位相的性質

• 基数​${\displaystyle \vert X\vert }$空間の${\displaystyle X}$。
• 基数${\displaystyle \vert \tau (X)\vert }$空間の位相（開部分集合の集合）${\displaystyle X}$。
• 重さ${\displaystyle w(X)}$空間の位相の基底の最小濃度${\displaystyle X}$。
• 密度$d(X)$部分集合の最小濃度${\displaystyle X}$その閉鎖は${\displaystyle X}$。

これらの用語の中には、古い数学文献では異なる定義がされているものもあります。分離公理の歴史を参照してください。

• T ₀またはコルモゴロフ。空間がコルモゴロフであるとは、空間内の任意の異なる点xとyのペアに対して、 xを含むがy を含まない開集合、またはy を含むが x を含まない開集合のいずれかが少なくとも存在する場合をいう。
• T ₁またはフレシェ空間。空間がフレシェ空間であるとは、空間内の異なる点xとyの任意のペアに対して、 xは含むがy は含まない開集合が存在する場合をいう。（T ₀と比較せよ。ここでは、どの点が開集合に含まれるかを指定できる。）同様に、空間が T ₁であるとは、そのすべての単集合が閉集合である場合をいう。T ₁空間は常に T ₀である。
• 空間が「健全」であるとは、すべての既約閉集合C に一意の一般点pが存在する場合をいう。言い換えれば、C が(互いに素でない場合もある) 2 つのより小さな空でない閉部分集合の和集合でない場合、 { p }の閉包がCと等しくなるようなpが存在し、p はこの性質を持つ唯一の点である。
• T ₂またはハウスドルフ。空間がハウスドルフであるとは、任意の異なる 2 つの点が互いに素な近傍を持つ場合をいう。T ₂空間は常に T ₁である。
• T _2½またはUrysohn。空間がUrysohn であるのは、任意の異なる 2 つの点が互いに素な閉じた近傍を持つ場合です。T _2½空間は常に T ₂です。
• 完全T2空間_または完全ハウスドルフ空間。空間が完全T2空間_であるとは、任意の異なる2点が関数によって分離されることを意味する。完全ハウスドルフ空間はすべてウリゾーン空間である。
• 正則。空間が正則であるとは、 Cが閉集合であり、p がCに含まれない点である場合、Cとp は互いに素な近傍を持つということである。
• T ₃または正則ハウスドルフ空間。空間が正則ハウスドルフ空間であるとは、それが正則 T _{0空間である場合をいう。（正則空間がハウスドルフ空間であるのは、それが T 0}である場合に限るので、用語は一貫している。）
• 完全正則。空間が完全正則であるとは、 Cが閉集合であり、p がCに含まれない点である場合、Cと { p } は関数によって分離されることを意味する。
• T _3½、チコノフ、完全正則ハウスドルフ、または完全 T _3。チコノフ空間は完全正則 T ₀空間です。（完全正則空間がハウスドルフであるのは、それが T ₀である場合のみであり、用語は一貫しています。）チコノフ空間は常に正則ハウスドルフです。
• 正規。空間は、互いに素な2つの閉集合が互いに素な近傍を持つ場合、正規である。正規空間は単位の分割を許容する。
• T ₄または正規ハウスドルフ。正規空間は、T ₁である場合に限りハウスドルフである。正規ハウスドルフ空間は常にチコノフである。
• 完全に正常です。空間は、分離された任意の2つの集合が互いに素な近傍を持つ場合に完全に正常であると言えます。
• T ₅または完全正規ハウスドルフ。完全正規空間は、T ₁である場合に限りハウスドルフである。完全正規ハウスドルフ空間は常に正規ハウスドルフである。
• 完全正規空間。空間が完全正規であるとは、互いに素な2つの閉集合が関数によって正確に分離されることを意味する。完全正規空間は、完全正規空間でもある。
• T ₆または完全正規ハウスドルフ、または完全 T ₄。空間が完全正規ハウスドルフであるとは、それが完全正規かつ T ₁である場合をいう。完全正規ハウスドルフ空間は、完全正規ハウスドルフでもある必要がある。
• 離散空間。空間は、そのすべての点が完全に孤立している場合、つまり任意の部分集合が開いている場合に離散的である。
• 孤立点の数。位相空間における孤立点の数。

• 分離可能。空間が分離可能であるとは、その空間が可算個の稠密な部分集合を持つ場合をいう。
• 第一可算空間。空間は、すべての点が可算な局所基底を持つ場合に第一可算空間である。
• 第二可算空間。空間が第二可算であるとは、その位相の基底が可算であることを意味する。第二可算空間は常に可分であり、第一可算であり、リンデレーフ空間である。
• リンデレーフ。空間がリンデレーフであるとは、すべての開被覆が可算部分被覆を持つ場合をいう。
• σコンパクト。空間が可算個のコンパクト部分空間の和集合である場合、その空間はσコンパクトである。

• 連結。空間が連結であるとは、互いに素な空でない開集合の和集合ではない場合をいう。言い換えれば、空間が連結であるとは、閉開集合が空集合とそれ自身のみである場合をいう。
• 局所的に連結している。空間は、すべての点が連結した集合からなる局所的な基底を持つ場合に、局所的に連結しているという。
• 完全に分断されている。空間は、複数の点と連結した部分集合を持たない場合、完全に分断されているという。
• 極めて不連続。空間は、すべての開集合が開閉集合を持つ場合、極めて不連続である。
• パス連結。空間Xは、 X内の任意の 2 点x、yに対して、 xからyへのパスpが存在する場合、パス連結である。すなわち、 p (0) = xかつp (1) = yとなる連続写像p : [0,1] → Xが存在する。パス連結な空間は常に連結である。   
• 局所的に経路連結である。空間は、すべての点が経路連結集合からなる局所基底を持つ場合に、局所的に経路連結である。局所的に経路連結な空間は、経路連結である場合に限り連結である。
• 弧連結。空間Xは、 X内の任意の 2 点x、yに対して、 xからyへの弧fが存在する場合、すなわち、単射連続写像が存在する場合に、弧連結である。${\displaystyle f\colon [0,1]\to X}$と${\displaystyle p(0)=x}$そして${\displaystyle p(1)=y}$弧でつながれた空間は、経路でつながれた空間である。
• 単連結。空間X は、パス連結であり、すべての連続写像が である場合に単連結である。${\displaystyle f\colon S^{1}\to X}$定数写像とホモトピックである。
• 局所的に単連結である。空間Xは、X内のすべての点x が、単連結な近傍の局所基底Uを持つ場合、局所的に単連結である。
• 半局所的に単純連結。空間Xは、すべての点が近傍の局所基底Uを持ち、 UのすべてのループがX内で縮約可能である場合、半局所的に単純連結である。局所的単純連結よりも厳密に弱い条件である半局所的単純連結は、普遍被覆の存在に必要な条件である。
• 可縮性。空間Xは、 X上の恒等写像が定数写像とホモトピックである場合に可縮である。可縮な空間は常に単連結である。
• 超連結。空間が超連結であるとは、空でない2つの開集合が互いに素でない場合をいう。すべての超連結空間は連結である。
• 超連結。空間が超連結であるとは、空でない2つの閉集合が互いに素でない場合をいう。すべての超連結空間は経路連結である。
• 非離散的または自明。空間が非離散的であるとは、開集合が空集合とそれ自身のみである場合をいう。このような空間は自明な位相を持つと言われる。

• コンパクト。空間は、すべての開被覆が有限部分被覆を持つ場合にコンパクトである。一部の著者は、このような空間を準コンパクトと呼び、すべての開被覆が有限部分被覆を持つハウスドルフ空間をコンパクトと呼ぶ。コンパクト空間は常にリンデレーフかつパラコンパクトである。したがって、コンパクトハウスドルフ空間は正規である。
• 列コンパクト。空間が列コンパクトであるとは、すべての列が収束する部分列を持つ場合をいう。
• 可算コンパクト。空間が可算コンパクトであるとは、すべての可算開被覆が有限部分被覆を持つ場合をいう。
• 擬コンパクト。空間上のすべての連続実数値関数が有界である場合、その空間は擬コンパクトである。
• σコンパクト。空間がσコンパクトであるとは、それが可算個のコンパクト部分集合の和集合である場合をいう。
• リンデレーフ。空間がリンデレーフであるとは、すべての開被覆が可算部分被覆を持つ場合をいう。
• パラコンパクト。空間がパラコンパクトであるとは、すべての開被覆が局所的に有限な開細分を持つ場合をいう。パラコンパクトハウスドルフ空間は正規空間である。
• 局所コンパクト。空間は、すべての点がコンパクトな近傍からなる局所基底を持つ場合に局所コンパクトである。若干異なる定義も用いられる。局所コンパクトハウスドルフ空間は常にチコノフ空間である。
• 超連結コンパクト空間。超連結コンパクト空間Xでは、すべての開被覆はX自身を含まなければなりません。空でない超連結コンパクト空間は、モノリスと呼ばれる最大の真の開部分集合を持ちます。

• 距離化可能。空間が距離空間と同相である場合、その空間は距離化可能である。距離化可能な空間は常にハウスドルフかつパラコンパクト（したがって正規かつチコノフ）であり、第一可算である。さらに、位相空間は${\displaystyle (X,T)}$は、 のメトリックが存在する場合にメトリック化可能であると言われます。${\displaystyle X}$メトリックトポロジー${\displaystyle T(d)}$トポロジーと同一である${\displaystyle T.}$
• ポーランド空間。空間が分離可能かつ完全な計量で計量可能である場合、その空間はポーランド空間と呼ばれる。
• 局所的に距離化可能。空間は、すべての点が距離化可能な近傍を持つ場合に局所的に距離化可能である。

• ベール空間。空間Xがベール空間であるとは、Xがそれ自体で稠密でないことをいう。言い換えれば、 Xがベール空間であるとは、可算個の稠密な開集合の共通部分が稠密であることをいう。
• ドア空間。位相空間は、すべての部分集合が開集合または閉集合（あるいはその両方）である場合、ドア空間と呼ばれます。
• 位相的均質性。空間Xは、 Xのすべてのxとyに対して同相写像が存在する場合に、（位相的に）均質であるという。${\displaystyle f\colon X\to X}$そのため${\displaystyle f(x)=y.}$直感的に言えば、これは空間がどの点から見ても同じように見えることを意味します。すべての位相群は同質です。
• 有限生成またはアレクサンドロフ空間。空間Xがアレクサンドロフ空間であるとは、 X内の任意の開集合の共通部分が開集合である場合、または同等に、任意の閉集合の和集合が閉集合である場合をいう。これらはまさに位相空間および連続写像の圏の有限生成要素である。
• ゼロ次元。空間がゼロ次元であるとは、その基底が開集合である場合をいう。これらはまさに、帰納的次元が0である空間である。
• ほぼ離散的。空間がほぼ離散的であるとは、すべての開集合が閉集合である（したがって、閉開である）場合をいう。ほぼ離散的な空間は、まさに有限生成の零次元空間である。
• ブール空間。空間がブール空間であるとは、それが零次元でコンパクトかつハウスドルフ空間である場合（あるいは、完全に不連結でコンパクトかつハウスドルフ空間である場合）を指します。これらの空間は、ストーンの表現定理によってブール代数に対応します。
• ライデマイスターねじり
• ${\displaystyle \kappa }$κ-分解可能。空間は、互いに素な（それぞれ、どこにも稠密でない部分集合のイデアル上でほぼ素な）κ個の稠密集合を含む場合、κ-分解可能^{[ 1 ]} （または、ほぼκ-分解可能）であると言われる。空間がκ-分解可能でない場合、κ-分解可能ではない。${\displaystyle \kappa }$-解決可能であれば、${\displaystyle \kappa }$解決不可能。
• 最大限に解像度が高い。スペース${\displaystyle X}$最大限に解決可能となるのは、${\displaystyle \Delta (X)}$-解決可能、${\displaystyle \Delta (X)=\min\{|G|:G\neq \varnothing ,G{\mbox{ is open}}\}.}$番号${\displaystyle \Delta (X)}$分散特性と呼ばれる${\displaystyle X.}$
• 非常に離散的。${\displaystyle D}$空間の強く離散的な部分集合である${\displaystyle X}$ポイントが${\displaystyle D}$互いに素な近傍によって分離される可能性がある。空間${\displaystyle X}$は、すべての非孤立点が${\displaystyle X}$これは、ある強く離散的な集合の集積点である。