一般相対性理論の数学

アルベルト・アインシュタインの一般相対性理論を研究・定式化する際には、様々な数学的構造と手法が用いられます。この幾何学的 重力理論において主要なツールとなるのは、時空を表すローレンツ多様体上に定義されたテンソル場です。本稿では、一般相対性理論の数学について概説します。

注: テンソルを使用する一般相対性理論の記事では、抽象的なインデックス表記を使用します。

一般共変性の原理は、一般相対性理論の発展における中心的な原理の一つでした。この原理は、物理法則はすべての慣性系において同じ数学的形式をとるべきであると述べています。「一般共変性」という用語は、一般相対性理論の初期の定式化で使用されましたが、現在ではこの原理はしばしば「微分同相共変性」と呼ばれています。

微分同相共変性は一般相対性理論の決定的な特徴ではなく、^{[ a ]}一般相対性理論におけるその現状については議論が続いている。しかし、この原理に内在する物理法則の不変性と、理論が本質的に幾何学的性質を持つ（非ユークリッド幾何学を利用する）という事実から、一般相対性理論はテンソルの言語を用いて定式化されるべきであると示唆された。これについては後ほどさらに詳しく説明する。

数学的一般相対性理論に対する現代のアプローチのほとんどは、多様体の概念から始まります。より正確には、重力を表す基本的な物理的構造である曲がった時空は、 4次元の滑らかで連結されたローレンツ多様体によってモデル化されます。その他の物理的記述子は、以下で説明するさまざまなテンソルによって表されます。

多様体を基本的な数学的構造として選択する根拠は、望ましい物理的性質を反映するためである。例えば、多様体の理論では、各点は（決して一意ではない）座標チャートに含まれており、このチャートは観測者（点で表される）の周りの「局所時空」を表していると考えることができる。特殊相対性理論の法則が時空上の各点の周りで局所的に成り立つという局所ローレンツ共変性の原理は、時空を表すために多様体構造を選択することのさらなる根拠となる。なぜなら、一般的な多様体上の点の周りの局所的な領域は、ミンコフスキー空間（平坦な時空）に「似ている」か、あるいは非常に近い近似を示すからである。

座標図を「近傍で測定を行うことができる局所的な観測者」と捉える考え方は、物理的にも理にかなっている。なぜなら、実際に物理データを収集する方法はまさに局所的なものだからだ。宇宙論的な問題においては、座標図は非常に大きなものになる可能性がある。

相対性理論の重大な帰結の一つは、特権的な基準系の廃止であった。物理現象の記述は、誰が測定を行うかによって左右されるべきではなく、どの基準系も等しく有効であるべきである。特殊相対性理論は、どの慣性系も他の慣性系より優れているわけではないが、慣性系は非慣性系より優れていることを示した。一般相対性理論は、自然を記述する上で（慣性系であろうとなかろうと）優先される基準系は存在しないことを示すことで、慣性系への偏りをなくした。

どの観測者も測定を行うことができ、得られる正確な数値量は使用する座標系にのみ依存します。このことから、相対性理論を「不変構造」を用いて定式化する方法が示唆されました。不変構造とは、観測者によって表される座標系に依存しないにもかかわらず、独立した存在を持つ構造のことです。最も適切な数学的構造はテンソルであると考えられました。例えば、加速する電荷によって生成される電場と磁場を測定する場合、これらの場の値は使用する座標系に依存しますが、これらの場は独立した存在を持つとみなされ、この独立性は電磁テンソルによって表されます。

テンソルは一般化された線形演算子、すなわち多重線形写像である。そのため、テンソルを研究する際には線形代数の概念が用いられる。

各ポイントで${\displaystyle p}$多様体のその点における接空間と余接空間を構築することができる。ベクトル（反変ベクトルと呼ばれることもある）は接空間の要素として定義され、余ベクトル（共変ベクトルと呼ばれることもあるが、より一般的には双対ベクトルまたは1形式と呼ばれる）は余接空間の要素である。

で${\displaystyle p}$これらの2つのベクトル空間は、型を構築するために使用できます。${\displaystyle (r,s)}$テンソルは、実数値の多重線形写像であり、直和に作用する。${\displaystyle r}$余接空間のコピー${\displaystyle s}$接空間のコピー。このような多重線形写像の集合は、テンソル積空間と呼ばれるベクトル空間を形成する。${\displaystyle (r,s)}$で${\displaystyle p}$そして、${\displaystyle (T_{p})_{s}^{r}M.}$接空間がn次元の場合、以下が示される。${\displaystyle \dim(T_{p})_{s}^{r}M=n^{r+s}.}$

一般相対性理論の文献では、テンソルを表すのに成分構文を用いるのが一般的である。

タイプ${\displaystyle (r,s)}$テンソルは次のように記述できます。

$$${\displaystyle T={T^{a_{1}\dots a_{r}}}_{{b_{1}}\dots {b_{s}}}{\frac {\partial }{\partial x^{a_{1}}}}\otimes \dots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{a_{r}}}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \dots \otimes dx^{b_{s}}}$$$ どこ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}}$はi番目の接空間の基底であり、$\displaystyle dx^{b_j}}$j番目の余接空間の基底。

時空は4次元であると仮定すると、テンソルの各インデックスは4つの値のいずれかになります。したがって、テンソルが持つ要素の総数は4Rに等しくなります^。ここでRは共変量の数です。${\displaystyle (b_{i})}$および反変${\displaystyle (a_{i})}$テンソルのインデックス、${\displaystyle r+s}$（テンソルのランクと呼ばれる数値）

多様体上のテンソル場は、多様体の各点にテンソルを対応付ける写像です。この概念は、ファイバー束の概念を導入することでより厳密にすることができます。ファイバー束とは、多様体のすべての点におけるすべてのテンソルをまとめて、テンソル束と呼ばれる一つの大きなオブジェクトに「束ねる」ことを意味します。テンソル場は、多様体からテンソル束への写像として定義され、各点がテンソル束に対応します。${\displaystyle p}$テンソルに関連付けられている${\displaystyle p}$。

一般相対性理論において、テンソル場の概念は非常に重要です。例えば、恒星の周囲の幾何学は各点における計量テンソルによって記述されるため、物質粒子の軌跡を求めるには、時空の各点における計量の値を与える必要があります。別の例としては、帯電ブラックホールの周囲の各点における電場と磁場（電磁場テンソルによって与えられる）の値と計量を用いて、そのような場における帯電粒子の運動を決定することが挙げられます。

ベクトル場は反変なランク1のテンソル場である。相対性理論における重要なベクトル場には、4元速度、${\displaystyle U^{a}={\dot {x}}^{a}}$これは、単位固有時間あたりに移動した座標距離であり、4 加速度${\displaystyle A^{a}={\ddot {x}}^{a}}$そして4つの電流${\displaystyle J^{a}}$電荷密度と電流密度を記述する。相対性理論において物理的に重要なその他のテンソル場には、以下のものがある。

• 応力エネルギーテンソル${\displaystyle T^{ab}}$対称な2階テンソル。
• 電磁場テンソル${\displaystyle F^{ab}}$、ランク2の反対称テンソル。

「テンソル」という言葉は一点における対象物を指すが、時空（またはその領域）上のテンソル場を単に「テンソル」と呼ぶのが一般的である。

計量が定義されている時空の各点において、シルベスターの慣性の法則を用いて計量をミンコフスキー形式に還元することができる。

一般相対性理論の登場以前は、物理過程の変化は一般的に偏微分によって記述されていました。例えば、電磁場の変化を記述する場合（マクスウェル方程式を参照）などです。特殊相対性理論においても、偏微分は依然としてそのような変化を記述するのに十分です。しかし、一般相対性理論では、テンソルでもある微分を用いる必要があることがわかっています。これらの微分には、ベクトル場の積分曲線に沿った微分であるなど、いくつかの共通の特徴があります。

平坦でない多様体上​​で導関数を定義する際の問題点は、異なる点におけるベクトルを自然な方法で比較できないことである。導関数を定義するには、一般的な多様体上に何らかの追加構造を導入する必要がある。以下では、それぞれの場合において多様体に何らかの追加構造を導入することで定義できる、重要な2つの導関数について説明する。

一般相対性理論の重要な特徴の一つは、曲がった多様体の概念である。多様体の曲率を測定する有効な方法の一つは、リーマンテンソル（曲率テンソル）を用いることである。

このテンソルは、2つの曲線に沿って2点間をベクトルを平行移動させた場合の効果を考慮することで、アフィン接続を用いて曲率を測定します。これら2つの平行移動経路の結果の差異は、本質的にリーマンテンソルによって定量化されます。

リーマンテンソルのこの性質は、当初平行であった測地線がどのように分岐していくかを記述するために利用できる。これは測地線偏差の式で表され、重力場において生じる潮汐力は時空の曲率の結果であることを意味する。

上記の手順を用いると、リーマンテンソルはタイプ(1, 3)のテンソルとして定義され、完全に書き出すとクリストッフェル記号とその1階偏微分が明示的に含まれます。リーマンテンソルは20個の独立成分を持ちます。ある領域でこれらの成分がすべてゼロになるということは、その領域では時空が平坦であることを示しています。測地線の偏差の観点から言えば、これは時空のその領域で最初に平行だった測地線が平行のままであることを意味します。

リーマンテンソルには、リーマンテンソルの対称性と呼ばれるいくつかの性質がある。一般相対性理論において特に重要なのは、代数的および微分的なビアンキ恒等式である。

リーマン多様体の接続と曲率は密接に関連しており、多様体上の曲線に沿った平行移動によって定義される線形写像をとることによって形成されるホロノミー群の理論は、この関係を記述するものである。

リーマンテンソルによって、空間が平坦かどうか、あるいは曲がっている場合は、任意の領域でどれだけの曲率が生じているかを判断できます。リーマン曲率テンソルを導出するには、まず、添え字が1つと2つのテンソルの共変微分の定義を思い出す必要があります。

1. $${\displaystyle \nabla _{\mu }V_{\nu }=\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }}$$
2. $${\displaystyle \nabla _{\sigma }[V_{\mu \nu }]=\partial _{\sigma }V_{\mu \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }V_{\rho \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }V_{\mu \rho }}$$

リーマンテンソルの形成には、ランク1のテンソルに関して共変微分を2回行う。方程式は次のように設定される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\sigma$$ ;\mu }V_{\nu }&=\nabla _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]\\&=\partial _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }[\nabla _{\rho }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }[\nabla _{\mu }V_{\rho }]\\&=\partial _{\sigma }[\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }[\partial _{\rho }V_{\nu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }[\partial _{\mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }]\\&=\partial _{\sigma }\partial _{\mu }V_{\nu }-\partial _{\sigma }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\部分的_{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }\\&=\partial _{\sigma }\partial _{\mu }V_{\nu }-\partial _{\sigma }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu })V_{\アルファ}-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }\partial _{\sigma }(V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }\end{整列}}}

同様に、以下のものも存在します。 $${\displaystyle \nabla _{\mu$$ ;\sigma }V_{\nu }=\partial _{\mu }\partial _{\sigma }V_{\nu }-\partial _{\mu }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma })V_{\alpha }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }(V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \mu }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\partial _{\sigma }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma }V_{\alpha }}

2つの式を引き算し、ダミーの添え字を入れ替え、クリストッフェル記号の対称性を用いると、次の式が得られます。 $${\displaystyle \nabla _{\sigma$$ ;\mu }V_{\nu }-\nabla _{\mu  ;\sigma }V_{\nu }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho } ​ $${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }V_{\alpha }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }b-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma })V_{\alpha }}$$

最後に、リーマン曲率テンソルは次のように表されます。 $${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma }}$$

添え字を縮約することでテンソルを共変にすることができます。これは計量を掛けることで行われ、アインシュタインの場の方程式を扱う際に役立ちます。 $${\displaystyle g_{\alpha \lambda }R_{\nu \mu \sigma }^{\lambda }=R_{\alpha \nu \mu \sigma }}$$ さらに分解すると、 $${\displaystyle g^{\alpha \mu }R_{\alpha \nu \mu \sigma }=R_{\nu \sigma }}$$

このテンソルはリッチテンソルと呼ばれ、次のように設定することで導出することもできます。${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \mu }$リーマンテンソルの同じインデックスにそれらを合計します。次に、さらに一歩進むことで曲率スカラーを求めることができます。 $${\displaystyle g^{\nu \sigma }R_{\nu \sigma }=R}$$

これで3つの異なるオブジェクトができました。

1. リーマン曲率テンソル：${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }}$または${\displaystyle R_{\alpha \nu \mu \sigma }}$
2. リッチテンソル：${\displaystyle R_{\nu \sigma }}$
3. スカラー曲率：${\displaystyle R}$

これらはすべて、アインシュタインの場の方程式の解を計算する際に役立つ。

相対性理論では、あらゆる重力場（物質とエネルギー）の源は、エネルギー・運動量テンソルと呼ばれるタイプ（0, 2）の対称テンソルで表されます。これはリッチテンソルと密接に関連しています。エネルギー・運動量テンソルは4次元空間における2階テンソルであるため、4×4行列と見なすことができます。エネルギー・運動量テンソルが満たさなければならないエネルギー条件によって特定の形式が排除されるため、ジョルダン形式と呼ばれる様々な許容行列形式がすべて出現するわけではありません。

アインシュタイン場の方程式（EFE）は、一般相対性理論の中核を成すものです。EFEは、質量とエネルギー（応力エネルギーテンソルで表される）が時空の曲率（アインシュタインテンソルで表される）とどのように関連しているかを記述します。抽象的な添え字表記では、EFEは次のようになります。 $${\displaystyle G_{ab}+\Lambda g_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{ab}}$$ どこ${\displaystyle G_{ab}}$アインシュタインテンソルは、${\displaystyle \Lambda }$は宇宙定数です。${\displaystyle g_{ab}}$は計量テンソルです。${\displaystyle c}$は真空中の光速であり、${\displaystyle G}$は重力定数であり、ニュートンの万有引力の法則から導かれる。

EFE の解は計量テンソルです。EFE は計量に関する非線形微分方程式であるため、解くのが難しい場合が多いです。これを解くためにいくつかの戦略が用いられています。たとえば、最終的な計量の仮説(または推測) から始めて、座標系をサポートするのに十分な具体性がありながら、解ける未知数を含む連立微分方程式が得られるほど一般的なものになるまでそれを洗練していく戦略があります。結果として得られる微分方程式が物理的に妥当なエネルギー・運動量分布に対して厳密に解ける場合から得られる計量テンソルは、厳密解と呼ばれます。重要な厳密解の例としては、シュワルツシルト解やフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー解などがあります。

EIH近似とその他の参考文献（例：Geroch and Jang、1975年 - 「一般相対性理論における物体の運動」、JMP、第16巻第1号）。これは実際の引用に変更可能。できればインラインで記載。

EFEを解いて計量を得たら、あとは時空における慣性物体の運動を決定するだけです。一般相対性理論では、慣性運動は固有時間によってパラメータ化された時空の時間的測地線とヌル測地線に沿って起こると仮定されています。測地線とは、自身の接線ベクトルを平行移動させる曲線です。${\displaystyle {\vec {U}}}$; つまり、${\displaystyle \nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0}$この条件、すなわち測地線方程式は、座標系を用いて記述することができる。${\displaystyle x^{a}}$接線ベクトルを用いて${\displaystyle U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}}$: $${\displaystyle {\ddot {x}}^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\,{\dot {x}}^{b}\,{\dot {x}}^{c}=0}$$ どこ${\displaystyle {\dot {}}}$は固有時間による微分を表す。${\displaystyle d/d\tau }$τは曲線に沿った固有時間をパラメータ化し、クリストッフェル記号の存在を明らかにします。

一般相対性理論の主要な特徴は、重力場における粒子と放射線の経路を決定することである。これは測地線方程式を解くことによって達成される。

EFEは、全物質（エネルギー）分布と時空の曲率を関連付けます。その非線形性により、結果として生じる時空における物質の正確な運動を決定する際に問題が生じます。例えば、恒星の周りを公転する惑星からなる系では、惑星の運動は、惑星と恒星のエネルギー・運動量テンソルの合計であるエネルギー・運動量テンソルを用いて場の方程式を解くことによって決定されます。惑星の重力場は全時空の幾何学に影響を与え、ひいては物体の運動にも影響を与えます。したがって、場の方程式を用いて測地線方程式を導出できると考えるのは妥当です。

システムのエネルギー・運動量テンソルが塵のものである場合、エネルギー・運動量テンソルの局所保存則を用いることで、測地線方程式が厳密に満たされることが示される。

あらゆる物理理論における運動方程式や場の方程式を導出するという問題は、多くの研究者にとって魅力的な課題である。これらの導出を行うためのかなり普遍的な方法は、変分法の手法を用いることであり、この手法で主に用いられるのはラグランジアンである。

この手法を理論構築の洗練された方法と考える人もいれば、単に理論を形式的に表現する方法だと考える人もいる（通常、ラグランジュ構成は理論が構築された後に行われる）。

理論を構築する際に用いられる基本的な数学的構造を概説したので、次に時空を研究する際に用いられる重要な数学的手法について論じる。

• リッチ計算– テンソルベースの計算のためのテンソル添え字表記法