ホイットニー埋め込み定理

数学、特に微分位相幾何学には、ハスラー・ホイットニーにちなんで名付けられた 2 つのホイットニー埋め込み定理があります。

• 強いホイットニーの埋め込み定理は、任意の滑らかな 実 m次元多様体（ハウスドルフかつ第二可算であることも要求される）は、 m > 0であれ ば、実2 m空間に滑らかに埋め込むことができることを述べています。これは、すべての m 次元多様体が埋め込まれる最小次元ユークリッド空間に対する最良の線型境界です。なぜなら、 m が 2 の累乗である場合、次元mの実射影空間は実(2 m − 1)空間に埋め込むことができないからです（これもホイットニーによる特性類の議論からわかるように）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m},}$
• 弱いホイットニーの埋め込み定理は、 n次元多様体からm次元多様体への任意の連続関数は、m > 2 nであれば滑らかな埋め込みで近似できることを述べています。ホイットニーは同様に、 m > 2 n − 1であれば、そのような写像は埋め込みで近似できることを証明しました。この最後の結果は、ホイットニーの埋め込み定理と呼ばれることもあります。

弱いホイットニー埋め込みは射影の議論を通じて証明されます。

多様体がコンパクトな場合、まず有限個の局所チャートによる被覆を使用し、次に適切な射影によって次元を削減することができる。^{[1] : Ch. 1 §3  [2] : Ch. 6  [3] : Ch. 5 §3}

証明の大まかな概要は、横断的な自己交差を持つ浸漬から始めることです。これらは、ホイットニーの以前の${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} ^{2m}}$弱い浸漬定理に関する研究から存在することが知られています。二重点の横断性は、一般位置の議論から生じます。アイデアは、何らかの方法ですべての自己交差を削除することです。Mに境界がある場合、二重点を含まないMの部分多様体に、 M をそれ自体に同位体化するだけで (同位体はfのドメイン内にあります)、自己交差を削除できます。したがって、 Mに境界がない場合にすぐに至ります。同位体を介して二重点を削除できない場合があります。たとえば、平面内の円の 8 の字浸漬を考えてみましょう。この場合は、局所的な二重点を導入する必要があります。

2 つの反対の二重点が得られたら、その 2 つを接続する閉じたループを構築して、⁠ ⁠内の閉じたパスを作成します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}.}$⁠ ⁠は${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$単連結な ので、このパスは円板を囲むと想定でき、2 m > 4であれば、さらに (弱いホイットニーの埋め込み定理により) 円板は⁠ ⁠に埋め込まれており、境界でのみ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$Mの像と交差すると想定できます。次にホイットニーは、円板を使用して1 パラメータの浸漬ファミリを作成し、実質的にM を円板全体に押し込み、その過程で 2 つの二重点を削除します。二重点が導入された 8 の字浸漬の場合、押し込み移動は非常に簡単です (図を参照)。

多様体を円板に沿って押すことによって反対符号の二重点を除去するこのプロセスは、ホイットニー トリックと呼ばれます。

局所的な二重点を導入するために、ホイットニーは単位球の外側ではほぼ線形だが単一の二重点を含む浸漬を作成した。m = 1の場合、このよう${\displaystyle \alpha _{m}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{2m}}$な浸漬は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha :\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{2}\\\alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)\end{cases}}}$

αが⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$への写像として次のように考えられていることに注意してください。

${\displaystyle \alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}},0\right)}$

すると、二重点は埋め込みに解決できます。

${\displaystyle \beta (t,a)=\left({\frac {1}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ t-{\frac {2t}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ {\frac {ta}{(1+t^{2})(1+a^{2})}}\right).}$

β( t , 0) = α( t )であり、a ≠ 0の場合、 tの関数として、β( t ,  a )は埋め込みである ことに注意してください。

より高次元のmでは、同様に⁠ ⁠で解決できるα _mがあります。たとえば、 ⁠ ⁠への埋め込みでは、次のように定義します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m+1}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{5},}$

${\displaystyle \alpha _{2}(t_{1},t_{2})=\left(\beta (t_{1},t_{2}),\ t_{2}\right)=\left({\frac {1}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{1}-{\frac {2t_{1}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ {\frac {t_{1}t_{2}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{2}\right).}$

このプロセスは最終的に次の定義につながります。

${\displaystyle \alpha _{m}(t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m})=\left({\frac {1}{u}},t_{1}-{\frac {2t_{1}}{u}},{\frac {t_{1}t_{2}}{u}},t_{2},{\frac {t_{1}t_{3}}{u}},t_{3},\cdots ,{\frac {t_{1}t_{m}}{u}},t_{m}\right),}$

どこ

${\displaystyle u=(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})\cdots (1+t_{m}^{2}).}$

α _mの主な特性は、2点を除く埋め込みであることです。 α _m (1, 0, ... , 0) = α _m (−1, 0, ... , 0)。さらに、|( t ₁ , ... ,  t _m )|が大きい場合、これは近似的に線形埋め込み(0,  t ₁ , 0,  t ₂ , ... , 0,  t _m )です。

ホイットニートリックは、スティーブン・スメールがh-コボルディズム定理を証明するために使用しました。この定理から、次元m ≥ 5におけるポアンカレ予想と、円板上の滑らかな構造の分類（次元 5 以上）が導かれます。これは、次元 5 以上の多様体を分類する 手術理論の基礎となります。

次元が 5 以上の単連結多様体内に相補次元を持つ 2 つの有向部分多様体がある場合、交点のすべてが同じ符号を持つように、部分多様体の 1 つに同位体を適用できます。

ハスラー・ホイットニーによる滑らかな多様体に対する埋め込み定理の証明は、 （むしろ驚くべきことに）多様体の概念の最初の完全な説明であったと言われています。それは、それが当時の多様体のさまざまな概念をまとめ、統一したからです。つまり、図表によって本質的に定義された抽象多様体が、ユークリッド空間の部分多様体として外部的に定義された多様体よりも一般的であるかどうかについて、もはや混乱はありませんでした。背景については、多様体と多様体の歴史も参照してください。

すべてのn多様体は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$に埋め込まれますが、よりよい結果が得られることもよくあります。e ( n )を最小の整数として、すべてのコンパクト連結n多様体が⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{e(n)}.}$に埋め込まれるようにします。ホイットニーの強い埋め込み定理によれば、e ( n ) ≤ 2 nとなります。n = 1, 2の場合、円とクラインの壺が示すように、 e ( n ) = 2 nとなります。より一般的には、 n = 2 ^kの場合、 e ( n ) = 2 nとなり、2 ^k次元の実射影空間が示すように。ホイットニーの結果は、n が2 の累乗でない限り、e ( n ) ≤ 2 n − 1に改善できます。これは、 André HaefligerとMorris Hirsch ( n > 4の場合) およびCTC Wall ( n = 3の場合)の結果です。これらの著者は、ヒルシュ、ウィリアム・S・マッシー、セルゲイ・ノビコフ、ウラジミール・ロクリンによって証明された重要な予備的結果と特定のケースを使用しました。^[4]現在、関数eはすべての整数に対して閉じた形式では知られていません（類似の数が知られているホイットニーの浸漬定理と比較してください）。

多様体に追加の制約を加えることで、結果を強化できます。たとえば、n球は常に⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$に埋め込まれます。 これは最善のことです (閉じたn多様体は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$に埋め込むことはできません)。任意のコンパクトな有向面と空でない境界を持つ任意のコンパクトな面は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$に埋め込まれますが、閉じた非有向面には⁠ ⁠が必要です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

N がコンパクトな有向n次元多様体である場合、N は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-1}}$に埋め込まれます( n が2 の累乗でない場合、有向性条件は不要です)。n が2 の累乗である場合、これはAndré HaefligerとMorris Hirsch ( n > 4の場合)、および Fuquan Fang ( n = 4の場合)の結果です。これらの著者は、Jacques Boéchat と Haefliger、 Simon Donaldson、Hirsch およびWilliam S. Masseyによって証明された重要な予備結果を使用しました。^{[4] Haefliger は、} Nがコンパクトなn次元k連結多様体である場合、2 k + 3 ≤ nであればN は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-k}}$に埋め込まれることを証明しました。^[4]

比較的「簡単な」結果は、 1 次元多様体の⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$への任意の 2 つの埋め込みが同位体であることを証明することです (結び目理論#高次元を参照)。これは一般位置を使用して証明され、これにより、n次元多様体の⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+2}}$への任意の 2 つの埋め込みが同位体であることを示すこともできます。この結果は、弱いホイットニー埋め込み定理の同位体バージョンです。

Wu は、 n ≥ 2の場合、 n多様体の⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$への任意の 2 つの埋め込みは同位体であることを証明しました。この結果は、強いホイットニーの埋め込み定理の同位体バージョンです。

埋め込み結果の同位体バージョンとして、ヘフリガーは、 Nがコンパクトなn次元k連結多様体である場合、⁠ ⁠へのNの任意の 2 つの埋め込みは、 2 k + 2 ≤ n を条件として同位体であることを証明しました。次元制限2 k + 2 ≤ n は鋭いです。ヘフリガーは、 ⁠ ⁠内の非自明に埋め込まれた 3 次元球面(および、より一般的には⁠ ⁠内の(2 d − 1)次元球面) の例を示しました。さらなる一般化を参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-k+1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3d}}$

• 表現定理
• ホイットニーの浸漬定理
• ナッシュ埋め込み定理
• テイケンスの定理
• 非線形次元削減
• 宇宙空間

• ホイットニー、ハスラー（1992）、イールズ、ジェームズ、トレド、ドミンゴ（編）、Collected Papers、ボストン：ビルクハウザー、ISBN 0-8176-3560-2
• ミルナー、ジョン（1965）、h-コボルディズム定理に関する講義、プリンストン大学出版局
• 足立正久（1993）『埋め込みと浸漬』ハドソン・キキ訳、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-4612-4
• Skopenkov, Arkadiy (2008)、「ユークリッド空間における多様体の埋め込みと結び目」、Nicholas Young、Yemon Choi (編)、Surveys in Contemporary Mathematics、London Math. Soc. Lect. Notes.、vol. 347、ケンブリッジ: Cambridge University Press、pp. 248–342、arXiv : math/0604045、Bibcode :2006math......4045S、MR  2388495

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