $/ ($ $F$ $\times$ $)$ $2$ の $n$ の像に反映するものである。^[11]

通常の実数体上の直交群では自明ですが、他の体上や、正定値でない実数体上の二次形式の直交群では非自明になることがよくあります。

ガロアコホモロジーと直交群

代数群のガロアコホモロジー理論では、さらにいくつかの観点が導入されている。それらは、特に二次形式の理論との関係で説明価値があるが、現象の発見に関する限り、大部分は事後的なものであった。最初の点は、体上の二次形式はガロア $H$ $1$ 、または直交群のねじれ形式（トルソル）として識別できるというものである。代数群として、直交群は一般に連結でも単連結でもない。後者の点はスピン現象をもたらし、前者は行列式に関係する。

スピノルノルムの「スピン」という名前は、スピン群（より正確にはピン群）との関連で説明できます。これは現在ではガロアコホモロジーによって簡単に説明できます（ただし、これはクリフォード代数のより直接的な使用によって用語が導入された後に登場しました）。直交群のスピン被覆は、代数群の短い正確なシーケンスを提供します。

1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow \mathrm {Pin} _{V}\rightarrow \mathrm {O_{V}} \rightarrow 1

ここで、 $μ 2 は$ 1 の平方根の代数群です。特性が 2 でない体上では、これは自明なガロア作用を持つ 2 元群とほぼ同じです。 $H$ $0$ $(O$ $V$ $)は単に$ $F$ 値点の群 $O$ $V$ $($ $F$ $)$ ですが、 $H$ $1$ $($ $μ$ $2$ $)$ への接続準同型は本質的にスピノルノルムです。これは、 $H$ $1$ $(μ$ $2$ $)$ が平方を法とする体の乗法群に同型であるためです。

直交群の $H 1からスピン被覆の核の$ $H 2$ への接続準同型もあります。コホモロジーは非可換なので、少なくとも従来の定義ではこれが私たちが到達できる限界です。

リー代数

リー群 $O($ $n$ $,$ $F$ $)$ と $SO($ $n$ $,$ $F$ $)$ に対応するリー代数は、交換子によって与えられるリー括弧 $[ , ]を持つ、$ 歪対称 $n$ $\times$ $n$ 行列で構成されます。1 つのリー代数が両方の群に対応します。これはまたはで示されることが多く、直交リー代数または特殊直交リー代数と呼ばれます。実数上では、異なる $n$ に対するこれらのリー代数は、半単純リー代数の 4 つの族のうちの 2 つのコンパクトな実数形式です。奇数次元 $B$ $k$ では $n$ $= 2$ $k$ $+ 1$ であり、偶数次元 $D$ $r$ では $n$ $= 2$ $r$ です。 ${\mathfrak {o}}(n,F)$ ${\mathfrak {so}}(n,F)$

群 $SO(n)$ は単連結ではないので、直交リー代数の表現論には、直交群の通常の表現に対応する表現と、直交群の射影表現に対応する表現の両方が含まれます。( $SO(n)$ の射影表現は、普遍被覆、スピン群Spin( n ) の単なる線型表現です。) 後者は、物理学で重要な、いわゆるスピン表現です。

より一般的には、非退化対称双線型形式 $(\cdot, \cdot)$ を持つベクトル空間 $V$ (標数が 2 でない体上) が与えられたとき、特殊直交リー代数は、この形式 ( ) に対して歪対称なトレースフリー自己準同型から構成されます。標数が 2 の体上では、代わりに交代自己準同型を考えます。具体的には、これらを交代テンソル $Λ$ $2$ $V$ と同等と見なすことができます。対応は次のようになります。 $\varphi$ $(\varphi A,B)+(A,\varphi B)=0$

v\wedge w\mapsto (v,\cdot )w-(w,\cdot )v

$この記述は、シグネチャ($ $p$ $、$ $q$ $)$ を持つ対称双線型形式の不定特殊直交リー代数にも同様に当てはまります。 ${\mathfrak {so}}(p,q)$

実数では、この特徴付けはベクトル場 (当然 2 ベクトル) の回転を無限小回転または「回転」として解釈する際に使用され、これが名前の由来となっています。

主等質空間: シュティーフェル多様体

直交群 $O($ $n$ $)$ の主同次空間は $、$ 正規直交基底（正規直交 $n$ フレーム $）$ のシュティーフェル多様体 $Vn$ $($ $Rn$ $)$ である。

言い換えれば、正規直交基底の空間は直交群に似ていますが、基底点の選択がありません。直交空間が与えられた場合、正規直交基底の自然な選択はありませんが、一度与えられた場合、基底と直交群の間には 1 対 1 の対応があります。具体的には、線型写像は基底を送る場所によって決まります。可逆写像が任意の基底を他の任意の基底に送ることができるのと同様に、直交写像は任意の直交基底を他の任意の直交基底に送ることができます。

不完全正規直交基底（正規直交 $k$ フレーム）の $k$ $<$ $n$ に対する他のシュティーフェル多様体 $V k (R n)$ は、直交群に対して依然として同次空間であるが、主同次空間ではない。つまり、任意の $kフレームは直交写像によって任意の他の$ $k$ フレームに移動できるが、この写像は一意に決定されない。

参照

特定の変換

特定のグループ

回転群、 $SO(3, R)$
$ソ(8)$

グループのリスト

表現論

注記

^ コンパクト空間の無限部分集合は集積点を持ち、離散的ではない。
^ $O(n) \cap GL (n, Z)$ は符号付き置換行列に等しい。なぜなら、ノルム 1 の整数ベクトルは 1 つの非ゼロ要素を持つ必要があり、その要素は $\pm1$ でなければならない(2 つの非ゼロ要素またはそれより大きい要素を持つ場合、ノルムは 1 より大きくなる)。また、直交行列ではこれらの要素は異なる座標にある必要があり、これはまさに符号付き置換行列である。
^ 奇数次元では、 $SO(2 k + 1) ≅ PSO(2 k + 1)$ は中心なし（ただし単純連結ではない）ですが、偶数次元では $SO(2 k)$ は中心なしでも単純連結でもありません。

引用

^ 標数が 2 でない基底体の場合、対称双線型形式による定義は二次形式による定義と同等ですが、標数 2 ではこれらの概念は異なります。
^ ホール 2015 定理 11.2
^ ホール 2015 セクション 1.3.4
^ ホール 2015 提案 13.10
^ Baez, John . 「Week 105」.今週の数理物理学の発見。2023年2月1日閲覧。
^ ab Wilson, Robert A. (2009).有限単純群. 大学院数学テキスト. 第251巻. ロンドン: Springer. pp. 69–75. ISBN 978-1-84800-987-5.ZBL1203.20012 .
^ (テイラー 1992、141 ページ)
^ ab Knus、Max-Albert (1991)、リング上の二次形式とエルミート形式、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 294、ベルリンなど: Springer-Verlag、p. 224、ISBN 3-540-52117-8、ZBL 0756.11008
^ (テイラー 1992、160 ページ)
^ (Grove 2002、定理6.6および14.16)
^ カッセルズ 1978、178 ページ

参考文献

Cassels, JWS (1978)、Rational Quadratic Forms、London Mathematical Society Monographs、vol. 13、Academic Press、ISBN 0-12-163260-1、ZBL 0395.10029
グローブ、ラリー C. (2002)、「古典群と幾何代数」、Graduate Studies in Mathematics、第 39 巻、プロビデンス、RI:アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2019-3、MR 1859189
ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、および表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 978-3319134666
テイラー、ドナルド E. (1992)、「古典群の幾何学」、純粋数学のシグマシリーズ、第 9 巻、ベルリン: ヘルダーマン出版、ISBN 3-88538-009-9、MR 1189139、Zbl 0767.20001

外部リンク

「直交群」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
ジョン・バエズ「今週の数理物理学の発見」第 105 週
ジョン・バエズによる八元数論
(イタリア語) n次元特殊直交群のパラメータ化

[12] コンパクト空間の無限部分集合は集積点を持ち、離散的ではない。

[13] $O(n) \cap GL (n, Z)$ は符号付き置換行列に等しい。なぜなら、ノルム 1 の整数ベクトルは 1 つの非ゼロ要素を持つ必要があり、その要素は $\pm1$ でなければならない(2 つの非ゼロ要素またはそれより大きい要素を持つ場合、ノルムは 1 より大きくなる)。また、直交行列ではこれらの要素は異なる座標にある必要があり、これはまさに符号付き置換行列である。

[14] 奇数次元では、 $SO(2 k + 1) ≅ PSO(2 k + 1)$ は中心なし（ただし単純連結ではない）ですが、偶数次元では $SO(2 k)$ は中心なしでも単純連結でもありません。

[1] 標数が 2 でない基底体の場合、対称双線型形式による定義は二次形式による定義と同等ですが、標数 2 ではこれらの概念は異なります。

[2] ホール 2015 定理 11.2

[3] ホール 2015 セクション 1.3.4

[4] ホール 2015 提案 13.10

[5] Baez, John . 「Week 105」.今週の数理物理学の発見。2023年2月1日閲覧。

[Wil6975-6] Wilson, Robert A. (2009).有限単純群. 大学院数学テキスト. 第251巻. ロンドン: Springer. pp. 69–75. ISBN 978-1-84800-987-5.ZBL1203.20012 .

[7] (テイラー 1992、141 ページ)

[Knus224-8] Knus、Max-Albert (1991)、リング上の二次形式とエルミート形式、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 294、ベルリンなど: Springer-Verlag、p. 224、ISBN 3-540-52117-8、ZBL 0756.11008

[9] (テイラー 1992、160 ページ)

[10] (Grove 2002、定理6.6および14.16)

[C178-11] カッセルズ 1978、178 ページ

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