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抽象代数学において、ネーター加群とは、その部分加群が包含関係によって部分的に順序付けられているときに、その部分加群に対して昇順連鎖条件を満たす加群のことである。[1]
歴史的に、ヒルベルトは有限生成サブモジュールの特性に取り組んだ最初の数学者でした。彼は、任意の体の多変数多項式環の任意のイデアルは有限生成であるという、ヒルベルトの基底定理として知られる重要な定理を証明しました。しかし、この特性は、この特性の真の重要性を最初に発見した エミー・ネーターにちなんで名付けられました。
特性と性質
選択公理が存在する場合、[2] [より良い情報源が必要]、他に2つの特徴付けが可能である。
MがモジュールでKがサブモジュールである場合、 Mがノイザンであるためには、 KとM / Kがノイザンである場合に限ります。これは有限生成モジュールの一般的な状況とは対照的です。有限生成モジュールのサブモジュールは有限生成である必要はありません。[4]
例
- 整数は、整数環上の加群として考えられ、ネーター加群です。
- R = M n ( F ) が体上の完全な行列環であり、 M = M n 1 ( F ) がF上の列ベクトルの集合である場合、M は、 Rの要素とMの要素の左側との行列乗算を使用して加群にすることができます。これはノイザン加群です。
- 集合として有限である任意のモジュールはネーターです。
- 右ネーター環上の有限生成右加群はいずれもネーター加群である。
他の構造での使用
右ネーター環 Rは、定義により、右辺の乗法を使用して、それ自身に対するネーター右R加群です。同様に、Rが左R加群としてネーター環と見なされる場合、環は左ネーター環と呼ばれます。Rが可換環の場合、左右の形容詞は不要なので省略できます。また、R が両側でネーターである場合、慣例的に「左および右ネーター」ではなくネーター環と呼びます。
ネーター条件は、双加群構造にも定義できます。ネーター双加群とは、サブ双加群のポセットが昇順連鎖条件を満たす双加群のことです。R - S双加群Mのサブ双加群は特に左R加群であるため、左R加群として考えられたMがネーターであれば、M は自動的にネーター双加群になります。ただし、双加群がネーターであっても、その左または右の構造がネーターでない場合があります。
参照
参考文献
- ^ ローマン 2008、133ページ §5
- ^ 「可換代数 - すべてのノイザン加群は有限生成か？」Mathematics Stack Exchange 。 2022年5月4日閲覧。
- ^ Roman 2008、p. 133 §5 定理 5.7
- ^ ローマン 2008、p. 113 §4
- アイゼンバッド『代数幾何学に向けた可換代数』、Springer-Verlag、1995年。
- ローマン、スティーブン（2008）、上級線形代数、数学大学院テキスト（第3版）、Springer、ISBN 978-0-387-72828-5