接触形状

数学において、 接触幾何学は、 「完全な非積分性」と呼ばれる条件を満たす接線束の超平面分布によって与えられる滑らかな多様体上の幾何学的構造の研究である。同様に、そのような分布は（少なくとも局所的には）微分 1 形式の核として与えられ、非積分性条件はその形式上の最大非退化条件に変換される。これらの条件は、超平面分布の「完全な積分性」に対する 2 つの同値な条件、つまり、多様体上の余次元 1 の葉理に接することと逆であり、その同値性はフロベニウスの定理の内容である。

接触幾何学は、多くの点で、特定の偶数次元多様体上の構造であるシンプレクティック幾何学の奇数次元版です。接触幾何学とシンプレクティック幾何学は両方とも、機械システムの偶数次元位相空間または定数エネルギー超曲面（余次元が 1 であるため奇数次元）のいずれかを考慮することができる古典力学の数学的形式主義に触発されています。

シンプレクティック幾何学と同様に、接触幾何学は物理学において、例えば幾何光学、古典力学、熱力学、幾何量子化、可積分系、制御理論などに幅広く応用されている。接触幾何学は低次元位相幾何学にも応用されており、例えば、クロンハイマーとムロフカは特性P予想を証明するために、マイケル・ハッチングスは滑らかな3次元多様体の不変量を定義するために、レンハルト・ン（Lenhard Ng）は結び目の不変量を定義するために接触幾何学を使用している。また、ヤコフ・エリアシュバーグは、少なくとも6次元の スタイン多様体の位相的特徴付けを導くために接触幾何学を使用している。

接触幾何学は視覚皮質を説明するために使われてきた。^[1]

奇数次元多様体上の接触構造は、多様体の各接空間の余次元 1 の部分空間の滑らかに変化する族であり、積分不可能条件を満たします。族は、次のようにバンドルのセクションとして記述できます。

n次元の滑らかな多様体 Mと点p ∈ Mが与えられたとき、接点pを持つMの接触元は、 pにおけるMの接空間の( n  − 1) 次元の線型部分空間である。^{[2] [3]接触元は、} pにおけるMの接空間上の線型関数の核によって与えられる。しかし、部分空間が線型関数 ω の核によって与えられる場合、それは λω の零点によっても与えられる。ここで、 λ ≠ 0は任意の非零の実数である。したがって、{ λω : λ ≠ 0 }の核はすべて同じ接触元を与える。したがって、Mのすべての接触元の空間は、余接バンドルT* Mの商（零部を除いたもの）と同一視できる。^[2]すなわち、 ${\displaystyle 0_{M}}$

${\displaystyle {\text{PT}}^{*}M=({\text{T}}^{*}M-{0_{M}})/{\sim }\ {\text{ ただし、}}\omega _{i}\in {\text{T}}_{p}^{*}M の場合、\ \omega _{1}\sim \omega _{2}\ \iff \ \exists \ \lambda \neq 0\ :\ \omega _{1}=\lambda \omega _{2}.}$

2 k + 1次元の奇数次元多様体M上の接触構造は、各点で一般的なξで表される接触要素の滑らかな分布です。 ^{[2] [3]一般性条件は、} ξが積分不可能なことです。

接触要素ξの滑らかな分布が、局所的には微分1形式 α、すなわち余接束の滑らかな断面によって与えられていると仮定する。非積分条件は次のように明示的に与えられる: ^[2]

${\displaystyle \alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{k}\neq 0\ {\text{where}}\ ({\text{d}}\alpha )^{k}=\underbrace {{\text{d}}\alpha \wedge \ldots \wedge {\text{d}}\alpha } _{k{\text{-times}}}.}$

ξ が微分1形式αで与えられる場合、同じ分布が局所的にβ = ƒ⋅ αで与えられることに注意してください。ここで、 ƒは非ゼロの滑らかな関数です。ξが共方向付け可能であれば、α はグローバルに定義されます。

フロベニウスの積分可能性の定理から、接触体ξ は完全に積分不可能であることがわかります。接触体に関するこの特性は、M内の重なり合わない超曲面族の接平面から形成される体であることとほぼ逆の特性です。特に、M内では、局所的にも接空間がξと一致する超曲面を見つけることはできません。実際、 kより大きい次元の部分多様体で、接空間がξ内にあるものは存在しません。

定義の結果として、2 形式ω  =  dα をξの超平面に制限すると、非退化 2 形式になります。この構成により、任意の接触多様体Mに、 Mの次元より 1 小さいランクの自然なシンプレクティックバンドルが提供されます。シンプレクティックベクトル空間は常に偶数次元ですが、接触多様体は奇数次元である必要があることに注意してください。

任意のn次元多様体 Nの余接バ​​ンドル T * Nは、それ自体が多様体 (次元 2 n ) であり、正確なシンプレクティック構造 ω = dλ を自然にサポートします。 (この 1 形式λは、リウヴィル形式と呼ばれることもあります)。関連する接触多様体を構築する方法はいくつかあり、いくつかは次元 2 n  − 1 であり、いくつかは次元 2 n  + 1 です。

投影化

M をNの余接バ​​ンドルの射影化とします。したがって、MはN上のファイバーバンドルであり、その点xにおけるファイバーはT* N内の直線の空間、または同値として、 T N内の超平面の空間です。 1-形式λ はM上の真の 1-形式には降りません。ただし、これは次数 1 の同次であるため、 Mのファイバーごとのトートロジー直線バンドルの双対である直線バンドル O(1) に値を持つ 1-形式を定義します。この 1-形式の核は接触分布を定義します。

エネルギー表面

H がT* N上の滑らかな関数であり、EがHの正規値であり、そのためレベル セットが余次元 1 の滑らかな部分多様体であるとします。ベクトル場Yは、 Lを横切り、共形シンプレクティックである場合、オイラー (またはリウヴィル) ベクトル場と呼ばれます。つまり、Yに関するdλのリー微分は、 Lの近傍でdλの倍数になります。 ${\displaystyle L=\{(q,p)\in T^{*}N\mid H(q,p)=E\}}$

この場合、 のLへの制約は、 L上の連絡フォームです。 ${\displaystyle i_{Y}\,d\lambda }$

この構成はハミルトン力学に由来しており、H は配置空間Nと位相空間T * N を持つ機械システムのハミルトニアンであり、E はエネルギーの値です。

単位コタンジェントバンドル

多様体N上のリーマン計量を選択し、関連する運動エネルギーをHとする。すると、レベル セット H = 1/2 は Nの単位余接バンドル、つまりN上のファイバーが球である次元 2 n  − 1の滑らかな多様体である。すると、単位余接バンドルに制限されたリウヴィル形式は接触構造である。これは、2 番目の構成の特殊なケースに対応し、オイラー ベクトル場Yの流れは、運動量 p sの線形スケーリングに対応し、q s は固定されます。ベクトル場Rは、次の式で定義されます。

すべてのベクトル場Aに対してλ ( R ) = 1 かつdλ ( R ,  A ) = 0であり、

はレーブベクトル場と呼ばれ、リーマン計量の測地線フローを生成します。より正確には、リーマン計量を使用すると、 Nの余接バ​​ンドルの各点をNの接バンドルの点と同一視することができ、その（単位）余接バンドルの点におけるRの値は、 Nに平行な対応する（単位）ベクトルになります。

最初のジェットバンドル

一方、N上の実数値関数の 第1ジェットバンドルを考慮することで、次元2 n + 1の接触多様体M を構築できます。このバンドルは、関数の外微分を使用してT * N × Rに同型です。座標 ( x、  t ) では、M は接触構造を持ちます。

α = dt + λです。

逆に、任意の接触多様体Mが与えられたとき、積M × R はシンプレクティック多様体の自然な構造を持つ。α がM上の接触形式であれば、

ω = d ( e ^t α)

はM × R上のシンプレクティック形式であり、t はR方向の変数を表します。この新しい多様体は接触多様体Mのシンプレクティック化（文献ではシンプレクティック化と呼ばれることもあります）と呼ばれます。

代表的な例として、座標 ( x , y , z ) と 1 形式dz − y dxを持つR ^{3を考えます}。点 ( x , y , z ) における接触面ξは、ベクトルX ₁ = ∂ _yとX ₂ = ∂ _x + y ∂ _zによって張られます。

単一変数xとy を多変数x ₁、...、  x _n、y ₁、...、  y _nに置き換えることで、この例を任意のR ^{2 n +1}に一般化できます。Darboux の定理により、多様体上のすべての接触構造は、局所的には (2 n  + 1) 次元ベクトル空間上のこの特定の接触構造のように見えます。

ササキ多様体は接触多様体の重要なクラスを構成します。

連結した コンパクトな 有向三次元多様体はすべて接触構造を持つ。^[4]この結果は、任意のコンパクトなほぼ接触多様体に一般化される。^[5]

接触多様体の最も興味深い部分空間は、そのルジャンドリアン部分多様体です。(2 n  + 1) 次元多様体上の接触超平面体の非積分性は、局所的であっても、どの 2 n次元部分多様体もそれを接束として持たないことを意味します。ただし、一般に、接空間が接触場の内側にある n 次元 (埋め込みまたは浸漬) 部分多様体を見つけることは可能です。これらはルジャンドリアン部分多様体と呼ばれます。

ルジャンドリアン部分多様体は、シンプレクティック多様体のラグランジュ部分多様体に類似しています。正確な関係があります。接触多様体のシンプレクティック化におけるルジャンドリアン部分多様体の持ち上げは、ラグランジュ部分多様体です。

ルジャンドリアン部分多様体の最も単純な例は、接触 3 次元多様体内のルジャンドリアン結び目です。同値でないルジャンドリアン結び目は、滑らかな結び目として同値である場合があります。つまり、滑らかな同位体である結び目があり、その同位体はルジャンドリアン結び目のパスとして選択できません。

ルジャンドリアン部分多様体は非常に剛性の高いオブジェクトです。通常、埋め込みのルジャンドリアン同位体クラスは無限に存在し、それらはすべて滑らかな同位体です。シンプレクティック場理論は、相対接触ホモロジーと呼ばれるルジャンドリアン部分多様体の不変量を提供します。これにより、位相的に同一である (つまり滑らかな同位体である) 異なるルジャンドリアン部分多様体を区別できる場合があります。

α が与えられた接触構造の接触形式である場合、レーブベクトル場R は、α( R ) = 1となる dα の (1 次元) 核の一意の要素として定義できます。接触多様体がシンプレクティック多様体内の一定エネルギー超曲面として発生する場合、レーブベクトル場は、エネルギー関数に関連付けられたハミルトンベクトル場の部分多様体への制限です。(ハミルトンベクトル場はエネルギーレベルを保存するため、制限により接触超曲面上のベクトル場が生成されます。)

レーブ場のダイナミクスは、接触多様体、あるいは基礎となる多様体の構造を、シンプレクティック場理論や、3次元では埋め込み接触ホモロジーなどのフレアーホモロジーの手法を使って研究するのに使えます。核が同じ接触構造を与える異なる接触形式は、異なるレーブベクトル場を生成し、そのダイナミクスは一般に非常に異なります。接触ホモロジーのさまざまな種類は、接触形式の選択に先験的に依存し、レーブベクトル場の閉じた軌跡から代数構造を構築します。しかし、これらの代数構造は接触形式に依存しない、つまり基礎となる接触構造の不変量であることが判明しており、最終的には接触形式は補助的な選択とみなすことができます。埋め込み接触ホモロジーの場合、基礎となる3次元多様体の不変量が得られます。つまり、埋め込み接触ホモロジーは接触構造に依存しません。これにより、多様体上の任意のレーブベクトル場に対して成り立つ結果を得ることができます。

リーブ油田はジョルジュ・リーブにちなんで名付けられました。

接触幾何学の起源は、クリスティアーン・ホイヘンス、アイザック・バロー、アイザック・ニュートンの研究に見られる。接触変換（接触構造を保存する変換）の理論は、微分方程式（ルジャンドル変換や正準変換など）を研究し、射影双対性でおなじみの「空間要素の変化」を記述するという2つの目的をもって、ソフス・リーによって開発された。

「接触多様体」という用語が初めて使われたのは1958年の論文である^{[6] [7] [8]}

• フロアーホモロジー、そのいくつかのフレーバーは接触多様体とそのルジャンドリアン部分多様体の不変量を与える
• サブリーマン幾何学

• Etnyre, J. (2003). 「接触幾何学入門講義」. Proc. Sympos. Pure Math . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 71 : 81–107 . arXiv : math/0111118 . doi :10.1090/pspum/071/2024631. ISBN 9780821835074. S2CID  6174175。
• ガイゲス、H. (2003)。 「接触幾何学」。arXiv : math/0307242。
• ガイゲス、ハンスイェルク (2008)。コンタクト トポロジの概要。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-139-46795-7。
• Aebischer (1994).シンプレクティック幾何学. Birkhäuser. ISBN 3-7643-5064-4。
• アーノルド、VI（1989）。古典力学の数学的手法。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-96890-3。

• アーノルド、VI（1988）。常微分方程式の理論における幾何学的手法。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-96649-8。

• サーストン、ウィリアム(1997)。『3次元幾何学とトポロジー』プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08304-5。

• ルッツ、R. (1988)。 「歴史と接触に関する展望」。微分幾何学とトポロジーに関する会議 (サルデーニャ、1988 年)。レンド。ファック。科学。大学カリアリ。 Vol. 58補足361 ～ 393ページ。MR  1122864  。
• Geiges, H. (2001). 「接触幾何学とトポロジーの簡潔な歴史」. Expo. Math . 19 : 25–53 . doi : 10.1016/S0723-0869(01)80014-1 .
• アーノルド、ウラジミール I. (2012) [1990]。ホイヘンスとバロー、ニュートンとフック:進化論から準結晶までの数学的解析とカタストロフィー理論の先駆者たち。ビルクハウザー。ISBN 978-3-0348-9129-5。
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