部分多様体

数学において、多様体の部分多様体とは、それ自体が多様体の構造を持ち、その包含写像が特定の特性を満たす部分集合のことです。正確にどのような特性が要求されるかによって、部分多様体にはさまざまな種類があります。著者によって定義が異なることもよくあります。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\rightarrow M}$

以下では、すべての多様体は固定された に対してクラスの微分可能多様体であり、すべての射はクラスの 微分可能であると仮定します。 ${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle r\geq 1}$${\displaystyle C^{r}}$

多様体の浸漬部分多様体は浸漬写像の像である。一般にこの像は部分集合としての部分多様体にはならず、浸漬写像は単射（1対1）である必要はなく、自己交差を持つこともできる。^[1]${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

より狭義には、写像が注入（1対1）であることを要求することができ、これを注入的浸漬と呼び、浸漬部分多様体を、が多様体であり包含が微分同相写像 となるような位相および微分構造を伴う像部分集合として定義します。これは 上の位相にすぎず、一般に部分集合位相とは一致しません。一般に部分集合 は、部分集合位相においての部分多様体ではありません。 ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$

任意の入射的浸漬が与えられた場合、におけるの像は浸漬部分多様体の構造を一意に与えることができるため、は微分同相写像 となる。したがって、浸漬部分多様体はまさに入射的浸漬の像である。 ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f:N\rightarrow f(N)}$

はめ込まれた部分多様体上の部分多様体位相は、から継承された部分空間位相である必要はありません。一般に、部分空間位相よりも細かくなります(つまり、開集合が多くなります)。 ${\displaystyle M}$

浸漬部分多様体は、リー群の理論で現れます。リー群では、リー部分群は自然に浸漬部分多様体です。また、浸漬部分多様体がフロベニウスの定理を証明するための適切なコンテキストを提供する葉脈の研究にも現れます。

埋め込み部分多様体（正則部分多様体とも呼ばれる）は、包含写像が位相的埋め込みである埋め込み部分多様体です。つまり、 上の部分多様体の位相は、部分空間の位相と同じです。 ${\displaystyle S}$

多様体の像への埋め込み は、自然に埋め込み部分多様体の構造を持ちます。つまり、埋め込み部分多様体はまさに埋め込みの像です。 ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f(N)}$

埋め込み部分多様体の本質的な定義があり、これはしばしば役に立ちます。を - 次元多様体とし、を となる整数とします。の - 次元埋め込み部分多様体は、すべての点に対して が- 次元平面ととの交点となるようなチャートを含むような部分集合です。このペアは上の微分構造のアトラスを形成します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S\subset M}$${\displaystyle p\in S}$ ${\displaystyle U\subset M,\varphi :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varphi (S\cap U)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \varphi (U)}$${\displaystyle (S\cap U,\varphi \vert _{S\cap U})}$${\displaystyle S}$

アレクサンダーの定理とジョーダン・シェーンフライスの定理は滑らかな埋め込みの良い例です。

文献では、他にもサブマニフォールドのバリエーションがいくつか使用されています。ニートサブマニフォールドとは、その境界が全体の境界と一致するマニフォールドです。^[2]シャープ (1997) は、埋め込みサブマニフォールドと浸漬サブマニフォールドの中間に位置するタイプのサブマニフォールドを定義しています。

多くの著者は位相的部分多様体も定義しています。これらは を持つ部分多様体と同じです。^[3]埋め込まれた位相的部分多様体は、埋め込みを拡張する各点で局所チャートが存在するという意味で必ずしも正則ではありません。反例としては、ワイルドアークとワイルドノットがあります。 ${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle r=0}$

の任意のはめ込み部分多様体が与えられた場合、の点への接空間は、の接空間の線型部分空間として自然に考えることができる。これは、包含写像がはめ込みであり、射影を与えるという事実から導かれる。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle i_{\ast }:T_{p}S\to T_{p}M.}$

S がの埋め込み部分多様体であるとします。包含写像が閉じている場合、 は実際には の埋め込み部分多様体です。逆に、が埋め込み部分多様体であり、それが閉じた部分集合でもある場合、包含写像は閉じています。包含写像が閉じているのは、それが適切な写像である場合（つまり、コンパクト集合の逆像がコンパクトである場合）に限ります。が閉じている場合、 は の閉じた埋め込み部分多様体と呼ばれます。閉じた埋め込み部分多様体は、部分多様体の最も優れたクラスを形成します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle i:S\to M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle i:S\to M}$${\displaystyle i}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$

滑らかな多様体は、ある に対して、実座標空間の埋め込み部分多様体として定義されることがあります。この観点は、通常の抽象的なアプローチと同等です。なぜなら、ホイットニーの埋め込み定理により、任意の第 2 可算な滑らかな (抽象的な) -多様体は に滑らかに埋め込むことができるからです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$

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