昇順連鎖条件

数学において、昇順連鎖条件( ACC ) と降順連鎖条件( DCC ) は、いくつかの代数構造、最も重要な特定の可換環のイデアルが満たす有限性特性である。^{[1] [2] [3]これらの条件は、}ダヴィド・ヒルベルト、エミー・ネーター、エミール・アルティンの著作における可換環の構造理論の発展に重要な役割を果たした。条件自体は抽象的な形で述べることができるため、任意の半順序集合に対して意味をなす。この観点は、ガブリエルとレンシュラーによる抽象代数次元理論で有用である。

半順序集合（poset）Pは、無限の厳密に昇順なシーケンスが存在しない場合、 昇順連鎖条件（ACC）を満たすと言われる。

${\displaystyle a_{1}$

Pの元が存在する。^[4] 同様に、^[a]すべての弱上昇列

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots ,}$

Pの要素は最終的に安定し、つまり正の整数nが存在し、

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .}$

同様に、Pの元が無限に厳密に下降する連鎖を持たない場合、P は下降連鎖条件(DCC)を満たすと言われる。^[4]同様に、すべての弱下降シーケンス

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$

Pの要素は最終的に安定します。

• 従属選択公理を仮定すると、（無限の可能性がある）順序集合P上の降順連鎖条件は、Pが整集合であることと同等です。つまり、 Pのすべての空でない部分集合には、最小の要素（最小条件または最小条件とも呼ばれる）があります。整集合である全順序集合は、整集合です。
• 同様に、昇順連鎖条件は、P が逆整基礎であることと同等です (ここでも従属選択を仮定)。つまり、Pの空でない部分集合には、最大要素 (最大条件または最大条件) があります。
• すべての有限 poset は昇順チェーン条件と降順チェーン条件の両方を満たしているため、整基盤であり、逆整基盤でもあります。

指輪について考えてみよう

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}}$

整数のイデアル。 の各イデアルは、ある数のすべての倍数から構成されます。たとえば、イデアル ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle I=\{\dots ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dots \}}$

のすべての倍数から成ります。 ${\displaystyle 6}$

${\displaystyle J=\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \}}$

を のすべての倍数からなる理想とします。のすべての倍数はの倍数でもあるため、理想 は理想 内に含まれます。同様に、のすべての倍数はの倍数であるため、理想 は理想 内に含まれます。ただし、この時点では、これより大きな理想は存在せず、 で「頂点に達しました」。 ${\displaystyle 2}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

一般に、 がのイデアルでがに含まれ、が に含まれるなどとなる場合、 に対してすべての となるものが存在します。つまり、ある点以降ではすべてのイデアルは互いに等しくなります。したがって、 のイデアルは、イデアルが集合の包含によって順序付けられる昇順の連鎖条件を満たします。したがって、はネーター環です。 ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\dots }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• アルティニアン
• 主イデアルの上昇連鎖条件
• クルル次元
• 合同の最大条件
• ネーター派

• 「昇順連鎖条件と最大条件の同値性は従属選択公理と同等か？」