複素共役

数学において、複素数の複素共役とは、実部と虚部の大きさが等しく、符号が反対の数です。つまり、とが実数の場合、 の複素共役はです。 の 複素共役は、 または と表記されることが多いです。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+bi}$${\displaystyle a-bi.}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\overline {z}}}$${\displaystyle z^{*}}$

極形式では、と が実数の場合、 の共役は です。これは、オイラーの公式を使用して表すことができます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle re^{i\varphi }}$${\displaystyle re^{-i\varphi }.}$

複素数とその共役数の積は実数です:  (または 極座標では)。 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$${\displaystyle r^{2}}$

実係数を持つ一変数多項式の根が複素数である場合、その複素共役も根になります。

複素数の複素共役は、または と表記されます。最初の表記であるvinculumは、複素共役の一般化と考えられる行列の共役転置の表記との混同を避けます。2 番目の表記は、ダガー(†) が共役転置に使用される物理学や、バー表記が論理否定("NOT")ブール代数記号と混同される可能性がある電気工学やコンピュータ工学で好まれます。一方、バー表記は純粋数学ではより一般的です。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle {\overline {z}}}$${\displaystyle z^{*}.}$

複素数を行列として表す${\displaystyle 2\times 2}$場合、表記法は同じであり、複素共役は行列転置に対応し、対角線に沿った反転となる。^[1]

以下の性質は、特に断りのない限り、すべての複素数とに適用され、次のように記述することで証明できます。${\displaystyle z}$${\displaystyle w,}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle a+bi.}$

任意の2つの複素数について、共役は加算、減算、乗算、除算に対して分配的である: ^{[ref 1]} $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{and}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0.\end{aligned}}}$$

複素数は、その虚数部がゼロの場合、つまりその数が実数の場合、その複素共役数と等しくなります。言い換えると、実数は共役の唯一の固定点です。

共役によって複素数の係数は変化しません。${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=|z|.}$

共役とは反転であり、複素数の共役の共役は 記号で表すと^{[ref 1]}${\displaystyle z}$${\displaystyle z.}$${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$

複素数とその共役数の積は、その数の係数の 2 乗に等しくなります。これにより、直交座標で与えられた複素数の逆数を簡単に計算できます。$${\displaystyle z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.}$$$${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ for all }}z\neq 0.}$$

共役は、整数乗のべき乗、指数関数、および非ゼロ引数の自然対数との合成に関して 可換である: ^{[注 1]}$${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}}$$ $${\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ }}z{\text{ がゼロまたは負の実数でない場合 }}}$$

が実係数の多項式である場合も同様です。したがって、実多項式の非実根は複素共役対で発生します (複素共役根定理を参照)。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p(z)=0,}$${\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}$

一般に、が実数への制限が実数値である正則関数であり、およびが定義されている場合、 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi (z)}$${\displaystyle \varphi ({\overline {z}})}$$${\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!}$$

からへの写像は、 をそれ自身上の複素ベクトル空間と見なすと、同相写像（ 上の位相を標準位相とする）かつ反線型となる。一見行儀の良い関数のように見えるが、正則ではない。正則関数が局所的に方向を保存するのに対し、 は方向を反転する。これは全単射であり、算術演算と互換性があるため、体自己同型である。実数を固定したままにするため、体拡大のガロア群の元となる。このガロア群には、 と 上の恒等写像 の2 つの元しかない。したがって、実数を固定したままにする の体自己同型は、恒等写像と複素共役の 2 つだけである。 ${\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} .}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

複素数またはが与えられると、その共役は -変数の部分を再現するのに十分です。 ${\displaystyle z=x+yi}$${\displaystyle z=re^{i\theta }}$${\displaystyle z}$

• 実数部:${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• 虚数部:${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• 係数（または絶対値） :${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• 議論：だから${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},}$${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

さらに、は平面上の線を指定するために使用できます。集合は 原点を通り、に垂直な線です。これは、の実部がゼロになるのは、と間の角度の余弦がゼロのときだけだからです。同様に、固定された複素単位の場合、方程式は 、0とを通る線に平行な 線を決定します。${\displaystyle {\overline {z}}}$$${\displaystyle \left\{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}$$${\displaystyle {r},}$${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {r}}$${\displaystyle u=e^{ib},}$$${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}$$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle u.}$

変数としての共役のこれらの使用法は、フランク・モーリーと息子のフランク・ヴィガー・モーリーとの共著である『Inversive Geometry』 (1933 年) に説明されています。 ${\displaystyle z}$

他の平面実単位代数、双対数、分割複素数も複素共役を使用して解析されます。

複素数の行列では、は^{[ref 2]}の要素ごとの共役を表す。これを、の共役転置を表す性質と比較すると、${\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right),}$${\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}$${\displaystyle \mathbf {A} .}$${\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*},}$${\textstyle \mathbf {A} ^{*}}$${\textstyle \mathbf {A} .}$

複素行列の共役転置（または随伴）をとると、複素共役が一般化されます。さらに一般的なのは、（無限次元の可能性のある）複素ヒルベルト空間上の演算子に対する随伴演算子の概念です。これらすべては、C*-代数の*-演算に含まれます。

四元数と分割四元数の共役を定義することもできる。の共役は${\textstyle a+bi+cj+dk}$${\textstyle a-bi-cj-dk.}$

これらの一般化はすべて、因数が逆の場合にのみ乗法的になります。 $${\displaystyle {\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.}$$

平面実代数の乗算は可換なので、この逆はそこでは必要ありません。

複素数上のベクトル 空間 に対する共役という抽象的な概念もある。この文脈では、${\textstyle V}$ ${\textstyle \varphi :V\to V}$

1. ${\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,,}$ここで、およびは恒等写像である。${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi }$${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$${\displaystyle V,}$
2. ${\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)}$すべての人のために${\displaystyle v\in V,z\in \mathbb {C} ,}$
3. ${\displaystyle \varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,}$全ての${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V,}$

は複素共役、または実構造と呼ばれます。反転は反線型であるため、上の恒等写像にはなり得ません。${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle V.}$

もちろん、任意の複素空間は元の空間と同じベクトルを取り、スカラーを実数に制限することによって得られる実数形式を持つことに注意すれば、は の -線型変換である。上記の特性は、実際には複素ベクトル空間上の実構造を定義している^[2]${\textstyle \varphi }$${\textstyle \mathbb {R} }$${\textstyle V,}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V.}$

この概念の一例は、上で定義した複素行列の共役転置演算です。ただし、一般的な複素ベクトル空間では、複素共役の標準的な概念は存在しません。

• 絶対平方 – ある数とその数自体の積Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 複素共役直線 – 複素幾何学における演算
• 複素共役表現
• 複素共役ベクトル空間 – 数学の概念Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 合成代数 – 代数の種類、非結合的である可能性あり
• 共役（平方根）  – 平方根の符号の変更
• エルミート関数 – 複素関数の種類
• ヴィルティンガー微分 – 複素解析の概念

• Budinich, P. および Trautman, A. The Spinorial Chessboard . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (反線型写像についてはセクション 3.3 で説明します)。