ホモトピー理論

数学において、ホモトピー理論は、写像がそれらの間のホモトピーを伴う状況についての体系的な研究です。これは代数的位相幾何学のトピックとして始まりましたが、今日では独立した分野として学ばれています。

代数的位相幾何学以外にも、この理論は次のような数学の他の分野でも使用されています。

• 代数幾何学（例：A ¹ホモトピー理論）
• カテゴリー理論（特に高次のカテゴリーの研究）

ホモトピー理論と代数位相幾何学では、「空間」という言葉は位相空間を表します。病理を避けるために、任意の空間を扱うことはほとんどありません。代わりに、空間がコンパクトに生成された弱いハウスドルフまたはCW 複体であるなどの追加の制約を満たすことが必要になります。

上記と同じように、「マップ」は連続関数であり、追加の制約がいくつかある可能性があります。

多くの場合、尖った空間、つまり「基点」と呼ばれる「区別された点」を持つ空間を扱います。尖った写像は基点を保存する写像です。つまり、ドメインの基点をコドメインの基点に渡します。対照的に、自由写像は基点を保存する必要のない写像です。

2つの尖った空間の直積は自然に尖っていません。代わりとなるのは、随伴関係によって特徴付けられるスマッシュ積です。${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X\wedge Y}$

${\displaystyle \operatorname {Map} (X\wedge Y,Z)=\operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$、

つまり、スマッシュ積は抽象代数におけるテンソル積の類似物です（テンソル-ホム付加を参照）。明示的には、はウェッジ和で割った商です。 ${\displaystyle X\wedge Y}$${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\veeY}$

単位区間を と表記します。地図 ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle h:X\times I\to Y}$

は写像 から写像 へのホモトピーと呼ばれます。ここで です。直感的には、 は写像 から写像 へのパスと考えることができます。実際、ホモトピーは同値関係として示すことができます。X 、 Y が尖った空間のとき、写像は基底点を保存する必要があり、ホモトピーは基底ホモトピーと呼ばれます。基底ホモトピーは、が互いに素な基底点を伴う（基底）写像と同じです。[ 1 ^]${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{t}(x)=h(x,t)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{t}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle X\wedge I_{+}\to Y}$${\displaystyle I_{+}}$${\displaystyle I}$

尖った空間Xと整数 が与えられたとき、 を(尖った) n球面からXへの基底写像のホモトピー類とします。結果として、 ${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \pi_{n}X=[S^{n},X]}$${\displaystyle S^{n}\to X}$${\displaystyle S^{n}}$

• に対して、はホモトピー群と呼ばれる群であり、特に、はXの基本群と呼ばれる。${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle \pi_{n}X}$${\displaystyle \pi_{1}X}$
• はエックマン・ヒルトンの議論によりアーベル群であることがわかる。${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \pi_{n}X}$
• ${\displaystyle \pi_{0}X}$は、 内のパス接続コンポーネントの集合と同一視できます。${\displaystyle X}$

すべての群はある空間の基本群である。^[2]

と が両方とも恒等写像に同型であるような別の写像がある場合、その写像はホモトピー同値と呼ばれます。2 つの空間の間にホモトピー同値がある場合、それらの空間はホモトピー同値であると言われます。空間のホモトピー同値類はホモトピー型と呼ばれます。より弱い概念があります。が基点の各選択に対して同型である場合、その写像は弱いホモトピー同値であると言われます。ホモトピー同値とは弱いホモトピー同値ですが、その逆は必ずしも真ではありません。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f_{*}:\pi _{n}(X)\to \pi _{n}(Y)}$${\displaystyle n\geq 0}$

付加を通じて

${\displaystyle \operatorname {Map} (X\times I,Y)=\operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (I,Y)),\,\,h\mapsto (x\mapsto h(x,\cdot ))}$、

ホモトピーは地図として見られることもあります。 ${\displaystyle h:X\times I\to Y}$${\displaystyle X\to Y^{I}=\operatorname {Map} (I,Y)}$

CW複体とは、その和がであり、かつ ${\displaystyle X\supset \cdots \supset X^{n}\supset X^{n-1}\supset \cdots \supset X^{0}}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X^{0}}$は離散空間であり、 内の 0 セル (頂点) の集合と呼ばれます。${\displaystyle X}$
2. それぞれは、マップを介して複数のnディスク、nセルを に接続することによって得られます。つまり、n ディスクの境界はののイメージと同一視されます。${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle X^{n-1}}$${\displaystyle S^{n-1}\to X^{n-1}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle X^{n-1}}$
3. 部分集合が開いているのは、各 に対して が開いている場合のみです。${\displaystyle U}$${\displaystyle U\cap X^{n}}$${\displaystyle n}$

例えば、球面には0 セルと- セルの 2 つのセルがあります。これは、n円板の境界を点に縮小することで得られるからです。一般に、すべての多様体は CW 複体のホモトピー型を持ちます。 ^[3]実際、モース理論は、コンパクト多様体が有限 CW 複体のホモトピー型を持つことを示唆しています。^[要出典]${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$

注目すべきことに、ホワイトヘッドの定理によれば、CW 複合体の場合、弱ホモトピー同値とホモトピー同値は同じものであるとされています。

もう一つの重要な結果は近似定理である。まず、空間のホモトピー圏とは、対象が空間であるが射が写像のホモトピー類である圏である。次に

明示的には、上記の近似関数は、特異連鎖関数とそれに続く幾何学的実現関数の合成として定義できます。§ 単体集合を参照してください。 ${\displaystyle S_{*}}$

上記の定理は、CW 複合体のみを扱うという一般的な習慣を正当化します。たとえば、空間 が与えられた場合、 のホモロジーをの CW 近似のホモロジーに定義できます(CW 複合体のセル構造によって、自然ホモロジー、セル ホモロジー、および複合体のホモロジーとして使用できるものが決定されます)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

次の場合、その写像はコファイブレーションと呼ばれます。 ${\displaystyle f:A\to X}$

1. 地図、そして${\displaystyle h_{0}:X\to Z}$
2. ホモトピー${\displaystyle g_{t}:A\to Z}$

となるホモトピーが存在し、 となり、 となる。一例として、近傍変形リトラクト がある。つまり、 には、閉部分空間の写像円筒近傍と包含（例えば、閉部分多様体の管状近傍）が含まれる。 ^[7]実際、コファイブレーションは、近傍変形リトラクト ペアとして特徴付けることができる。^[8]もう 1 つの基本的な例は、CW ペアである。多くの場合、CW 複体のみで動作し、そこでのコファイブレーションの概念は暗黙的であることが多い。 ${\displaystyle h_{0}\circ f=g_{0}}$${\displaystyle h_{t}:X\to Z}$${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,A)}$

Hurewicz の意味でのファイブレーションは、コファイブレーションの双対概念です。つまり、(1) マップと (2) となるホモトピーが与えられた場合、 と を拡張してとなるホモトピーが存在する場合、マップはファイブレーションです。 ${\displaystyle p:X\to B}$${\displaystyle h_{0}:Z\to X}$${\displaystyle g_{t}:Z\to B}$${\displaystyle p\circ h_{0}=g_{0}}$${\displaystyle h_{t}:Z\to X}$${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}$

コファイブレーションは引き戻しの存在によって特徴付けられるが、ファイブレーションはパスリフティングと呼ばれるセクションの存在によって特徴付けられ、次のように表される。を に沿った写像の引き戻しとし、これをの写像パス空間と呼ぶ。^[9]ホモトピーとして見ると（§ ホモトピーを参照）、 がファイブレーションである場合、ホモトピーを与える^[10]${\displaystyle p':Np\to B^{I}}$${\displaystyle p:E\to B}$${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1):B^{I}\to B}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p'}$${\displaystyle Np\times I\to B}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p'}$

${\displaystyle s:Np\to E^{I}}$

となる。ここではで与えられる。^[11]これはに関連するパスリフティングと呼ばれる。逆に、 のパスリフティングがある場合、 はファイバリングであり、必要なホモトピーは を介し​​て得られる。 ${\displaystyle s(e,\chi )(0)=e,\,(p^{I}\circ s)(e,\chi )=\chi }$${\displaystyle p^{I}:E^{I}\to B^{I}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle s}$${\displaystyle p}$${\displaystyle s}$${\displaystyle p}$${\displaystyle s}$

ファイバ化の基本的な例は、唯一のパスリフティングを伴う被覆写像である。がパラコンパクト空間、つまり（位相的）群の自由かつ推移的な（位相的）群作用を持つ空間上の主G束である場合、フレヴィッツファイバ化はパラコンパクト空間上で局所的に確認できるため、射影写像はファイバ化である。^[12]${\displaystyle E}$${\displaystyle p:E\to X}$

コファイブレーションは閉像を伴う単射であるが、^[13]ファイブレーションは必ずしも射影的である必要はない。

コファイブレーションとファイブレーションの基底付きバージョンも存在する（つまり、マップは基底付きであることが要求される）。^[14]

写像のペアとが、各可換平方図式に対して リフティングプロパティ^[15]を満たすと言われる。${\displaystyle i:A\to X}$${\displaystyle p:E\to B}$

上記の図が依然として可換となる写像が存在します。(この概念はモデルカテゴリーの理論に由来します。) ${\displaystyle \lambda }$

をマップのクラスとします。マップが内の各 に対して上記のリフティング プロパティを満たす場合、そのマップは右リフティング プロパティまたは RLP を満たすと言われます 。同様に、マップが内の各 に対してリフティング プロパティを満たす場合、そのマップは左リフティング プロパティまたは LLP を満たすと言われます 。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle p:E\to B}$${\displaystyle p}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle i:A\to X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

例えば、ヒューレヴィッツファイバは、包含に対してRLPを満たす写像です。セールファイバは、包含に対してRLPを満たす写像です。ただし、は空集合です。ヒューレヴィッツファイバはセールファイバであり、CW複体に対しては逆が成り立ちます。^[16]${\displaystyle p:E\to B}$${\displaystyle i_{0}:A\to A\times I}$${\displaystyle i:S^{n-1}\to D^{n}}$${\displaystyle S^{-1}}$

一方、コファイブレーションは、における評価マップの LLP を満たすマップです。 ${\displaystyle p:B^{I}\to B}$${\displaystyle 0}$

尖端空間のカテゴリには、ループ関手 と（縮小）サスペンション関手の2つの重要な関手があり、これらは随伴関係にあります。正確には、それらは次のように定義されます^[17]${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Sigma }$

• ${\displaystyle \Omega X=\operatorname {Map} (S^{1},X)}$、 そして
• ${\displaystyle \Sigma X=X\wedge S^{1}}$。

スマッシュ積とマッピング空間の間の随伴関係により、次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {Map} (\Sigma X,Y)=\operatorname {Map} (X,\Omega Y).}$

これらの関数はファイバー列とコファイバー列を構築するために使用される。つまり、が写像である場合、によって生成されるファイバー列は正確な列である^[18]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \cdots \to \Omega ^{2}Ff\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega Ff\to \Omega X\to \Omega Y\to Ff\to X\to Y}$

ここではのホモトピーファイバー、つまり(基底付き) ファイバーで置き換えた後に得られるファイバーです。 によって生成されるコファイバー列はで、 はホモトピーファイバーのように構築されたのホモトイコファイバーです(ファイバーの代わりに商を使用します)。 ${\displaystyle Ff}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X\to Y\to Cf\to \Sigma X\to \cdots ,}$${\displaystyle Cf}$${\displaystyle f}$

関数はCW複体のカテゴリに次の弱い意味で制限される：ミルナーの定理によれば、がCW複体のホモトピー型を持つ場合、そのループ空間もCW複体のホモトピー型を持つ。^[19]${\displaystyle \Omega ,\Sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega X}$

位相群Gが与えられたとき、主Gバンドルの分類空間（同値性を除くと「その」）は、各空間Xに対して、 ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle [X,BG]=}${ X上の主G束} / ~${\displaystyle ,\,\,[f]\mapsto [f^{*}EG]}$

どこ

• 左辺は写像のホモトピー類の集合であり、${\displaystyle X\to BG}$
• ~はバンドルの同型性を指し、
• = は、（普遍バンドルと呼ばれる）上の区別されたバンドルをマップに沿って引き戻すことによって与えられます。${\displaystyle EG}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle X\to BG}$

ブラウンの表現可能性定理は分類空間の存在を保証します。

分類空間が主バンドルを分類するという考えは、さらに推し進めることができる。例えば、コホモロジー類を分類しようとすると、アーベル群 A（ など）が与えられたとき、 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle [X,K(A,n)]=\operatorname {H} ^{n}(X;A)}$

ここで、 はアイレンバーグ・マクレーン空間です。上記の式から、一般化されたコホモロジー理論の概念が導かれます。つまり、通常のコホモロジー理論を一般化する公理を満たす、空間のカテゴリからアーベル群のカテゴリへの反変関数です。結局のところ、このような関数は空間によって表現できないかもしれませんが、スペクトルと呼ばれる構造マップを持つ一連の（尖った）空間によって常に表現できます。言い換えると、一般化されたコホモロジー理論を与えることは、スペクトルを与えることです。K理論は、一般化されたコホモロジー理論の例です。 ${\displaystyle K(A,n)}$

スペクトルの基本的な例は球スペクトルです。${\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }$

• ザイフェルト・ファン・カンペンの定理
• ホモトピー切除定理
• フロイデンタールの停止定理（除去定理の系）
• ランドウェーバーの正確な関数定理
• ドルド・カン通信
• エックマン・ヒルトン論証- これは、例えば高次ホモトピー群がアーベル群であることを示します。
• 普遍係数定理
• ドルド・トム定理

参照:特性類、ポストニコフ塔、ホワイトヘッド捩れ

いくつかの具体的な理論がある

• 単純なホモトピー理論
• 安定ホモトピー理論
• 色彩ホモトピー理論
• 有理ホモトピー理論
• p進ホモトピー理論
• 同変ホモトピー理論

ホモトピー理論の基礎における基本的な疑問の 1 つは、空間の性質です。ホモトピー仮説は、空間が根本的に代数的なものであるかどうかを問います。

点在する空間ではなく空間を扱うことを好む場合、基本群(およびより高次の変種)の概念があります。定義により、空間Xの基本群は、オブジェクトがXの点であり、射がパスであるカテゴリです。

抽象ホモトピー理論はホモトピー理論への公理的アプローチである。このような公理化はホモトピー理論の非伝統的な応用に有用である。公理化へのアプローチの 1 つは、Quillen のモデル カテゴリによるものである。モデル カテゴリは、代数位相幾何学の事実を彷彿とさせる公理に従い、弱同値、コファイブレーション、ファイブレーションと呼ばれる 3 つのマップ クラスから選択できるカテゴリである。たとえば、(合理的な) 位相空間のカテゴリは、弱同値が弱ホモトピー同値、コファイブレーションが特定のリトラクト、ファイブレーションがセール ファイブレーションであるモデル カテゴリの構造を持つ。^[20]別の例としては、固定された基本環上の非負の次数を持つチェーン コンプレックスのカテゴリがある。^[21]

参照:代数的ホモトピー

単体集合は単体複体の抽象的な一般化であり、ある意味で「空間」の役割を果たすことができます。名前にもかかわらず、単体集合は集合ではなく、集合間の特定の写像（面と退化）を伴う集合のシーケンスです。

例えば、空間 が与えられたとき、各整数 に対して、 をn単体から へのすべての写像の集合とします。すると、集合の列は単体集合となります。^[22]各単体集合には自然に関連付けられた連鎖複体があり、その連鎖複体のホモロジーは のホモロジーです。の特異ホモロジーは、まさに単体集合 のホモロジーです。また、単体集合の幾何学的実現はCW 複体であり、その合成はまさに CW 近似関数です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle S_{n}X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S_{n}X}$${\displaystyle K=\{K_{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S_{*}X}$ ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle X\mapsto |S_{*}X|}$

もう 1 つの重要な例は、カテゴリ、より正確にはカテゴリの神経であり、これは単体集合です。実際、単体集合は、セガール条件(グロタンディークの定理) を満たす場合にのみ、あるカテゴリの神経となります。各カテゴリは、その神経によって完全に決定されます。このように、カテゴリは、単体集合の特別な種類と見なすことができ、この観察はカテゴリを一般化するために使用されます。つまり、-カテゴリまたは-群は、特定の種類の単体集合として定義されます。 ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \infty }$

単体集合は一種の抽象空間（位相空間ではない）であるため、単体集合上にホモトピー理論を展開することが可能であり、これは単体ホモトピー理論と呼ばれる。^[22]

• 高度に構造化されたリングスペクトル
• ホモトピー型理論
• スタックの追求
• 形状理論
• 形式群法則のモジュライスタック
• 交差モジュール

• メイ、J. 代数的位相幾何学の簡潔なコース
• JP May と K. Ponto、「より簡潔な代数的位相幾何学: 局所化、補完、およびモデル カテゴリ」
• ジョージ・ウィリアム・ホワイトヘッド(1978)。ホモトピー理論の要素。Graduate Texts in Mathematics。第 61 巻 (第 3 版)。ニューヨーク-ベルリン: Springer-Verlag。pp. xxi+ 744。ISBN 978-0-387-90336-1. MR  0516508 . 2011年9月6日閲覧。
• ロナルド・ブラウン『トポロジーと群体』（2006年）Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8。 
• https://ncatlab.org/nlab/show/homotopical+algebra
• WG Dwyer と J. Spalinski による「ホモトピー理論とモデル カテゴリ」、IM James 編「代数的位相幾何学ハンドブック」
• ハッチャー、アレン。「代数的位相幾何学」。
• ミルナー、ジョン (1959)。「𝐶𝑊複体のホモトピー型を持つ空間について」。アメリカ数学会誌。90 (2): 272–280。doi :10.1090/ S0002-9947-1959-0100267-4。ISSN 0002-9947  。
• エドウィン・スパニアー、代数的位相幾何学
• デニス・サリバン。ホモトピー理論の遺伝学とアダムス予想。Ann. of Math. (2), 100:1–79, 1974。

• シシンスキーのメモ
• http://ncatlab.org/nlab/files/Abstract-Homotopy.pdf
• 数学 527 - ホモトピー理論 2013 年春、セクション F1、マーティン フランクランドによる講義
• D. Quillen、「ホモトピー代数」、数学講義ノート第43巻、Springer Verlag、1967年。
• https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+理論

「ホモトピー理論」ncatlab.org。